2024年内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗第一中学九年级数学第一学期开学达标检测试题【含答案】

这是一份2024年内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗第一中学九年级数学第一学期开学达标检测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，连接，过点作轴于点，交于点，若，则的值为( )
A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣9
2、（4分）不等式的解集是( )
A．B．C．D．
3、（4分）方程有（ ）
A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定
4、（4分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，点D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（ ）
A．15B．18C．20D．22
5、（4分）将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移个单位，再向上平移个单位B．先向右平移个单位，再向下平移个单位
C．先向左平移个单位，再向上平移个单位D．先向左平移个单位，再向下平移个单位
6、（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为（）
A．4B．8C．12D．16
7、（4分）已知点A(a＋b，4)与点B(－2，a－b)关于原点对称，则a2－b2等于( )
A．8B．－8C．5D．－5
8、（4分）如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是___________．
10、（4分）如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90°，∠ABD=30°，∠ADB=75°，AC与BD交于点E，若CE=2AE=4，则DC的长为________．
11、（4分）在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为6，9，8，8，9，则这位选手五次射击环数的方差为______．
12、（4分）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程求出AC的长为____________．
13、（4分）不等式的正整数解的和______；
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，对角线BD平分，过点A作，交CD的延长线于点E，过点E作，交BC延长线于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若求EF的长．
15、（8分）已知一次函数的图像经过点（3，5）与（，）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由．
16、（8分）下表是厦门市某品牌专卖店全体员工9月8日的销售量统计资料．
（1）写出该专卖店全体员工9月8日销售量的众数；
（2）求该专卖店全体员工9月8日的平均销售量．
17、（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
18、（10分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果点A（1，m）在直线y=-2x+1上，那么m=___________．
20、（4分）在1，2，3，这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的概率是________.
21、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝________cm．
​
22、（4分）若，则的值为______.
23、（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若AE＝1，则EF的值为__．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）菱形中，，，为上一个动点，，连接并延长交延长线于点.
（1）如图1，求证：；
（2）当为直角三角形时，求的长；
（3）当为的中点，求的最小值.
25、（10分）在矩形中，点在上，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，且，求．
26、（12分）某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种水果．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOC是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOC=2，S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OC，即OE=3OC，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】
解：如图，过点作轴于，延长线段，交轴于，
∵轴，
∴轴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点在函数的图象上，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即.
故选：B.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建矩形，运用反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
2、D
【解析】
两边同时乘以3，即可得到答案.
【详解】
解：，解得：；
故选择：D.
本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法.
3、A
【解析】
根据根的差别式进行判断即可.
【详解】
解：∵a=1,b=3,c=2,
∴∆=
=1>0
∴ 这个方程有两个不相等的实数根.
故选：A.
本题考查了一元二次方程根的判别式，正确理解根的判别式是解题的关键.
4、A
【解析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵点D、E分别是BC、CA的中点，
∴DE＝AB＝4，CE＝AC＝5，DC＝BC＝6，
∴△DEC的周长＝DE+EC+CD＝15，
故选：A．
考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
5、C
【解析】
先把抛物线化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】
∵抛物线可化为
∴其顶点坐标为：(2,−1)，
∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
故选C.
本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
6、C
【解析】
根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】
∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，），则B点坐标为（-x，），C（-2x，），
∴S△ABC=×（-2x-x）•（）=×（-3x）•（）=1．
故选C．
本题考查了反比例函数与正比例函数图象的特点，垂直于y轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出A、B两点与A、C两点坐标的关系．
7、B
【解析】
直接利用关于原点对称点的性质得出a+b，a-b的值，进而得出答案．
【详解】
∵点A（a+b，4）与点B（-2，a-b）关于原点对称，
，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-4）=-1．
故选B．
考查了关于原点对称点的性质，正确应用平方差公式是解题关键．
8、C
【解析】
由图像可知当x<-1时，，然后在数轴上表示出即可.
【详解】
由图像可知当x<-1时，，
∴可在数轴上表示为：
故选C.
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．函数y1＞y2时x的范围是函数y1的图象在y2的图象上边时对应的未知数的范围，反之亦然．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1≤a＜2
【解析】
此题需要首先解不等式，根据解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．
【详解】
解：解不等式x+a≥0得：x≥-a，
解不等式1-1x＞x-1得：x＜1，
∵此不等式组有2个整数解，
∴这2个整数解为-1，-1，0，
∴a的取值范围是-2＜a≤-1．
故答案为：1≤a＜2．
此题考查一元一次不等式组的解法．解题关键在于要注意分析不等式组的解集的确定．
10、
【解析】
过A点作A⊥BD于F，根据平行线的判定可得AF∥BC，根据含30度直角三角形的性质可得BC=AB，根据三角形内角和可得∠ADB=∠BAD，根据等腰三角形的性质可得BD=AB，从而得到BC=BD，在Rt△CBE中，根据含30度直角三角形的性质可得BC，在Rt△CBD中，根据等腰直角三角形的性质可得CD．
【详解】
过A点作A⊥BD于F，
∵∠DBC=90°，
∴AF∥BC，
∵CE=2AE，
∴AF=BC，
∵∠ABD=30°，
∴AF=AB，
∴BC=AB，
∵∠ABD=30°，∠ADB=75°，
∴∠BAD=75°，∠ACB=30°，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BD=AB，
∴BC=BD，
∵CE=4，
在Rt△CBE中，BC=CE=6，
在Rt△CBD中，CD=BC=6．
故答案为：6．
此题考查了含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，得到Rt△CBE是含30度直角三角形，以及Rt△CBD是等腰直角三角形是解本题的关键．
11、1.1
【解析】
分析：先求出平均数，再运用方差公式S1= [（x1-）1+（x1-）1+…+（xn-）1]，代入数据求出即可．
详解：解：五次射击的平均成绩为=（6+9+8+8+9）=8，
方差S1=[（6﹣8）1+（9﹣8）1+（8﹣8）1+（8﹣8）1+（9﹣8）1]=1.1．
故答案为1.1．
点睛： 本题考查了方差的定义．一般地设n个数据，x1，x1，…xn的平均数为，则方差S1= [（x1-）1+（x1-）1+…+（xn-）1]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
12、．
【解析】
设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设AC=x．
∵AC+AB=10，
∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC1+BC1=AB1，即x1+31=（10﹣x）1．
解得：x．
故答案为：
本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
13、3.
【解析】
先解出一元一次不等式，然后选取正整数解，再求和即可.
【详解】
解：解得;x＜3,；则正整数解有2和1；
所以正整数解的和为3；故答案为3.
本题考查了解一元一次不等式组和正整数的概念，其关键在于选取正整数解.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见解析；(2)
【解析】
（1）证明，得出，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，证明四边形ABDE是平行四边形，，得出，在中，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵BD平分，
，
，
，
是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
，
，
∴四边形ABDE是平行四边形，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握菱形判定与性质是解决问题的关键．
15、（1）；（2）点A（2，3）在这个函数的图象上，理由见解析．
【解析】
（1）首先设出函数关系式y=kx＋b（k≠0），根据待定系数法把（3，5）与（−4，−9）代入y=kx＋b，即可求出一次函数的解析式，
（2）求出x=2时y的值，即可作出判断．
【详解】
解：（1）设这个一次函数的解析式为：（k≠0），
∵的图像过点（3，5）与（，），
∴ ，
解得，
所以一次函数解析式为；
（2）点A（2，3）在这个函数的图象上，
理由：当x=2时，，
∴点A（2，3）在这个函数的图象上．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx＋b．
16、（1）该专卖店全体员工9月8日销售量的众数是件；（2）该专卖店全体员工9月8日的平均销售量是件．
【解析】
（1）由题意直接根据众数的定义进行分析求解可得；
（2）由题意直接根据加权平均数的定义列式并进行计算可得．
【详解】
解：（1） 该专卖店全体员工9月8日销售量的众数是件．
答:该专卖店全体员工9月8日销售量的众数是件.
（2）（件）
答:该专卖店全体员工9月8日的平均销售量是件．
本题主要考查众数和加权平均数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
17、（1）y＝x2+2x﹣1；（2）当m＝-时，PQ最长，最大值为；（1）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．
【解析】
（1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；
(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
(1)根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案
【详解】
解：（1）将A（1，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1得：
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣1，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣1＝﹣1，
∴D（﹣2，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣1）代入得：
解得：
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣1．
（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），
∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣1）
∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣1）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
∴当m＝ 时，PQ的长l最大＝﹣（ ）2﹣（）+2＝ ．
答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
当m＝时，PQ最长，最大值为．
（1）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：
∵PQ的长为0＜PQ≤的整数，
∴PQ＝1或PQ＝2，
当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；
当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；
②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，此时R与点C重合，即R5（0，﹣1）
综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．
答：符合条件的点R共有5个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．
此题考查一元二次方程-用待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，解题关键在于把已知点代入解析式
18、（3）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.
【解析】
（3）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b2－4ac＝3求出a的值，再代入解方程即可．
【详解】
（3）将x＝2代入方程，得，解得：a＝．
将a＝代入原方程得，解得：x3＝，x2＝2．
∴a＝，方程的另一根为；
（2）①当a＝3时，方程为2x＝3，解得：x＝3.
②当a≠3时，由b2－4ac＝3得4－4(a－3)2＝3，解得：a＝2或3．
当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋3＝3，解得：x3＝x2＝－3；
当a＝3时， 原方程为：－x2＋2x－3＝3，解得：x3＝x2＝3．
综上所述，当a＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.
考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1．
【解析】
将x=1代入m=-2x+1可求出m值，此题得解．
【详解】
解：当x=1时，m=-2×1+1=-1．
故答案为：-1．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
20、
【解析】
四个数任取两个有6种可能．要使图象在第四象限，则k<0，找出满足条件的个数，除以6即可得出概率．
【详解】
依题可得，任取两个数的积作为k的值的可能情况有6种（1，2）、（1，3）、（1，-4）、
（2，3）、（2，-4）、（3，-4），
要使反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，则k＜0，
这样的情况有3种即（1，-4）、（2，-4）、（3，-4），
故概率为：=.
本题考查反比例函数的选择，根据题意找出满足情况的数量即是解题关键.
21、8
【解析】
分析：
由已知条件易得CF是Rt△ABC斜边上的中线，DE是Rt△ABC的中位线，由此可得AB=2CF=2DE，从而可得DE=CF=8cm.
详解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，
∴AB=2CF，AB=2DE，
∴DE=CF=8（cm）.
故答案为：8.
点睛：熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键.
22、.
【解析】
由可得，化简即可得到，再计算，即可求得=.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴=.
故答案为：.
本题考查了完全平方公式的变形应用，正确求得是解决问题的关键.
23、
【解析】
根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．
【详解】
∵ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF＝1
∵E是AB中点
∴AB＝BC＝2
∴BF＝3
在Rt△BEF中，EF＝＝
故答案为．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，证明△ADE≌△DCF是本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（2）当为直角三角形时，的长是或；（3）.
【解析】
（1）先根据菱形的性质证，再证，由全等的性质可得，进而得出结论；
（2）分以下两种情况讨论：①，②；
（3）过作于，过作于，当三点在同一直线上且时的值最小，即为的长.
【详解】
解：（1）四边形是菱形，
，，
.
在和中，
，
，
.
（2）连接交于点,
四边形是菱形,
，.
又∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴，.
∴.
∴.
，
.
当时，有，
在中，
,
设，，
，
，解得.
.
.
当时，有，
由知，
是等腰直角三角形.
.
综上：当为直角三角形时，的长是或.
（3）过作于，过作于，
在中，
又是的中点，
.
当三点在同一直线上且时
的值最小，即为的长.
在中，
，，
，
∴.
的最小值是.
本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定，以及菱形中线段和的最值问题，综合性较强.
25、（1）见解析；（2）AD＝．
【解析】
（1）利用“AAS”证明△ADF≌△EAB即可得；
（2）证明△AFD是等腰直角三角形，得出AF＝DF＝AB＝4，利用勾股定理即可求出AD．
【详解】
（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFA＝∠B，
在△ADF和△EAB中，，
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴DF＝AB；
（2）解：∵∠FEC＝135°，
∴∠AEB＝180°−∠FEC＝45°，
∴∠DAF＝∠AEB＝45°，
∴△AFD是等腰直角三角形，
∴AF＝DF＝AB＝4，
∴AD＝．
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26、（1）平均每次下调的百分率是；（2）超市采购员选择方案一购买更优惠．
【解析】
设出平均每次下调的百分率，根据从10元下调到列出一元二次方程求解即可；
根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【详解】
解： 设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得．
解这个方程，得，不符合题意，
符合题目要求的是．
答：平均每次下调的百分率是．
超市采购员方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：元，
方案二所需费用为：元．
，
超市采购员选择方案一购买更优惠．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出第2次下调后价格是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
销售量/件
7
8
10
11
15
人数
1
3
3
4
1