2024-2025学年湖北省孝感高级中学高一（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省孝感高级中学高一（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“∃x∈R，使得x2−3=2”的否定为( )
A. ∀x∉R，x2−3≠2B. ∃x∈R，x2−3≠2
C. ∃x∉R，x2−3=2D. ∀x∈R，x2−3≠2
2.已知集合A={x|x−3x+4b2，则a>bB. 若a>b，c>d，则a−c>b−d
C. 若a>b>0，c>d，则da0，且a2−b2=2，则2a2+3b2−4ab的最小值是( )
A. 4B. 2C. 1D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合A={x|y= x−1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x}，D={(x,y)|2x−y=1x+4y=5}，则下列关系中正确是( )
A. A=BB. B⊆CC. D⊆CD. A∩C=⌀
10.下列说法正确的是( )
A. “a>1”是“1a0，b>0，且a+2b=2，则( )
A. 1a+1+2b的最小值为3B. ab2a+b的最大值为29
C. (a+2)(b+1)ab的最大值为0D. ba+1ab的最小值1+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，若A∪B=A，则实数a= ．
13.已知正数a，b满足ab−2a−b=0，若不等式a+b2>m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是______．
14.已知集合M={x∈Z|a≤x≤2a−1}，若集合M有14个非空真子集，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|2x+1x+2≤1}，集合B={x|2a−1≤x≤a+1}．
(1)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
关于x的不等式(x+1)(x−a)x2≥0．
(1)若a=2，求不等式的解集；
(2)当a∈R时，求不等式的解集．
17.(本小题15分)
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若∃x0∈R，使得ax02+bx0+c=x0成立，则称x0为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的不动点．
(1)求二次函数y=x2+2x−2的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−(2+a)x+a−1有两个不相等的不动点x1，x2，且x1，x2>0，求x2x1+x1x2的最小值．
18.(本小题17分)
为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米250元，屋顶和地面以及其他报价共计12000元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1500a(x−12)x元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
19.(本小题17分)
若实数x，y，m满足|x−m|>|y−m|，则称x比y远离m．
(1)若x比y远离2且x+y=1，求实数x的取值范围；
(2)对任意两个不相等的实数a，b，证明：a2+b22比(a+b2)2远离ab；
(3)若x+y=2，判断：x与x2+y2哪一个更远离23，并说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.A
6.A
7.D
8.B
9.ACD
10.AC
11.AB
12.2
13.(−1,4)
14.[92,5)∪(5,112)∪{4}
15.解：(1)A={x|2x+1x+2≤1}={x|−2a+1，即a>2时，B=⌀，符合题意，
当B≠⌀时，
故2a−1≤a+12a−1>−2a+1≤1，解得−12a+1，解得a>2，
当B≠⌀时，
则2a−1≤a+1a+1≤−2或2a−1≤a+12a−1>1，解得a≤−3或11}．
16.解：(1)根据题意，若a=2，不等式为(x+1)(x−2)x2≥0，
变形可得(x+1)(x−2)x2≥0且x≠0，
解可得x≤−1或x≥2，
即不等式的解集为{x|x≤−1或x≥2}；
(2)根据题意，(x+1)(x−a)x2≥0，即(x+1)(x−a)x2≥0且x≠0，
分5种情况讨论：
①当a0a−12>0，解可得a>1，
则x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(x1+x2)2x1x2−2
=(a+3)24a−12−2=[(a−1)+4]22(a−1)−2=a−12+8a−1+2，
又由a>1，则a−1>0，
则a−12+8a−1≥2 a−12×8a−1=4，当且仅当a−1=4，即a=5时等号成立，
故x2x1+x1x2=a−12+8a−1+2≥6，当且仅当a=5时等号成立，
即x2x1+x1x2的最小值为6．
18.解：(1)设甲工程队的总造价为y元，
则y=3(250×2x+400×20x)+12000=1500(x+16x)+12000(3≤x≤6)，
因为x+16x≥2 x⋅16x=8，当且仅当x=16x，即x=4时等号成立，
所以y≥1500×8+12000=24000，
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为24000元；
(2)由题意可得，1500(x+16x)+12000>1500a(x−12)x对任意的x∈[3,6]恒成立，
即(x+4)2x>a(2x−1)2x，从而a0，
则有|x2+y2−23|>|x−23|，
当x0，
则有|x2+y2−23|>|x−23|，
综合可得：|x2+y2−23|>|x−23|，故x2+y2更远离23．