03 第41讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
1.不在一条直线上 两个点 平行
2.这条直线外 相交 平行
3.(1)相交 平行 任何 (2)相等或互补
4.1 0 无数 0 无数
【对点演练】
1.④ [解析] 对于①,共线的三点不能确定一个平面,故①错误;对于②,若两个平面有一个公共点,则这两个平面有一条经过该点的公共直线,该交线上有无数个公共点,故②错误;对于③,三条平行直线可能共面,也可能有一条直线在另外两条平行直线确定的平面外,故③错误;对于④,当三条直线两两相交且三个交点不重合时,三条直线共面,当三条直线两两相交于一个点时,这三条直线可能在同一个平面内,也可能不共面,此时其中任意两条直线都可以确定一个平面,共可确定3个平面,故④正确.故填④.
2.直线CD [解析] 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.
3.④ [解析] 依题意,m∩α=A,n⊂α,∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),m与n一定不平行.故填④.
4.异面或平行 [解析] 如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是异面或平行.
5.平行或相交或异面 [解析] 如图所示,当a=AA1,l=BC,b=D1C1时,直线a,b异面;当a=AA1,l=BC,b=DD1时,直线a,b平行;当a=AA1,l=BC,b=A1B1时,直线a,b相交.故a与b的位置关系是平行或相交或异面.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)连接EF,CD1,A1B,可证得EF∥A1B∥CD1,从而得到E,C,D1,F四点共面;(2)设CE,D1F交于点P,再证明直线DA经过点P即可.
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.由平行六面体的性质得A1B∥D1C,∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1,
又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF1.4,故B正确;对于C,圆柱体的底面直径为0.01 m,可以忽略不计,正方体的体对角线的长为3 m,而1.8>3,故C不正确;对于D,圆柱体的高为0.01 m,可忽略不计,如图②,取E,F,G,H,I,J分别为所在棱的中点,并顺次连接,所得六边形EFGHIJ为正六边形,其边长为22 m,连接FH,易知FH为正六边形EFGHIJ的内切圆直径,因为∠GFH=∠GHF=30°,所以FH=3FG=3GH=62 m,而622=64>1.22=1.44,故D正确.故选ABD.
【应用演练】
1.D [解析] 如图所示,连接QP并延长,与CB的延长线交于M,且QP的反向延长线与CD的延长线交于N,连接MR,交BB1于E,连接PE,则PQ,PE,RE为截面与正方体的交线,作RG∥PQ,交C1D1于点G,连接NG,交DD1于点F,连接QF,则RG,QF,FG为截面与正方体的交线,∴截面为六边形PQFGRE.
2.A [解析] 如图,将棱长为1的正四面体B1ACD1放入正方体ABCD-A1B1C1D1中,且正方体的棱长为1×cs 45°=22,连接AC1,则AC1=222+222+222=62,所以正方体外接球的半径R=12AC1=64,所以正方体外接球的体积为43πR3=43π×643=68π,因为正四面体的外接球即为正方体的外接球,所以正四面体的外接球的体积为68π.
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3.D [解析] 取CC1的中点G,连接BG,则D1E∥BG,取CG的中点N,连接FN,D1N,则FN∥BG,所以FN∥D1E, 则直线FN⊂平面D1EF.延长D1E,DA,交于H,连接FH,交AB于点M,连接ME,则平面D1EF截正方体所得的截面图形为五边形D1EMFN,由条件可得A1E=AE=2,AH=4,C1N=3,CN=1,D1E=42+22=25,D1N=42+32=5, FN=12+22=5,取AD 的中点Q,连接QF,则AM∥FQ,所以AMFQ=AHHQ,所以AM=AHHQ×FQ=46×4=83,则MB=43,所以ME=AE2+AM2=4+832=103,MF=MB2+BF2=4+432=2133,所以五边形D1EMFN的周长为D1E+EM+MF+FN+ND1=25+103+2133+5+5=213+95+253.故选D.
4.C [解析] 根据题意,当正四面体在正方体的内切球内时,正四面体可以在正方体内任意转动,故当该正四面体内接于球时,其棱长最长.正方体的棱长为6,则其内切球的半径为3,如图,记内接于球的正四面体为P-ABC,设其棱长为a,O为底面ABC的中心,四面体外接球的球心为O',连接PO,OC,O'C,则O'在OP上,PO⊥底面ABC,所以CO=23×32a=33a,PO=a2-a23=63a,O'P=O'C=3,在Rt△OO'C中,63a-32+33a2=9,可得a=26,故m的最大值为26.故选C.