2024-2025学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）开学数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育.以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，下列结论正确的有( )
①∠EDF=90°；②∠BAD=∠CAD；③△BDE≌△DCF；④EF//BC
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4.已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON=60°，OP=4，则PQ的最小值是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 不能确定
5.如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是( )度．
A. 60
B. 90
C. 100
D. 105
6.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下四个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③AP=BQ；④∠AOB=60°.其中正确的结论个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ．
8.已知点M(a−1,5)和N(2,b−1)关于x轴对称，则a−b的值为______．
9.如图，CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，则△ABC的面积为______cm2．
10.一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______．
11.如图，在直角坐标系中，A点坐标为(−4,−3)，⊙A的半径为1，点P坐标为(2,0)，点M是⊙A上一动点，则PM+AM的最小值为______．
12.已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线.如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线.在图2的△ABC中，∠ABC=110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足(b−5)2+|c−7|=0，a为方程|a−3|=2的解，求△ABC的周长．
(2)如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，若BE=10，FC=2，求BF的长．
14.(本小题6分)
一个多边形除一个内角外其余各内角的和为2220°，求此内角的度数．
15.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
16.(本小题6分)
如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1=40°，求∠BDE的度数．
17.(本小题6分)
如图，△ABC为等边三角形，CD为边AB上的高，点E为AC边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
(1)在图①中，作∠A的平分线AF；
(2)在图②中，以点B为顶点作三角形，使所作三角形面积等于△ABC面积的18．
18.(本小题8分)
如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
(1)有下列结论：
①BF=AF；
②∠BAE=∠CAE；
③S△ABF=12S△ABC；
④∠C与∠CAD互余．
其中正确的是______(填序号)．
(2)若∠B=30°，∠DAE=16°，求∠C的度数．
19.(本小题8分)
在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且CF=14CD．

(1)如图1，求证：∠AEF=90°；
(2)如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作BH⊥AF交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．
20.(本小题8分)
如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)请你判断AD与EF关系，并说明理由；
(2)若AB=12，AC=8，S△ABC=60，求DE的长．
21.(本小题9分)
在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE//BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．

(1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；
(2)如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的度数；
(3)若AB=9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．
22.(本小题9分)
如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=5cm，D是BC的中点，点P从A点出发，以2cm/s的速度沿着射线CA方向运动，连接PD交AB于点E，过点D作PD的垂线交直线AC于点F，交直线AB于点G，若运动时间为t(s)．
(1)当t=1.5时，则BG= ______cm；
(2)在点P的运动过程中，试探究线段PF与EG的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，连接EF，EF上是否存在点H使得△DCF与△FAH全等，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．
【感悟】(1)如图1，AD是△ABC的高线，∠C=2∠B，若CD=2，AC=5，求BC的长．
小明同学的解法是：将△ABC沿AD折叠，则点C刚好落在BC边上的点E处.请你画出图形并直接写出答案：BC= ______．

【探究】(2)如图2，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【拓展】(3)如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AD=8，DC=BC=10．
①求证：∠B+∠D=180°；
②若∠D=2∠B，则AB的长为______．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.D
6.D
7.三角形具有稳定性
8.7
9.8
10.MT9527
11.3 5
12.40°，90°，140°
13.解：(1)∵b、c满足(b−5)2+|c−7|=0，a为方程|a−3|=2的解，
又∵(b−5)2≥0，|c−7|≥0，a>0，
∴b−5=0，c−7=0，a=5或a=1(不满足三角形三边关系，舍去)，
∴a=5，b=5，c=7，
∴△ABC的周长=a+b+c=5+5+7=17；
(2)∵△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，
∴BC=FE，
∵BC+FE=BE+FC=12，
∴BF=BC−FC=122−2=4．
14.解：∵2220°÷180°=12…60°，
∴该内角应是180°−60°=120度．
15.解：∵AE=6，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，
∴AC=AB=2AE=12，AD=BD，
∵△CBD的周长为20，AC=CD+BD，
∴BC=20−(CD+BD)=20−(CD+AD)=20−AC=20−12=8，
∴△ABC的周长为12+12+8=32．
16.(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
(2)解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=40°，
∴∠C=∠EDC=70°，
∴∠BDE=∠C=70°．
17.解：(1)如解图①，AF即为所求；
(2)如解图②，△BMN(或△BDM)即为所求．

18.解：(1)②③④
(2)∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADE=90°，
∵∠DAE=16°，
∴∠AED=90°−16°=74°，
∵∠B=30°，
∴∠BAE=∠AED−∠B=74°−30°=44°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=88°，
∴∠C=180°−(∠B+∠BAC)=62°．
19.解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD．
∵E是BC中点，
∴BEAB=12，EC=12BC=12CD．
∵CF=14CD，
∴CFCE=12．
∴BEAB=CFCE=12．
∴△ABE∽△ECF．
∴∠BAE=∠CEF．
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CEF=90°．
∴∠AEF=90°．
∠AEF(2)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GBE=∠C=90°，AB/​/CD．
∴∠G=∠CFE．
在△BEG和△CEF中，
∠GBE=∠C=90°∠G=∠CFEBE=EC．
∴△BEG≌△CEF(AAS)．
∴GE=EF．
∵∠AEF=90°，
∴AE是GF的垂直平分线．
∴AG=AF．
∴△AGF为等腰三角形．
∴∠GAE=∠FAE．
∵BH⊥AF，
∴∠MAH+∠AHM=90°．
∵AD/​/BC，
∴∠AHM=∠HBC．
∵∠ABC=90°，
∴∠HBC+∠ABH=90°．
∴∠ABH=∠MAH．
∵∠ANH=∠ABH+∠GAE，
∴∠ANH=∠MAH+∠EAF=∠NAH．
∴HA=HN．
∴△HAN为等腰三角形．
∵AD//BC，
∴∠HAN=∠BEN．
∵∠ANH=∠BNE，
∴∠BEN=∠BNE．
∴△BEN为等腰三角形．
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠ABE=∠DCE=90°BE=CE．
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
∴EA=ED．
∴△AED为等腰三角形．
综上，等腰三角形有：△AED，△BEN，△AHN，△AGF．
20.解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
(2)∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=12AB⋅ED+12DE(AB+AC)
=60，
∵AB=12，AC=8，
∴DE=6．
21.解：(1)△BDF是等边三角形，理由如下：
∵∠B=60°，DE//BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，
∴∠BDF=60°，
∴∠DFB=∠B=∠BDF=60°，
∴△BDF是等边三角形；
(2)由折叠可得∠A=∠DFE，
∵∠FDE=∠ADE=60°，
∴∠ADC=120°，
∵CF=EF，
∴∠FEC=∠FCE，
设∠FEC=∠FCE=x，则∠A=∠DFE=∠FEC+∠FCE=2x，
在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
即2x+x+120°=180°，
解得x=20°，
∴∠A=2x=40°；
(3)AD的长是3或6，理由如下：
当∠BFD=90°时，点F在△ABC内(如图所示)，

∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴BD=2DF，
由折叠得DF=AD，
∴BD=2AD，
∴3AD=9，
∴AD=3；
当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，

同理可得AD=DF=2BD，
∴AD=6．
22.(1)3；
(2)PF=EG，理由如下：
∵∠CDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠CDF=∠ADF，
∵CD=AD，∠C=∠DAE=45°，
∴△CDF≌△ADE(ASA)，
∴CF=AE，
∵AB=AC，
∴AF=BE，
∵BG=AP，
∴FP=EG；
(3)存在点H使得△DCF与△FAH全等，理由如下：
连接AD，
∵△CDF≌△ADE，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠AED是钝角，
∴当△DCF与△FAH全等时，在△FAH中必有一个钝角，
∵H点在线段EF上，
∴只能是∠FHA是钝角，
∴AF=AD=52，
在△ADF中，∠FAD=45°，
∴∠FDA=67.5°，
∴∠ADP=22.5°，
∵∠DAP=135°，
∴∠P=22.5°，
∴AP=AD，
∴52=2t，
∴t=54．
23.(1)解：如图1，将△ABC沿AD折叠，则点C刚好落在BC边上的点E处，
，
由折叠的性质可得：AC=AE=5，DE=CD=2，∠C=∠AED，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE=5，
∴BC=BE+DE+CD=5+2+2=9，
(2)解：AB+AC=CD，理由如下：
如图2，在AF上截取AG=AC，连接DG，
，
∵AD平分∠CAF，
∴∠CAD=∠GAD，
在△CAD和△GAD中，
AG=AC∠CAD=∠GADAD=AD，
∴△CAD≌△GAD(SAS)，
∴CD=GD，∠ACD=∠AGD，
∵∠ACD+∠ACB=180°，∠AGD+∠DGF=180°，
∴∠ACB=∠DGF，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠DGF=2∠B，
∵∠DGF=∠B+∠BDG，
∴∠B=∠BDG，
∴BG=DG，
∴BA+AG=BG=DG=CD，
∴AB+AC=CD；
(3)①证明：如图3，在AB上截取AH=AD，连接CH，
，
∵AC平分∠BAD，
∴∠HAC=∠DAC，
在△CAH和△CAD中，
AH=AD∠HAC=∠DACAC=AC，
∴△CAH≌△CAD(SAS)，
∴∠D=∠CHA，CD=CH，
∵CB=CD，
∴CB=CH，
∴∠B=∠CHB，
∵∠CHB+∠CHA=180°，
∴∠B+∠D=180°；
②解：由①得∠B+∠D=180°，BC=CH=10，
∵∠D=2∠B，
∴∠B+2∠B=180°，
∴∠B=60°，
∵BC=CH=10，
∴△BCH为等边三角形，
∴BH=10，
∴AB=BH+AH=10+8=18，