09 第65讲　二项分布与超几何分布、正态分布 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
2.(1)Cnkpk(1-p)n-k (2)np np(1-p)
3.(1)CMkCN-Mn-kCNn (3)nMN
4.(1)正态密度曲线 (2)①x=μ ②x=μ ④1
(3)①X~N(μ,σ2) ②μ σ2
【对点演练】
1.6 [解析] 由随机变量X服从正态分布N(4,3),得μ=4,σ2=3,又由P(Xa+1),可得直线x=a-5和直线x=a+1关于直线x=4对称,所以a-5+a+1=8,解得a=6.
2.37 [解析] ∵该班有50名学生,∴从该班中任选2名学生共有C502种不同的选法,又∵15人选修A课程,另外35人选修B课程,∴他们是选修不同课程的学生的选法有C151C351种,故从该班中任选2名学生,他们选修不同课程的概率P=C151C351C502=37.
3.78 [解析] 因为是有放回地取产品,所以每次取到次品的概率为48=12.任取3次,X表示取得次品的次数,则X~B3,12,所以P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=C32×122×12+C31×12×122+C30×123=78.
4.③ [解析] 将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X,则X服从二项分布,①不满足题意;某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X,则X服从两点分布,②不满足题意;从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X,则X服从超几何分布,③满足题意;盒中有4个白球和3个黑球,每次从中随机摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X,则X不服从超几何分布,④不满足题意.故填③.
[解析] 因为随机变量X~N(2,σ2),所以P(X≤0)=P(X≥4),又P(X≤0)=0.15,所以P(2≤X≤4)=1-2P(X≤0)2=1-2×0.152=0.35.
6.425 110 [解析] 若采取放回简单随机抽样,则每次摸出的1个球是白球的概率为25,所以摸出的2个球都是白球的概率P1=C22×252=425.若采取不放回简单随机抽样,则摸出的2个球都是白球的概率P2=25×14=110.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由题可求出一次试验成功的概率,设试验成功的次数为Y,可知Y服从二项分布,再利用方差的性质即可求解.(2)①由题意可求得P(B)和P(A),P(AB),结合条件概率的计算公式即可求得P(B|A);②分析X的可能取值,得到X~B4,25,求得相应的概率,列出分布列,利用期望公式即可求解.
(1)1003 [解析] 由题意得,启动一次出现的数字为A=1010的概率P=132×23=227.设试验成功的次数为Y,则Y~B54,227,所以Y的方差D(Y)=54×227×2527=10027,易得X=2Y-1×(54-Y)=3Y-54,所以D(X)=D(3Y-54)=9D(Y)=1003.
(2)解:①由题意得,第二次抽到男生的概率P(B)=6×4+4×310×9=25.因为P(A)=610=35,P(AB)=6×410×9=415,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=49.
②由题意得,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且X~B4,25.可得P(X=0)=C40×354×250=81625,P(X=1)=C41×353×251=216625,P(X=2)=C42×352×252=216625,P(X=3)=C43×351×253=96625,
P(X=4)=C44×350×254=16625,
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=4×25=85.
变式题 (1)D [解析] 由题意,袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,则从袋中随机摸出1个球,该球为红球的概率为412=13,现从中有放回地摸球8次,每次摸球的结果不会相互影响,表示进行了8次独立重复试验,设Y表示摸出红球的个数,则Y~B8,13,故D(Y)=8×13×1-13=169.因为X=3Y,所以D(X)=D(3Y)=9D(Y)=9×169=16,故选D.
(2)解:(i)设“抽取的3箱西梅中恰好有1箱是一等品”为事件A1,则P(A1)=C41C62C103=12,因此,从这10箱西梅中任取3箱,恰好有1箱是一等品的概率为12.
(ii)由题意可知,从这10箱西梅中随机抽取1箱,恰好是一等品的概率为410=25,由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B3,25,所以P(X=0)=C30×250×353=27125,P(X=1)=C31×251×352=54125,P(X=2)=C32×252×351=36125,P(X=3)=C33×253×350=8125,所以X的分布列为
E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65或E(X)=3×25=65.
例2 [思路点拨] (1)对于有放回抽检,随机变量X服从二项分布,进而可求出分布列和数学期望;对于不放回抽检,随机变量X服从超几何分布,进而可求出分布列和数学期望.(2)由条件可知,f10=Y10是一个随机变量,分有放回抽取和不放回抽取求出P(|f10-0.25|≤0.15)=P(1≤Y≤4)比较大小即可.
解:(1)对于有放回抽检,每次抽到混合动力汽车的概率为30120=14,且各次抽检结果是独立的,则X~B2,14,X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=342=916,P(X=1)=C21×34×14=38,P(X=2)=142=116,
所以X的分布列为
则E(X)=0×916+1×38+2×116=12或E(X)=2×14=12.对于不放回抽检,各次抽检的结果不独立,则X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C902C1202=267476,P(X=1)=C301C901C1202=45119,P(X=2)=C302C1202=29476,
所以X的分布列为
则E(X)=0×267476+1×45119+2×29476=12或E(X)=2×30120=12.
(2)样本中混合动力汽车的台数的比例f10=Y10是一个随机变量,根据参考数据得:
对于有放回抽取,易知Y服从二项分布,则P(|f10-0.25|≤0.15)=P(1≤Y≤4)≈0.187 71+0.281 57+0.250 28+0.146 00=0.865 56;对于不放回抽取,易知Y服从超几何分布,则P(|f10-0.25|≤0.15)=P(1≤Y≤4)≈0.182 54+0.290 51+0.261 34+0.147 01=0.881 40.
因为0.865 56