02 第48讲　两直线的位置关系 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
1.k1=k2且b1≠b2 k1·k2=-1 k1≠k2
2.交点坐标 (1)相交 交点的坐标 (2)无公共点 平行
3.(x1-x2)2+(y1-y2)2 |Ax0+By0+C|A2+B2 |C1-C2|A2+B2
【对点演练】
1.直角 [解析] 因为边AB所在直线的斜率k1=-12,边BC所在直线的斜率k2=2,且k1k2=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形.
2.2 [解析] 点(1,3)到直线3x-4y-1=0的距离d=|3-12-1|9+16=2.
3.2x+y-4=0 [解析] 由x+y-3=0,x-2y+3=0,解得x=1,y=2,∴直线x+y-3=0和直线x-2y+3=0的交点为(1,2),又所求直线与直线2x+y-7=0平行,∴所求直线的斜率为-2,∴所求直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
4.16 [解析] 方法一:因为直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my+1=0平行,所以两直线的斜率相等或斜率均不存在,所以-12m=3m-1m或m=0,即m=16或m=0.当m=0时,l1与l2重合,不符合题意,所以m=16.
方法二:因为l1∥l2,所以1×(-m)-(3m-1)×2m=0,1×1-(3m-1)×(-1)≠0,解得m=16.
5.43或0 [解析] 若直线l1:2x+3ay-4=0与直线l2:ax+(a-2)y+1=0垂直,则2a+3a(a-2)=0,解得a=0或a=43.
6.72 [解析] 依题意得a=6,3x+4y-12=0可变形为6x+8y-24=0,所以两条平行直线之间的距离为|11+24|36+64=72.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 判断两直线的位置关系,关键是判断两直线的斜率之间的关系.
解:(1)当m=-6时,直线l1的方程为-3x+5y=23,l2的方程为x=4,显然两直线相交;
当m≠-6时,由m+32≠5m+6,解得m≠-1,m≠-8.
综上,当m≠-1且m≠-8时,直线l1与l2相交.
(2)由(1)知当m=-6时,直线l1与l2相交.
当m≠-6时,由m+32=5m+6≠5-3m8,得m=-1(舍去)或m=-8,所以当m=-8时,直线l1与l2平行.
(3)由m+32=5m+6=5-3m8,得m=-1,
所以当m=-1时,直线l1与l2重合.
(4)由 2(m+3)+5(m+6)=0得m=-367,
所以当m=-367时,直线l1与l2垂直.
变式题 (1)D (2)C (3)2 [解析] (1)当直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0平行时,a21=a+12≠1,得a=-12.当a=1时,直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0重合,所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D.
(2)当三条直线交于一点时,可将平面分为六个部分,由x-2y+2=0,x-2=0,解得x=2,y=2,将x=2,y=2代入l3:x+ky=0中,得2k+2=0,解得k=-1.当l3:x+ky=0与l1:x-2y+2=0平行时,三条直钱可将平面分为六个部分,此时k=-2;当l3:x+ky=0与l2:x-2=0平行时,三条直线可将平面分为六个部分,此时k=0.综上,满足条件的k的值共有3个.故选C.
(3)设直线l的斜率为k1,直线x+2y-λ=0的斜率为k2,由直线x+2y-λ=0可得k2=-12,因为直线l与直线x+2y-λ=0垂直,所以k1·k2=-1,即-12k1=-1,解得k1=2,即tan α=2,所以tan(π+α)=tan α=2.
例2 [思路点拨] (1)直线3x+my-3=0过定点(1,0),计算定点到直线6x+4y+1=0的距离即可.(2)直线y=k(x+1)恒过定点(-1,0),当点(-1,0)与(0,-1)的连线垂直于直线y=k(x+1)时,点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大.(3)联立两直线的方程,解方程组可得交点坐标,进而可得直线l的斜率,根据点斜式即可得直线l的方程.
(1)D (2)B (3)2x-y=0 [解析] (1)直线3x+my-3=0过定点(1,0),则直线3x+my-3=0到直线6x+4y+1=0的距离即为点(1,0)到直线6x+4y+1=0的距离,故所求距离d=|6×1+4×0+1|62+42=752=71326.故选D.
(2)由y=k(x+1),可得直线过定点(-1,0),易知当点(-1,0)与(0,-1)的连线与直线y=k(x+1)垂直时,所求距离最大,所以点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为12+(-1)2=2.故选B.
(3)由题意得,联立2x-3y-4=0,x-y-1=0,解得x=-1,y=-2,即两条直线2x-3y-4=0与x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2),∵直线l经过(0,0),∴直线l的斜率k=-2-1=2,∴直线l的方程为y=2x,即2x-y=0.
变式题 (1)-3或3 (2)4 [解析] (1)方法一:由题意得|-2a-4+1|a2+1=|a+5+1|a2+1,解得a=3或a=-3.
方法二:因为A,B两点到直线l的距离相等,所以直线AB∥l或线段AB的中点在直线l上,则5+41+2=-a或-12a+12+1=0,解得a=-3或a=3.
(2)a2+(b+1)2即为点M(a,b)到点(0,-1)的距离的平方,点M(a,b)为直线3x-y+3=0上的动点,因为点(0,-1)到直线3x-y+3=0的距离d=|0+1+3|3+1=2,所以a2+(b+1)2的最小值为4.
例3 [思路点拨] 设出A点的坐标,根据中点坐标公式求出B点坐标,代入直线l2的方程中,解方程求得A点坐标,利用截距式求出直线l的方程.
x+4y-4=0 [解析] 设A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在直线l2上,则-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,由直线的截距式方程得直线l的方程为x4+y=1,即x+4y-4=0.
例4 [思路点拨] (1)求出点B关于直线x-y+3=0的对称点M的坐标,进而求出AC的斜率,利用点斜式求解直线方程即可.(2)首先建立平面直角坐标系,设点P的坐标为(t,0),分别求出点P关于直线BC与y轴的对称点P1,P2的坐标,进而求出直线P1P2的方程,再由A,B,C的坐标求出△ABC的重心的坐标,进而求出t的值,最后得到线段AP的长度.
(1)x-2y+8=0 (2)43 [解析] (1)设点B关于直线x-y+3=0的对称点M的坐标为(a,b),则b-3a-1=-1,1+a2-3+b2+3=0,解得a=0,b=4,所以M(0,4).由题可知,A,M两点都在直线AC上,所以直线AC的斜率为5-42-0=12,所以直线AC的方程为y-4=12(x-0),即x-2y+8=0.
(2)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0