数学九年级上册2 用配方法求解一元二次方程教学设计

这是一份数学九年级上册2 用配方法求解一元二次方程教学设计，共8页。

课时目标
1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想.
学习重点
用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
学习难点
把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
课时活动设计
知识回顾
1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.
2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是 ±2 ;如果一个数的平方等于7,那么这个数是 ±7 ;如果x2=a,那么x= ±a .
3.用字母表示因式分解的完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2 .
4.练一练:x2-4x+4= (x-2)2 ;x2+6x+9= (x+3)2 .
设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫.
新知引入
怎样解x2=2?
解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±2,记为x1=2,x2=-2.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫.
典例精讲
1.解下列方程:
(1)x2- 4=0; (2)4x2-1=0.
分析:x2- 4=0先将-4移项,再直接开平方;4x2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x2=p的形式,再用直接开平方法直接计算.
解:(1)x2-4=0,x2=4,x=±2,即x1=2,x2=-2.
(2)4x2-1=0,4x2=1,x2=14,x=±12,即x1=12,x2=-12.
2.解方程:(x+1)2=2.
分析:只要把(x+1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解.
解:(x+1)2=2
x+1=±2
即x1=-1+2, x2=-1-2.
设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力.
探究新知
1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方)
填上适当的数,使下列等式成立.
(1)x2+12x+ 36 =(x+6)2;(2)x2-6x+ 9 =(x-3)2;
(3)x2+8x+ 16 =(x+ 4 )2;(4)x2-4x+ 4 =(x- 2 )2.
2.想一想,解方程x2- 12x-15=0的流程是怎样的?
x2- 12x-15=0
↓移项,把常数项移到方程的右边
x2- 12x=15
↓两边都加36即b22使左边配成x2-2bx+b2的形式
x2- 12x+36=15+36
↓使等式左边写成完全平方式
(x-6)2=51
↓ 两边开平方
x-6=±51
↓
x-6=51,或x-6=-51
↓ 解一元一次方程
x1=6+51 ,x2=6-51
设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系.
典例精讲
解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)
解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9.
两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),
得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25.
两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5.
所以x1=1,x2=-9.
小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法.
用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流)
设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍.
巩固训练
解下列方程:
(1)x2-10x+25=7; (2)x2-14x=8;
(3)x2+3x=1; (4)x2+2x+2=8x.
解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±7,即x-5=7或x-5=-7.所以x1=5+7,x2=5-7;
(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49,即(x-7)2=57.两边开方得x-7=±57,即x-7=57或x-7=-57.所以x1=7+57,x2=7-57;
(3)两边同时加上322,得x2+3x+322=1+322,即x+322=134.两边开平方得x+32=±132,即x+32=132或x+32=-132.所以x1=-3+132,x2=-3-132;
(4)移项得x2+2x-8x=-2,两边都加9得x2-6x+9=-2+9,即(x-3)2=7.两边开平方得x-3=±7,即x-3=7或x-3=-7.所以x1=3+7,x2=3-7.
设计意图:通过巩固练习,学生可以更好地掌握本节课的知识点,并为后续的学习打下坚实的基础.同时,教师也可以根据学生的练习情况,及时了解学生的学习状况,为后续的教学做好充分的准备.
课堂小结
师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及应用配方法时应注意的问题.
设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,逐渐培养出独立思考和自主学习的能力.
课堂8分钟.
1.教材第37页习题2.3第1,2,3题.
2.七彩作业.
第1课时 直接开平方法和配方法
解一元二次方程的方法: 例(略)
1.直接开方法(略).
2.配方法(略).
教学反思


第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
课时目标
1.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.
2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.
学习重点
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.
学习难点
将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程.
课时活动设计
回顾旧知
1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.
例如,x2-6x-40=0.
解:移项,得x2-6x=40.
方程两边都加上9(一次项系数一半的平方),得x2-6x+32=40+32,
即(x-3)2=49.
开平方,得x-3=±7,
即x-3=7或x-3=-7.
所以x1=10,x2=-4.
2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.(口头回答)
(1)x2+2x+ 1 =(x+ 1 )2;
(2)x2-4x+ 4 =(x- 2 )2;
(3)x2+ 12x +36=(x+ 6 )2;
(4)x2+10x+ 25 =(x+ 5 )2;
(5)x2-x+ 14 =(x- 12 )2.
设计意图:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法奠定基础.
探究新知
请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.
(1)x2+6x+8=0; (2)3x2+18x+24=0.
解:两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式;联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程式为同解方程.
探讨方程(2)应该如何求解呢?
设计意图:学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.
典例精讲
解方程:3x2+8x-3=0.
解:方程两边同时除以3,得x2+83x-1=0,
移项,得x2+83x=1.
配方,得x2+83x+432=1+432,即x+432=259.
两边开平方,得x+43=±53,即x+43=53,或x+43=-53.所以x1=13,x2=-3.
注意事项:(1)当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.(2)得到x+43=±53后,在移项得到x+43=53与x+43=-53的过程中,要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错.
设计意图:通过上述例题的讲解,继续规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解并掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,理解配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)形式.
扩展应用
一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10 m的高度?
解:根据题意,得15t-5t2=10.
方程两边都除以-5,得t2-3t=-2.
配方,得t2-3t+322=-2+322,即t-322=14.
两边开平方,得t-32=±12,即t-32=12或t-32=-12.所以t1=2,t2=1.
所以当t=1或2时,小球能达到10 m的高度.
设计意图:在前边学习的基础上,通过上述试题进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用.
巩固训练
1.解下列方程:
(1)3x2-9x+2=0; (2)2x2+6=7x; (3)4x2-8x-3=0.
解:(1)移项,得3x2-9x=-2.
方程两边同时除以3,得x2-3x=-23.
配方,得x2-3x+322=-23+322,即x-322=1912.
两边开平方,得x-32=±576.
所以x1=32+576,x2=32-576;
(2)移项,得2x2-7x=-6.
方程两边同时除以2,得x2-72x=-3.
配方,得x2-72x+742=-3+742,即x-742=116.
两边开平方,得x-74=±14.
所以x1=2,x2=32;
(3)移项,得4x2-8x=3.
两边同时除以4,得x2-2x=34.
配方,得x2-2x+12=34+12,即(x-1)2=74.
两边开平方,得x-1=±72.
所以x1=1+72,x2=1-72.
2.印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起”大意是:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题.
解:设总共有x只猴子,由题意,可得18x2+12=x.
解得x1=16,x2=48.
答:总共有16只或48只猴子.
设计意图:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力和数学建模能力.
课堂小结
1.解一元二次方程的基本步骤.
2.利用一元二次方程解决实际问题的思路.
设计意图:让学生养成及时总结的习惯,反思学习的过程和收获的知识点,积累学习经验,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.
课堂8分钟.
1.教材第40页习题2.4第1,3题.
2.七彩作业.
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
解一元二次方程的方法:
配方法.
教学反思