2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.已知某扇形的圆心角为80°，半径为6cm，则该圆心角对应的弧长为( )
A. 480cmB. 240cmC. 8π3cmD. 4π3cm
2.设复数z=−i2+i−1−i3，则z−的虚部是( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(2017)+f(2018)的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
4.下列说法中，正确的个数有( )个
①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形；
③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知向量a，b满足b=( 3,1)，b=λa(λ∈R)，且a⋅b=1，则λ=( )
A. 14B. 12C. 2D. 4
6.已知AB是圆O：x2+y2=1的直径，C、D是圆O上两点，且∠COD=60°，则(OC+OD)⋅AB的最小值为( )
A. 0B. − 3C. −3D. −2 3
7.函数f(x)=1−ex1+ex⋅sinx的部分图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
8.已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1−DEBC，M为A1C的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是( )
①MB//平面A1DE；
②三棱锥M−DEC的体积最大值为2 23；
③|MB|= 5；
④一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①②③④
9.已知向量a=(sinωx,sinωx−csωx)，b=(2 3csωx,sinωx+csωx)(ω>0).设函数f(x)=a⋅b(x∈R)，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则( )
A. f(x)=2sin(2x−π6)
B. (π3,0)是函数y=f(x)图象的对称中心
C. 函数y=f(x)在区间(−2π3,−π6)上单调递减
D. 使f(x)>0成立的x的取值区间为[kπ+π12,kπ+7π12],k∈Z
10.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3,M为棱DD1上的一点，且MD=1,P为底面ABCD内一动点(含边界)，则下列命题正确的是( )
A. 若PM与平面ABCD所成的角为π4，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为2π3
B. 若点A到平面PDM的距离为 3，则三棱锥M−PAD 的体积的最大值为2 33
C. 若以D为球心的球经过点M，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为4π9
D. 经过B,C,M三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
11.若复数z=21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. z的虚部为−iB. |z|=2
C. z2为纯虚数D. z的共轭复数为−1−i
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若锐角α满足1 tanα2= 2 3 tan10°+ tanα2，则角α的度数为______．
13.已知α∈(0,3π2),csα=35，tanα2= ______．
14.如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC=60°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H在线段OB1上，OH=3HB1，点M在线段BD上移动，则三棱锥M−C1O1H的体积最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。
15.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E、F分别为棱AD、SB的中点．
(Ⅰ)求证：AF//平面SEC
(Ⅱ)求证：平面ASB⊥平面CSB
(Ⅲ)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由．
16.已知函数f(x)=ln(e2x+1)−x．
(1)当x≥0时，函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，求实数a的取值范围;
(2)设函数ℎ(x)=ln(m⋅ex−2m)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求m的取值范围．
17.如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，PA=AB=1，PB= 2,E,F是棱PD上的两点，且PF=13PD．
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面EAC与平面ACD所成二面角的大小．
①BF//平面ACE；
②三棱锥C−ABE的体积V= 336．
18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，2bsinA=asinC．
(Ⅰ)求csC的值；
(Ⅱ)求sin(2C−π3)的值．
19.在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，csA=35．
(1)若c=4，求△ABC的面积;
(2)求5b−3ccsC的值;
(3)求|AB+AC|−AB⋅AC的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.D
6.D
7.C
8.B
9.AC
10.AD
11.C
12.50°
13.12
14. 348
15.(I)证明：取SC中点G，连结FG，AF，EG，
∵F，G分别是SB，SC的中点，
∴FG//BC，FG=12BC，
∵底面ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴AE//BC，AE=12BC，
∴FG//AE，FG=AE，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF//EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，
∴AF//平面SEC．
(II)证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，
∴SE⊥AD，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，又SE∩CE=E，SE、CE⊂平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，EG⊂平面SEC，
∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，
∴四边形AFGE是矩形，
∴AF⊥FG，
又SA=AB，F是SB的中点，
∴AF⊥SB，
又FG∩SB=F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，
又AF⊂平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB．
(III)设AC、BD交于O点，假设棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，
连结MO，BE，
MO⊂平面MAC，则BD⊥OM，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SAD为正三角形，
∴由余弦定理得BE= 7，SE= 3，BD=2OB=2 3，SD=2，SE⊥AD，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD=AD，SE⊂侧面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
∴SE⊥BE，∴SB= SE2+BE2= 10，
∴cs∠SBD=SB2+BD2−SD22SB⋅BD=3 3020，
∵△BOM为直角三角形，∴OBBM=3 3020，∴BM=2 103
∴BMBS=23．
16.解：(1)∵f(x)=ln(e2x+1)−x，
当x≥0时，函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，
即a=ln(e2x+1)−2x在x∈[0,+∞)时有解，
设φ(x)=ln(e2x+1)−2x(x≥0)，
即φ(x)=ln(1e2x+1)，∵x≥0，1<1e2x+1≤2，
∴φ(x)∈(0,ln2]，
即实数a的取值范围为(0,ln2]．
(2)若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，
则关于x的方程ln(m⋅ex−2m)=ln(e2x+1)−x只有一解，
∴m⋅ex−2m=ex+e−x只有一解，令t=ex(t>0)，
得关于t的方程(m−1)t2−2mt−1=0有一正数解，
①当m=1时，方程的解为t=−12，不合题意;
②当m>1时，∵t1⋅t2=−1m−1<0，∴此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意;
③当m<1时，只需4m2−4(m−1)×(−1)=02m2(m−1)>0&,
解得m=−1− 52;
综上：实数m的取值范围为m|m=−1− 52或m>1．
17.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
因为BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，
所以BD⊥平面PAC，
因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，
因为PA=AB=1，PB= 2，所以PB2=AB2+PA2，所以AB⊥PA，
因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD=B，所以PA⊥平面ABCD，
因为PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．
(2)解：若选条件①，
记BD与AC交于点O，则O为BD的中点，连接OE，
由BF//平面ACE，平面BFD∩平面ACE=OE，则BF//OE，
所以E为FD的中点，PE=23PD，
取棱CD的中点G，连接AG，则AB，AG，AP两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AG，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(12, 32,0)，D(−12, 32,0)，P(0,0,1)，
所以AC=(12, 32,0)，PD=(−12, 32,−1)，AP=(0,0,1)，
因为PE=23PD，所以PE=(−13, 33,−23)，
则AE=AP+PE=(−13, 33,13)，
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=−13x+ 33y+13z=0n⋅AC=12x+ 32y=0，
令x= 3，得n=( 3,−1,2 3)，
平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，
设二面角E−AC−D的大小为θ，则二面角E−AC−D为锐角，
计算csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|=0+0+2 31× 3+1+12= 32，
所以二面角E−AC−D的大小为π6．
若选条件②，记点E到平面ABC的距离为ℎ，
由VC−ABE=VE−ABC=13S△ACC⋅ℎ=13× 34×12×ℎ= 336，
解得ℎ=13，
由(1)知PA⊥平面ABCD，所以ℎ=13PA，即PE=23PD，
取棱CD的中点G，连接AG，则AB，AG，AP两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AG，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(12, 32,0)，D(−12, 32,0)，P(0,0,1)．
故AC=(12, 32,0)，PD=(−12, 32,−1)，AP=(0,0,1)．
因为PE=23PD，所PE=(−13, 33,−23)，
则AE=AP+PE=(−13, 33,13)，
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=−13x+ 33y+13z=0n⋅AC=12x+ 32y=0，
令x= 3，得n=( 3,−1,2 3)，
所以平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，
设二面角E−AC−D为θ，则二面角E−AC−D为锐角，
计算csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|=0+0+2 31× 3+1+12= 32，
所以二面角E−AC−D的大小为π6．

18.解：(1)因为2bsinA=asinC，
由正弦定理得：2ab=ac，即c=2b，
因为b+c=2a，所以a=32b，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=94b2+b2−4b22×32b×b=−14；
(2)由(1)知，csC=−14，因为C∈(0,π)，所以sinC= 154，
所以sin2C=2sinCcsC=2× 154×(−14)=− 158，
cs2C=cs2C−sin2C=116−1516=−78，
所以sin(2C−π3)=sin2Ccsπ3−cs2Csinπ3=− 158×12−(−78)× 32=7 3− 1516．
19.解：(1)由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=b8=35⇒b=245，
结合csA=35，得sinA=45，可知，
△ABC的面积S=12bcsinA=12×245×4×45=19225；
(2)因为a=4，sinA=45，所以asinA=5，
由正弦定理b=5sinB，c=5sinC，
所以5b−3ccsC=25sinB−15sinCcsC，①
由于sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=45csC+35sinC，
代入①式可知：5b−3ccsC=(20csC+15sinC)−15sinCcsC=20；
(3)解法1：
设BC中点为D，则|AB+AC|=|2AD|=2|AD|，
AB⋅AC=(AD+DB)⋅(AD+DC)=(AD+DB)⋅(AD−DB)=AD2−DB2=|AD|2−4，
所以|AB+AC|−AB⋅AC=−|AD|2+2|AD|+4，
如下图所示，
设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，
故点A的运动轨迹为劣弧A1A2(不含端点)，
由正弦定理知圆O的半径r=52，故OD=rcsA=52×35=32，
设∠AOD=θ，则π−A<θ⩽π，由余弦定理：
AD= OA2+OD2−2OA⋅OD⋅csθ= 254+94−2⋅52⋅32⋅csθ= 172−152csθ∈ 13,4,
由于函数fx=−x2+2x+4在x∈ 13,4时单调递减，f 13=2 13−9，f4=−4，
所以|AB+AC|−AB⋅AC=−|AD|2+2|AD|+4∈[−4,2 13−9)；
解法2：
由余弦定理16=b2+c2−65bc⇒b2+c2=16+65bc②，
由定义AB⋅AC=bccsA=35bc，
所以|AB+AC|−AB⋅AC= b2+c2+65bc−35bc= 16+125bc−35bc，
设t= 16+125bc，
则|AB+AC|−AB⋅AC=f(t)=−14t2+t+4，
由正弦定理：
b+c=5sinB+5sinC=5sinB+5sinA+B=5sinB+545csB+35sinB
=8sinB+4csB=4 5sinB+φ，
其中锐角φ满足sinφ= 55，csφ=2 55，
由锐角三角形可知B∈π2−A,π2⇒B+φ∈π2+φ−A,π2+φ，
注意到sinπ2+φ−A=sinπ2+φ=2 55，
所以sinB+φ∈2 55,1．
所以b+c∈8,4 5,②式变形为bc=516(b+c)2−5，故bc∈15,20,
从而t∈2 13,8,
此时函数f(t)单调递减，而f2 13=2 13−9，f8=−4，
所以AB+AC−AB⋅AC=ft∈−4,2 13−9．