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初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）5.3 实际问题与一元一次方程教学设计
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这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）5.3 实际问题与一元一次方程教学设计，共23页。
课时目标
1.能够根据实际问题中的数量关系列方程解决问题,从而培养学生数学建模能力和分析问题、解决问题的能力.
2.通过使学生经历列一元一次方程解决实际问题的过程,让学生逐步建立方程思想,培养学生的建模意识.
3.通过结合实际问题,创造活跃有趣的情境,提高学生的学习兴趣.让学生在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,增强学好数学的信心.
学习重点
从实际问题中抽象出方程模型,列一元一次方程解应用题.
学习难点
在将实际问题抽象为方程的过程中找等量关系.
课时活动设计
回顾引入
1.生活中存在着很多配套的问题,如图所示.
2.在小学里我们学过有关工程问题的应用题,这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量,三者的关系是:工作总量=工作时间×工作效率,人们常规定工程问题中的工作总量为 1 .
3.由以上公式,可知一件工作,甲用a h完成,则甲的工作量可看成 1 ,工作时间是 a ,工作效率是1a.若这件工作甲用6 h完成,则甲的工作效率是16.
设计意图:通过回顾生活中的现实情境和学生已学过的知识,激发学生的学习兴趣,唤醒学生的知识积累,为新知识的学习做好知识和思想上的准备.
探究新知
探究1 产品配套问题
问题1:机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套,那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套?
分析:这是一个“产品配套问题”,本题需要找出相等关系:(1)加工大齿轮的工人人数+加工小齿轮的工人人数=85;(2)每天加工的大齿轮的个数与每天加工的小齿轮的个数的比恰为2?3.
教师出示问题,学生独立思考,小组讨论,选派代表回答,教师巡视指导.
学生思考问题,教师适时通过以下问题给予指导:
(1)若安排x名工人加工大齿轮,则有 (85-x) 名工人加工小齿轮.
(2)x名工人每天可加工 16x 个大齿轮,加工小齿轮的工人每天可加工 10(85-x) 个小齿轮.
(3)按题中的配套方法,你是否可找出其中的等量关系呢?
学生在教师指导下,经过思考、在小组内交流后可以获得这个问题的相等关系:每天加工的大齿轮个数与每天加工的小齿轮个数的比恰为2?3,即:3×每天加工的大齿轮个数=2×每天加工的小齿轮个数,进而列出方程.
解:设安排x名工人加工大齿轮,则有(85-x)名工人加工小齿轮.
根据题意,得3×16x=2×10(85-x).
解这个方程得x=25.
所以85-x=60.
答:应安排25名工人加工大齿轮,60名工人加工小齿轮.
师生共同归纳:解决“产品配套问题”的基本等量关系是加工(或生产)的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零件的数量比.
探究2 工程问题
问题2:一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,那么两人合作多少小时完成?
分析:这道题属于“工程问题”类型.在“工程问题”中,工作总量=工作效率×工作时间.通常把全部工作量简单表示为1,如果一个工作需要n个小时完成,那么平均每个小时完成的工作量就是1n.
教师出示以下问题,学生独立思考,小组讨论,选派代表回答,教师巡视指导.
思考:(1)两人合作32小时完成对吗?为什么?
(2)甲每小时完成全部工作的 120 ;乙每小时完成全部工作的 112 ;
甲x小时完成全部工作的 x20 ;乙x小时完成全部工作的 x12 .
学生经过思考,判断第(1)问是不对的,第(2)问依次应填120 112 x20 x12.
解:设两人合作x小时完成这件工作.
由题意,得x20+x12=1.
解得x=7.5.
答:两人合作7.5小时可以完成这件工作.
师生共同归纳:解决“工程问题”需要知道“工作量=人均效率×人数×时间”这一基本数量关系式.如果一件工作分几个阶段完成,那么“各阶段工作量的和=总工作量”.
设计意图:理解题意是学好数学的前提,列方程解实际问题时,要让学生深入理解题意,找出问题中的相等关系,对于一些问题本身所固有的相等关系,就需要学生熟练地掌握,灵活地变形.
典例精讲
例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名?
思考:(1)每人每天平均生产螺栓1 200个或螺母2 000个表示什么意思?
(2)刚好配套,说明螺栓和螺母个数一样多吗?
(3)为了使每天的产品刚好配套,应使生产的螺母数量恰好为螺栓数量的 2倍 .
分析:这又是一个“产品配套问题”.在本题中,“刚好配套”的意思是使得螺栓数目与螺母数目的比恰好为1?2,即每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时,它们刚好配套.
解:设应安排x名工人生产螺栓,(22-x)名工人生产螺母.
依题意,得2 000(22-x)=2×1 200x.
解方程,得x=10.
所以22-x=12.
答:应安排10名工人生产螺栓,12名工人生产螺母.
例2 整理一批图书,由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h,然后增加2人与他们一起整理8 h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,应先安排多少人进行整理?
分析:如果把总工作量设为1,则人均效率(一个人1 h完成的工作量)为140,x人选整理4 h完成的工作量为4x40,增加2人后再整理8 h完成的工作量为8(x+2)40,这两个工作量之和应等于总工作量.
解:设先安排x人整理4 h.
依题意,得4x40+8(x+2)40=1.
解方程,得x=2.
答:应先安排2人进行整理.
这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量=人均效率×人数×时间”“各阶段工作量的和=总工作量”的关系考虑问题.
设计意图:在完成了“产品配套问题”“工程问题”的探究之后,学生刚刚获取的经验得到巩固和深化,进一步熟悉解决问题的方法与过程,从而提高分析和解决问题的能力.
巩固训练
1.某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个,若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是( D )
A.22x=16(27-x) B.16x=22(27-x)
C.2×16x=22(27-x) D.2×22x=16(27-x)
2.某项工作,甲单独做要20小时完成,乙单独做要12小时完成.现甲先做4小时后,剩下的由甲、乙合作,还需做x小时完成,则x满足的方程是( C )
A.420-x20-x12=1 B.420+x20-x12=1
C.4+x20+x12=1 D.420-x20+x12=1
3.某瓷器厂共有120名工人,每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶,如果8只茶杯和1只茶壶为一套,则安排 40 人生产茶壶可使每天生产的瓷器配套.
4.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲单独做要6小时完成,乙单独做要4小时完成,现甲先做30分钟后,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时完成工作?
解:设甲、乙一起做x小时后完成工作.
依题意,得16×12+16+14x=1.
解得x=115.
答:甲、乙一起做还需115小时完成工作.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固学生所学知识,加深学生对化归思想和建模思想的理解.
课堂小结
思考:在前面“产品配套问题”和“工程问题”的解决中,我们运用了一元一次方程的知识.那么,在利用一元一次方程解决实际问题方面,你获得了哪些活动的经验?有什么共同点?
通过让学生思考,师生共同总结出如下知识要点:用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤,即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
设计意图:回顾反思、总结提炼是学生所学知识得以巩固和升华的关键一环,通过小结,既训练了学生分析问题、解决问题的能力,拓展了学生的思维空间,又从问题的解决过程中存在的共性关系上加以对比、分析探究,培养了学生的创新意识,活跃了学生的思维广度.
课堂8分钟.
1.教材第134页练习第1,3题,第140页习题5.3第2,3,4题.
2.七彩作业.
第1课时 产品配套问题与工程问题
1.产品配套问题——“刚好配套”的意思.
2.工程问题:工作量=人均效率×人数×时间,各阶段工作量的和=总工作量.
3.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤:设、列、解、检、答等步骤.
教学反思
第2课时 销 售 问 题
课时目标
1.能够根据销售问题中的数量关系列方程解决问题,从而培养学生数学建模能力和分析问题、解决问题的能力.
2.通过使学生经历列一元一次方程解决实际问题的过程,让学生逐步建立方程思想,培养学生的建模意识.
3.通过使学生经历销售问题的学习和解决过程,形成良好的学习方式和学习态度,在应用数学知识解决学生身边熟悉的问题中,认识数学的应用价值.
学习重点
把握销售问题中的等量关系,培养学生运用方程解决问题的能力.
学习难点
弄清题意,分析实际问题中的数量关系,抽象出方程的模型.
课时活动设计
回顾引入
问题:1.某运动鞋打八折后是220元,则原价是 275 元.
2.进价为90元的篮球,卖了120元,利润是 30 元,利润率是 33% .
3.某商品原标价为165元,降价10%后,售价为 148.5 元,若成本为110元,则利润为 38.5 元.
4.某商场将进价为2 980元的电视机按标价的八折出售后仍获利10%,则该商品的标价为 4 097.5 元.
教师展示问题,学生独立思考,小组讨论,选派学生代表回答,教师巡视指导.
学生经过思考,尝试回答.
教师归纳:销售问题中常见的相等关系有:售价=标价×折扣,利润=售价-进价,利润率=利润进价×100%;售价=进价×(1+利润率).
设计意图:通过回顾这些与销售有关的问题,让学生复习这类问题本身所固有的相等关系,对实际问题产生兴趣和疑问,使学生的思维能迅速进入思考阶段,进行问题的探究过程中,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
问题:一商店以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
分析:有同学可能认为,一件盈利25%,另一件亏损25%,合起来是不盈不亏;实际上,是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元.如果总售价大于总进价就盈利,总售价小于总进价就亏损,相等就不盈不亏.
解:设盈利25%的那件衣服进价是x元,它的商品利润就是0.25x元.
依题意,得x+0.25x=60.
解得x=48.
设亏损25%的另一件衣服进价是y元,它的商品利润是-0.25y元.
依题意,得y-0.25y=60.
解得y=80.
两件衣服的总进价是48+80=128(元),而两件衣服的总售价是60+60=120(元),总售价小于总进价,由此可知卖这两件衣服共亏损8元.
设计意图:让学生把握销售问题中的等量关系,培养学生运用方程解决问题的能力;让学生经历寻找解决问题的途径的过程,培养学生独立思考问题的习惯.
典例精讲
例1 某商品的售价为每件900元,为了参与市场竞争,商店按售价的9折再让利40元销售,此时仍可获利10%,此商品的进价是多少元?
分析:销售问题中的基本相等关系要灵活地运用,在本题中找到“利润=利润率×进价=现售价-进价”这个相等关系尤为重要.
解:设该商品的进价为每件x元.
依题意,得900×0.9-40-x=10%x.
解得x=700.
答:该商品的进价为700元.
例2 某市百货商场元月一日搞促销活动,购物不超过200元不给优惠;超过200元,而不足500元优惠10%;超过500元的其中500元按9折优惠,超过部分按8折优惠,某人两次购物分别用了134元和466元,问:
(1)此人两次购物其物品如果不打折,值多少钱?
(2)在此次活动中,他节省了多少钱?
(3)若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品是更节省还是亏损?说明你的理由.
分析:该题给出的优惠标准实质是:200元以上给予优惠,且分两个等级.(1)首先应判定134元的商品是否给予优惠.因为200×90%=180>134,所以购134元的商品并未优惠.其次是466元的商品是如何优惠的?(3)应计算买相同商品其付款数为多少,然后再与600元进行比较,问题得以解决.
解:(1)因为200×90%>134,所以购134元的商品未优惠,又因为500×0.9=450<466,所以购466元的商品有两次优惠.
设第二次商品如果不打折,值x元.
依题意,得500×0.9+(x-500)×0.8=466.
解得x=520.
所以商品如果不打折分别值134元和520元,共654元.
(2)(134+520)-(134+466)=54(元).
所以他节省了54元.
(3)654元的商品优惠价为:500×0.9+(654-500)×0.8=573.2(元).
(134+466)-573.2=26.8(元).
所以若买相同的商品,合起来购买更节省,节省26.8元.
设计意图:数学源于生活,生活中蕴含着数学,通过课堂教学,让学生在生活中学习数学,更让数学走进生活,学生能够通过所学到的数学知识解决一些生活中的问题,从而发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的建模思想.
巩固训练
1.五一期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打八折(标价的80%)销售,售价为2 080元.设该电器的成本价为x元.根据题意,下面所列方程正确的是( B )
A.x×30%×80%=2 080B.x(1+30%)×80%=2 080
C.2 080×30%×80%=xD.x×30%=2 080×80%
2.文具店的老板以60元每个的价格卖了两个计算器,其中一个赚了20%,另一个亏了20%,则该老板( D )
A.赚了5元 B.亏了25元
C.赚了25元D.亏了5元
3.(1)某种商品每件的标价为330元,按标价的八折销售时,仍可获利10%,则这种商品每件进价是 240 元.
(2)某商品的进价为每件100元,按标价打八折售出后每件可获利20元,则该商品的标价为每件 150 元.
4.儿童节期间,文具店搞促销活动,同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折优惠,能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元,那么书包和文具盒标价各是多少元?
解:设文具盒的标价为x元,则书包的标价为(3x-6)元.
依题意,得(1-80%)(x+3x-6)=13.2.
解得x=18.
所以3x-6=48.
答:书包和文具盒的标价分别是48元和18元.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固学生所学知识,加深对化归思想和建模思想的理解.
课堂小结
1.本节课探究了一元一次方程的哪些知识?
2.在探寻利用一元一次方程解决实际问题时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:通过小结,让学生结合学习过程进行研究、分析、归纳、总结,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又培养了学生的建模意识.
课堂8分钟.
1.教材第136页练习第1,2题,第140页习题5.3第10题.
2.七彩作业.
第2课时 销 售 问 题
销售问题中的基本相等关系:
(1)售价=标价×折扣;
(2)利润=售价-进价;
(3)利润率=利润进价×100%;
(4)售价=进价×(1+利润率).
教学反思
第3课时 球赛积分问题与图表信息问题
课时目标
1.能够根据图表信息问题中的数量关系列方程解决问题,从而培养学生数学建模能力和分析问题、解决问题的能力.
2.通过学习,让学生进一步体会方程是解决实际问题的数学模型,明确用方程解决实际问题时,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
3.通过使学生经历图表信息问题解决过程,培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力,在应用数学知识解决问题的过程中体会建立数学模型的合理性.
学习重点
会用一元一次方程解决实际问题,不仅会列方程求出问题的解,还会进行推理判断.
学习难点
如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题.
课时活动设计
情境引入
喜欢体育的同学经常观看各种不同类别的球赛,如:足球赛、篮球赛、排球赛等,但是你们了解它们的计分规则和如何计算积分吗?这节课我们将从如何用方程解决球赛积分问题开始学习.
设计意图:通过回顾生活中学生熟悉的现实情境,激发学生的学习兴趣,唤醒学生的知识积累,为新知识的学习做好知识和思想上的准备.
探究新知
问题:如图是某次篮球联赛积分榜.
(1)胜一场和负一场各积多少分?
(2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系.
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
分析:对于本题,积分多少与胜、负的场数相关,同时也与积分规则有关,因此要想弄清“胜一场积几分,负一场积几分”,这就需要通过积分表来了解.
教师展示问题,学生独立思考,小组讨论,选派学生代表回答,教师巡视,并适当加以指导.
教师对学生的思考提供方向性指导:八支队伍的胜、负场数有没有特殊的情况?
解:表中最下面一行有特殊性,它表示钢铁队14场全负,积14分,由此可知负一场的积分为1分,进而再从其他行可知胜一场的积分.如东方队的总积分为24分,若设胜一场积x分.依题意,得10x+1×4=24.解得x=2.即胜一场积2分.
追问1:积分表中存在着什么样的相等关系?
解:某队的总积分=胜场数×2+负场数×1,于是若一支球队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为14-m,总积分为2m+(14-m)=m+14,即胜m场的总积分为(m+14)分.
追问2:第(3)问是个判断题.要正确作出判断,需要进行定量分析,你可以运用一元一次方程作为工具列出方程吗?
解:设一支球队胜y场,则负(14-y)场.
依题意,得2y=14-y.
解得y=143.
追问3:想一想,y表示什么量?它可以不取整数吗?由此你能得出什么结论?
解:解决实际问题时,要考虑得到的结果是不是符合实际.因为y(所胜的场数)的值必须是整数,所以y=143不符合实际,由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分.
教师归纳:用方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
通过上述有关图表信息的题目,我们尝试总结它的一般解题步骤:
(1)识图表:整体阅读,搜索图表资料中的有效信息,关注数据变化及图表细节的暗示;
(2)用图表:通过阅读、观察、分析图表中信息,找出等量关系;
(3)建模型:找出等量关系后,建立合理的方程模型,解决问题.
设计意图:设置篮球比赛积分问题,从学生熟悉的背景材料入手,激发学生的学习兴趣,利于学生迅速地展开思考;以表格形式传递信息的题目在现实中很普遍,有利于培养学生从多种信息表达形式中获取信息的能力.
典例精讲
例 某小组8名同学参加一次知识竞赛,共答10道题,每题分值相同,每题答对得分,答错扣分,不可以不答题.各同学的得分情况如下表:
(1)如果答对的题数为n(n在0到10之间,且为整数),用含n的式子表示得分;
(2)在什么情况下得分为零分?在什么情况下得分为负分?
分析:对于本题,得分多少与答对、答错的题数相关,同时也与打分规则有关,因此需要弄清“答对一题得几分,答错一题扣几分”,这就需要通过得分表来了解,而得分表的特殊情况(6号学生的得分情况)就成了解题的突破口.
解:(1)由6号同学知,每答对一题得10分.
设答错一题扣x分,那么从1号同学的数据可列方程,得8×10-2x=70.解得x=5.所以答错一题扣5分.
如果答对的题数为n,那么得分为10n-5(10-n),即15n-50.
(2)如果得分为零分,那么可列方程15n-50=0,解得n=103.
因为竞赛题目数不可能是103,所以在任何情况下都不可能得零分.
因为答对题数越少得分越少,所以当答对题数小于103时,即答对题数为0,1,2,3时,得分为负分.
设计意图:通过例题,让学生通过观察、分析,熟练地把握表中的特殊数据,从而找到问题的突破口,锻炼学生通过观察表格获取信息的能力.
巩固训练
1.根据图中的信息,解答下列问题:
(1)购买6根跳绳需 6×25=150 元,购买12根跳绳需 12×25×0.8=240 元;
(2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元.你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
分析:观察图上所给信息,学生们容易获得购买跳绳所需要的相关付费问题:当购买跳绳数n≤10时,每根25元,即总费用为25n元;当购买跳绳数>10时,总费用为25×0.8n元.对于第(2)问这类判断型的题目,一般先按“可能”的情形去求解(即找出“可能”情况的相等关系,建立一元一次方程的模型来解决),如果得出合乎实际情况的答案,则说明这种情况是可能存在的,反之则不成立.
解:(2)有这种可能.
设小红购买跳绳x根.
根据题意,得25×0.8x=25(x-2)-5,
解得x=11.
答:小红购买跳绳11根.
2.某大酒店客房部有三人间、双人间客房若干,收费标准如下表所示.为吸引游客,现实行普通间团体入住一律五折的优惠措施,一个50人的旅游团在优惠期间在该酒店入住,住了一些三人间(普通)和双人间(普通)客房,并且每个客房正好住满,且一天共花去住宿费1 510元.
(1)该旅游团三人间、双人间各住了多少间?
(2)若豪华间四折优惠,按同样方式入住要多用多少钱?
分析:本题中要关注的是间数与人数之间的数量关系,理清楚这个关系,题目容易解决.通常设该旅游团三人间住了x间,则双人间住了50-3x2间,根据题意,得75x+70×50-3x2=1 510.
解:(1)设该旅游团三人间住了x间,则双人间住了50-3x2间,
根据题意,得0.5×150x+0.5×140×50-3x2=1 510.
解得x=8.
则50-3x2=13.
答:三人间普通客房、双人间普通客房各住了8间和13间.
(2)住豪华间需要的费用为8×300×0.4+13×400×0.4=960+2 080=3 040(元),
多用去了3 040-1 510=1 530(元).
答:按同样方式入住要多用1 530元.
设计意图:通过练习,引导学生提炼表中给定的信息,从而建立合理的数学模型以解决问题,进一步发展学生分析问题、解决问题的能力.
课堂小结
1.本节课学习了哪些知识?
2.在探寻利用一元一次方程解决实际问题时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:通过小结,让学生结合学习过程进行研究、分析、归纳、总结,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又培养了学生的建模意识.
课堂8分钟.
1.教材第137页练习第1,2题,第140页习题5.3第7题.
2.七彩作业.
第3课时 球赛积分问题与图表信息问题
1.球赛积分问题:解题的突破口——特殊数据.
2.图表信息问题的一般解法:
(1)识图表;(2)用图表;(3)建模型.
教学反思
第4课时 方案决策问题
课时目标
1.让学生通过旅游、购物、用电、电信等问题的方案设计,弄清各类问题中的等量关系,掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧,从而培养学生的建模意识.
2.通过让学生探究实际问题与一元一次方程的关系,培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过使学生经历解决方案决策问题的全过程,体会建立数学模型的合理性,感受数学的应用价值,培养学生热爱生活,勇于探索的精神.
学习重点
引导学生弄清题意,设计出各类问题的最佳方案.
学习难点
把生活中的实际问题抽象成数学问题.
课时活动设计
情境引入
问题:据我们调查,我市居民生活用电价格为每天7时到23时每度0.47元,每天23时到第二天7时每度0.25元.请根据你家每月用电情况,设计出用电的最佳方案.
设计意图:从学生熟悉的生活背景材料入手后,激发学生的学习兴趣,有利于提高学生学习数学的积极性.
探究新知
问题:购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台,下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
两款空调的部分基本信息
分析:这类题目是现实生活中经常要处理的问题.空调使用年数的多少,是影响空调综合费用的因素.在这个问题中,综合费用=空调的售价+电费.当选定一种空调后,售价是确定的,电费则与使用的时间有关.
教师展示问题,学生独立思考,小组讨论,选派学生代表回答,教师巡视,并适当加以指导.
追问1:这两款空调的综合费用分别是多少?
解:设空调的使用年数是t,则1级能效空调的综合费用是(3 000+0.5×640t)元,3级能效空调的综合费用是(2 600+0.5×800t)元.
追问2:如何说明哪款空调的综合费用较低?你能运用我们刚学过的方程知识来解决吗?
师生共同分析:两种空调综合费用相同时的时间点——关键性时间,这就用到了方程的模型.
解:当3 000+0.5×640t=2 600+0.5×800t时,解得t=5.
即当使用年数为5年时,两款空调的综合费用相等.
追问3:接下来如何比较两款空调综合费用的高低呢?
解:把表示3级能效空调的综合费用的式子2 600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和,即(3 000+320t)+(80t-400),也就是(3 000+320t)+80(t-5),
当t<5时,80(t-5)是负数,则3级能效空调的综合费用较低;
当t>5时,80(t-5)是正数,则1级能效空调的综合费用较低.
由此可见,同样是1.5匹的空调,1级能效空调虽然售价高,但由于比较省电,使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此,购买、使用1级能效空调更划算.
教师强调规范的解题步骤:
解:设空调的使用年数是t,则1级能效空调的综合费用是(3 000+0.5×640t)元,3级能效空调的综合费用是(2 600+0.5×800t)元.
当3 000+0.5×640t=2 600+0.5×800t时,解得t=5.
即当使用年数为5年时,两款空调的综合费用相等.
3级能效空调的综合费用是2 600+0.5×800t=2 600+400t,而2 600+400t=(3 000+320t)+(80t-400)=(3 000+320t)+80(t-5).
所以当t<5时,80(t-5)是负数,则3级能效空调的综合费用较低;
当t>5时,80(t-5)是正数,则1级能效空调的综合费用较低.
由此可见,同样是1.5匹的空调,1级能效空调虽然售价高,但由于比较省电,使用年份长(超过5年)时综合费用反而低,根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此,购买、使用1级能效空调更划算.
设计意图:在本题的解决过程中,需要学生具有观察、分析、提炼、整理和组织、处理信息的能力,需要学生列式表示数量关系的能力,需要运用方程解决问题、根据综合费用选择方案、统筹规划的能力,这对全面培养学生分析问题和解决问题的能力来说是一个较好的材料.
典例精讲
例1 某地上网有两种收费方法,用户可以任选其一:A.计时制:1元/小时,B.包月制:80元/月,此外,每一种上网方式都加收通讯费0.1元/小时.
(1)某用户每月上网40小时,选用哪种上网方式比较合算?
(2)某用户每月有100元钱用于上网,选用哪种上网方式比较合算?
(3)请你为用户设计一个方案,使用户能合理地选择上网方式.
分析:(1)分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额,进行比较;(2)分别计算出两种方式下的上网时间,进行比较;(3)设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等,再进行分析.
解:(1)如果用户每月上网40小时,则选择A需支付40×(1+0.1)=44(元);选择B需支付80+40×0.1=84(元).因为44<84,所以选用A方式比较合算.
(2)设用户选择A方式用100元可以上网x小时,选择B方式用100元可以上网y小时.由题意,得(1+0.1)x=100,80+0.1y=100.
解得x=100011,y=200.
因为100011≈91<200,
所以选用B方式较合算.
(3)设每月上网m小时时,两种上网方式的消费额相等.
由题意,得(1+0.1)m=80+0.1m.
解得m=80.
故当每月上网不足80小时时,选用A上网方式比较合算;当每月上网等于80小时时,两种上网方式的消费额相等;当每月上网超过80小时时,选用B方式比较合算.
例2 一个周末,王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游(旅费统一支付),联系了标价相同的两家旅游公司.经洽谈,甲公司给出的优惠条件是:教师全部付费,学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是:全部师生按八折付费,请你参谋参谋,选择哪家公司较省钱?
分析:本题中“学生人数”是关键性数据,它的多少决定了旅游费用的多少.因此设学生人数为x人,每人的费用为a元,用含x,a的式子分别表示出两家公司的费用为:甲公司3a+a×75%x=3a+0.75ax,乙公司(x+3)×a×80%=2.4a+0.8ax.当两家收费相同时,即可求出x的值.而甲公司3a+0.75ax=(2.4a+0.8ax)+0.05a(12-x),则延续了教学活动2的做法,当然也可以采取列不等式的方法来比较两个公司的费用多少.
解:设学生人数为x人,每人的费用为a元.
则甲公司的费用为3a+a×75%x=3a+0.75ax,乙公司的费用为(x+3)×a×80%=2.4a+0.8ax.
当两家收费相同时,即3a+0.75ax=2.4a+0.8ax,
解得x=12.
而甲公司3a+0.75ax=(2.4a+0.8ax)+0.05a(12-x),
所以当x<12时,0.05a(12-x)是正数,则乙公司费用更低;
当x>12时,0.05a(12-x)是负数,则甲公司费用更低.
因此,当学生人数小于12人时,选择乙公司比较省钱;当学生人数为12人时,两家公司费用相同;当学生人数超过12人时,选择甲公司比较省钱.
设计意图:通过例题,锻炼学生把实际问题抽象为数学问题的能力,提高学生分析问题、判断问题、解决问题的本领.
巩固训练
1.学生小红随父母外出旅游,甲旅行社说:“父母全票,学生半价优惠.”乙旅行社说:“家庭旅游团每人按全价的45%收费.”若这两家旅行社每人的票价相同,那么应选的旅行社是( B )
A.甲 B.乙 C.一样 D.无法选择
2.某校准备为毕业生班制作一本纪念册,甲公司提出:每册收材料费5元,另收设计费1 500元;乙公司提出:每册收材料费8元,不收设计费,孙老师经过计算,发现两公司收费一样,则毕业生有 500 人.
3.小明用的练习本可以到甲商店购买,也可以到乙商店购买,已知两商店的标价都是每本1元,甲商店的优惠条件是购买10本以上,从第11本开始按标价的70%卖;乙商店的优惠条件是从第一本按标价的80%卖.
(1)小明要买20本时,到 乙 商店省钱;
(2)买 30 本时到两个商店花费一样;
(3)小明现有24元钱,最多可买 30 本.
4.校长带领学校的市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“校长买全票一张,其他学生享半价优惠.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部6折优惠.”全票价为100元.
(1)当学生人数为多少时,两家费用一样多?
(2)当学生人数为10时,选哪家合算些?
解:(1)设学生人数为x.
根据题意,列方程得100+0.5×100x=0.6×100(x+1).
解得x=4.
答:当学生人数为4人时,两家费用一样多.
(2)当学生人数为10时,甲旅行社:100+10×100×0.5=600(元);
乙旅行社:0.6×100×11=660(元).
因为600<660,所以甲旅行社合算些.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固所学知识,加深学生对方案决策问题的认识,提高学生建模的意识和能力.
课堂小结
1.本节课学习了哪些知识?
2.在探寻利用一元一次方程解决实际问题时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:通过小结,让学生结合学习过程进行分析、思考、归纳、总结,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,拓展了学生的思维,又培养了学生的建模意识.
课堂8分钟.
1.教材第139页练习第2题,第140页习题5.3第14题.
2.七彩作业.
第4课时 方案决策问题
1.电价问题——方案最优是目的.
2.购买方案决策——空调使用时间(两种空调综合费用相同).
3.上网收费方式决策——上网时间(两种上网方式的消费额相等).
4.旅游公司收费决策——学生人数(两家收费相同).
教学反思
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
学号
答对题数
答错题数
得分
1
8
2
70
2
9
1
85
3
9
1
85
4
5
5
25
5
7
3
55
6
10
0
100
7
4
6
10
8
8
2
70
普通间(元/间/天)
豪华间(元/间/天)
三人间
150
300
双人间
140
400
匹数
能效等级
售价/元
平均每年耗电量/(kW·h)
1.5
1级
3 000
640
1.5
3级
2 600
800
课时目标
1.能够根据实际问题中的数量关系列方程解决问题,从而培养学生数学建模能力和分析问题、解决问题的能力.
2.通过使学生经历列一元一次方程解决实际问题的过程,让学生逐步建立方程思想,培养学生的建模意识.
3.通过结合实际问题,创造活跃有趣的情境,提高学生的学习兴趣.让学生在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,增强学好数学的信心.
学习重点
从实际问题中抽象出方程模型,列一元一次方程解应用题.
学习难点
在将实际问题抽象为方程的过程中找等量关系.
课时活动设计
回顾引入
1.生活中存在着很多配套的问题,如图所示.
2.在小学里我们学过有关工程问题的应用题,这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量,三者的关系是:工作总量=工作时间×工作效率,人们常规定工程问题中的工作总量为 1 .
3.由以上公式,可知一件工作,甲用a h完成,则甲的工作量可看成 1 ,工作时间是 a ,工作效率是1a.若这件工作甲用6 h完成,则甲的工作效率是16.
设计意图:通过回顾生活中的现实情境和学生已学过的知识,激发学生的学习兴趣,唤醒学生的知识积累,为新知识的学习做好知识和思想上的准备.
探究新知
探究1 产品配套问题
问题1:机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套,那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套?
分析:这是一个“产品配套问题”,本题需要找出相等关系:(1)加工大齿轮的工人人数+加工小齿轮的工人人数=85;(2)每天加工的大齿轮的个数与每天加工的小齿轮的个数的比恰为2?3.
教师出示问题,学生独立思考,小组讨论,选派代表回答,教师巡视指导.
学生思考问题,教师适时通过以下问题给予指导:
(1)若安排x名工人加工大齿轮,则有 (85-x) 名工人加工小齿轮.
(2)x名工人每天可加工 16x 个大齿轮,加工小齿轮的工人每天可加工 10(85-x) 个小齿轮.
(3)按题中的配套方法,你是否可找出其中的等量关系呢?
学生在教师指导下,经过思考、在小组内交流后可以获得这个问题的相等关系:每天加工的大齿轮个数与每天加工的小齿轮个数的比恰为2?3,即:3×每天加工的大齿轮个数=2×每天加工的小齿轮个数,进而列出方程.
解:设安排x名工人加工大齿轮,则有(85-x)名工人加工小齿轮.
根据题意,得3×16x=2×10(85-x).
解这个方程得x=25.
所以85-x=60.
答:应安排25名工人加工大齿轮,60名工人加工小齿轮.
师生共同归纳:解决“产品配套问题”的基本等量关系是加工(或生产)的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零件的数量比.
探究2 工程问题
问题2:一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,那么两人合作多少小时完成?
分析:这道题属于“工程问题”类型.在“工程问题”中,工作总量=工作效率×工作时间.通常把全部工作量简单表示为1,如果一个工作需要n个小时完成,那么平均每个小时完成的工作量就是1n.
教师出示以下问题,学生独立思考,小组讨论,选派代表回答,教师巡视指导.
思考:(1)两人合作32小时完成对吗?为什么?
(2)甲每小时完成全部工作的 120 ;乙每小时完成全部工作的 112 ;
甲x小时完成全部工作的 x20 ;乙x小时完成全部工作的 x12 .
学生经过思考,判断第(1)问是不对的,第(2)问依次应填120 112 x20 x12.
解:设两人合作x小时完成这件工作.
由题意,得x20+x12=1.
解得x=7.5.
答:两人合作7.5小时可以完成这件工作.
师生共同归纳:解决“工程问题”需要知道“工作量=人均效率×人数×时间”这一基本数量关系式.如果一件工作分几个阶段完成,那么“各阶段工作量的和=总工作量”.
设计意图:理解题意是学好数学的前提,列方程解实际问题时,要让学生深入理解题意,找出问题中的相等关系,对于一些问题本身所固有的相等关系,就需要学生熟练地掌握,灵活地变形.
典例精讲
例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名?
思考:(1)每人每天平均生产螺栓1 200个或螺母2 000个表示什么意思?
(2)刚好配套,说明螺栓和螺母个数一样多吗?
(3)为了使每天的产品刚好配套,应使生产的螺母数量恰好为螺栓数量的 2倍 .
分析:这又是一个“产品配套问题”.在本题中,“刚好配套”的意思是使得螺栓数目与螺母数目的比恰好为1?2,即每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时,它们刚好配套.
解:设应安排x名工人生产螺栓,(22-x)名工人生产螺母.
依题意,得2 000(22-x)=2×1 200x.
解方程,得x=10.
所以22-x=12.
答:应安排10名工人生产螺栓,12名工人生产螺母.
例2 整理一批图书,由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h,然后增加2人与他们一起整理8 h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,应先安排多少人进行整理?
分析:如果把总工作量设为1,则人均效率(一个人1 h完成的工作量)为140,x人选整理4 h完成的工作量为4x40,增加2人后再整理8 h完成的工作量为8(x+2)40,这两个工作量之和应等于总工作量.
解:设先安排x人整理4 h.
依题意,得4x40+8(x+2)40=1.
解方程,得x=2.
答:应先安排2人进行整理.
这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量=人均效率×人数×时间”“各阶段工作量的和=总工作量”的关系考虑问题.
设计意图:在完成了“产品配套问题”“工程问题”的探究之后,学生刚刚获取的经验得到巩固和深化,进一步熟悉解决问题的方法与过程,从而提高分析和解决问题的能力.
巩固训练
1.某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个,若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是( D )
A.22x=16(27-x) B.16x=22(27-x)
C.2×16x=22(27-x) D.2×22x=16(27-x)
2.某项工作,甲单独做要20小时完成,乙单独做要12小时完成.现甲先做4小时后,剩下的由甲、乙合作,还需做x小时完成,则x满足的方程是( C )
A.420-x20-x12=1 B.420+x20-x12=1
C.4+x20+x12=1 D.420-x20+x12=1
3.某瓷器厂共有120名工人,每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶,如果8只茶杯和1只茶壶为一套,则安排 40 人生产茶壶可使每天生产的瓷器配套.
4.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲单独做要6小时完成,乙单独做要4小时完成,现甲先做30分钟后,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时完成工作?
解:设甲、乙一起做x小时后完成工作.
依题意,得16×12+16+14x=1.
解得x=115.
答:甲、乙一起做还需115小时完成工作.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固学生所学知识,加深学生对化归思想和建模思想的理解.
课堂小结
思考:在前面“产品配套问题”和“工程问题”的解决中,我们运用了一元一次方程的知识.那么,在利用一元一次方程解决实际问题方面,你获得了哪些活动的经验?有什么共同点?
通过让学生思考,师生共同总结出如下知识要点:用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤,即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
设计意图:回顾反思、总结提炼是学生所学知识得以巩固和升华的关键一环,通过小结,既训练了学生分析问题、解决问题的能力,拓展了学生的思维空间,又从问题的解决过程中存在的共性关系上加以对比、分析探究,培养了学生的创新意识,活跃了学生的思维广度.
课堂8分钟.
1.教材第134页练习第1,3题,第140页习题5.3第2,3,4题.
2.七彩作业.
第1课时 产品配套问题与工程问题
1.产品配套问题——“刚好配套”的意思.
2.工程问题:工作量=人均效率×人数×时间,各阶段工作量的和=总工作量.
3.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤:设、列、解、检、答等步骤.
教学反思
第2课时 销 售 问 题
课时目标
1.能够根据销售问题中的数量关系列方程解决问题,从而培养学生数学建模能力和分析问题、解决问题的能力.
2.通过使学生经历列一元一次方程解决实际问题的过程,让学生逐步建立方程思想,培养学生的建模意识.
3.通过使学生经历销售问题的学习和解决过程,形成良好的学习方式和学习态度,在应用数学知识解决学生身边熟悉的问题中,认识数学的应用价值.
学习重点
把握销售问题中的等量关系,培养学生运用方程解决问题的能力.
学习难点
弄清题意,分析实际问题中的数量关系,抽象出方程的模型.
课时活动设计
回顾引入
问题:1.某运动鞋打八折后是220元,则原价是 275 元.
2.进价为90元的篮球,卖了120元,利润是 30 元,利润率是 33% .
3.某商品原标价为165元,降价10%后,售价为 148.5 元,若成本为110元,则利润为 38.5 元.
4.某商场将进价为2 980元的电视机按标价的八折出售后仍获利10%,则该商品的标价为 4 097.5 元.
教师展示问题,学生独立思考,小组讨论,选派学生代表回答,教师巡视指导.
学生经过思考,尝试回答.
教师归纳:销售问题中常见的相等关系有:售价=标价×折扣,利润=售价-进价,利润率=利润进价×100%;售价=进价×(1+利润率).
设计意图:通过回顾这些与销售有关的问题,让学生复习这类问题本身所固有的相等关系,对实际问题产生兴趣和疑问,使学生的思维能迅速进入思考阶段,进行问题的探究过程中,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
问题:一商店以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
分析:有同学可能认为,一件盈利25%,另一件亏损25%,合起来是不盈不亏;实际上,是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元.如果总售价大于总进价就盈利,总售价小于总进价就亏损,相等就不盈不亏.
解:设盈利25%的那件衣服进价是x元,它的商品利润就是0.25x元.
依题意,得x+0.25x=60.
解得x=48.
设亏损25%的另一件衣服进价是y元,它的商品利润是-0.25y元.
依题意,得y-0.25y=60.
解得y=80.
两件衣服的总进价是48+80=128(元),而两件衣服的总售价是60+60=120(元),总售价小于总进价,由此可知卖这两件衣服共亏损8元.
设计意图:让学生把握销售问题中的等量关系,培养学生运用方程解决问题的能力;让学生经历寻找解决问题的途径的过程,培养学生独立思考问题的习惯.
典例精讲
例1 某商品的售价为每件900元,为了参与市场竞争,商店按售价的9折再让利40元销售,此时仍可获利10%,此商品的进价是多少元?
分析:销售问题中的基本相等关系要灵活地运用,在本题中找到“利润=利润率×进价=现售价-进价”这个相等关系尤为重要.
解:设该商品的进价为每件x元.
依题意,得900×0.9-40-x=10%x.
解得x=700.
答:该商品的进价为700元.
例2 某市百货商场元月一日搞促销活动,购物不超过200元不给优惠;超过200元,而不足500元优惠10%;超过500元的其中500元按9折优惠,超过部分按8折优惠,某人两次购物分别用了134元和466元,问:
(1)此人两次购物其物品如果不打折,值多少钱?
(2)在此次活动中,他节省了多少钱?
(3)若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品是更节省还是亏损?说明你的理由.
分析:该题给出的优惠标准实质是:200元以上给予优惠,且分两个等级.(1)首先应判定134元的商品是否给予优惠.因为200×90%=180>134,所以购134元的商品并未优惠.其次是466元的商品是如何优惠的?(3)应计算买相同商品其付款数为多少,然后再与600元进行比较,问题得以解决.
解:(1)因为200×90%>134,所以购134元的商品未优惠,又因为500×0.9=450<466,所以购466元的商品有两次优惠.
设第二次商品如果不打折,值x元.
依题意,得500×0.9+(x-500)×0.8=466.
解得x=520.
所以商品如果不打折分别值134元和520元,共654元.
(2)(134+520)-(134+466)=54(元).
所以他节省了54元.
(3)654元的商品优惠价为:500×0.9+(654-500)×0.8=573.2(元).
(134+466)-573.2=26.8(元).
所以若买相同的商品,合起来购买更节省,节省26.8元.
设计意图:数学源于生活,生活中蕴含着数学,通过课堂教学,让学生在生活中学习数学,更让数学走进生活,学生能够通过所学到的数学知识解决一些生活中的问题,从而发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的建模思想.
巩固训练
1.五一期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打八折(标价的80%)销售,售价为2 080元.设该电器的成本价为x元.根据题意,下面所列方程正确的是( B )
A.x×30%×80%=2 080B.x(1+30%)×80%=2 080
C.2 080×30%×80%=xD.x×30%=2 080×80%
2.文具店的老板以60元每个的价格卖了两个计算器,其中一个赚了20%,另一个亏了20%,则该老板( D )
A.赚了5元 B.亏了25元
C.赚了25元D.亏了5元
3.(1)某种商品每件的标价为330元,按标价的八折销售时,仍可获利10%,则这种商品每件进价是 240 元.
(2)某商品的进价为每件100元,按标价打八折售出后每件可获利20元,则该商品的标价为每件 150 元.
4.儿童节期间,文具店搞促销活动,同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折优惠,能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元,那么书包和文具盒标价各是多少元?
解:设文具盒的标价为x元,则书包的标价为(3x-6)元.
依题意,得(1-80%)(x+3x-6)=13.2.
解得x=18.
所以3x-6=48.
答:书包和文具盒的标价分别是48元和18元.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固学生所学知识,加深对化归思想和建模思想的理解.
课堂小结
1.本节课探究了一元一次方程的哪些知识?
2.在探寻利用一元一次方程解决实际问题时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:通过小结,让学生结合学习过程进行研究、分析、归纳、总结,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又培养了学生的建模意识.
课堂8分钟.
1.教材第136页练习第1,2题,第140页习题5.3第10题.
2.七彩作业.
第2课时 销 售 问 题
销售问题中的基本相等关系:
(1)售价=标价×折扣;
(2)利润=售价-进价;
(3)利润率=利润进价×100%;
(4)售价=进价×(1+利润率).
教学反思
第3课时 球赛积分问题与图表信息问题
课时目标
1.能够根据图表信息问题中的数量关系列方程解决问题,从而培养学生数学建模能力和分析问题、解决问题的能力.
2.通过学习,让学生进一步体会方程是解决实际问题的数学模型,明确用方程解决实际问题时,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
3.通过使学生经历图表信息问题解决过程,培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力,在应用数学知识解决问题的过程中体会建立数学模型的合理性.
学习重点
会用一元一次方程解决实际问题,不仅会列方程求出问题的解,还会进行推理判断.
学习难点
如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题.
课时活动设计
情境引入
喜欢体育的同学经常观看各种不同类别的球赛,如:足球赛、篮球赛、排球赛等,但是你们了解它们的计分规则和如何计算积分吗?这节课我们将从如何用方程解决球赛积分问题开始学习.
设计意图:通过回顾生活中学生熟悉的现实情境,激发学生的学习兴趣,唤醒学生的知识积累,为新知识的学习做好知识和思想上的准备.
探究新知
问题:如图是某次篮球联赛积分榜.
(1)胜一场和负一场各积多少分?
(2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系.
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
分析:对于本题,积分多少与胜、负的场数相关,同时也与积分规则有关,因此要想弄清“胜一场积几分,负一场积几分”,这就需要通过积分表来了解.
教师展示问题,学生独立思考,小组讨论,选派学生代表回答,教师巡视,并适当加以指导.
教师对学生的思考提供方向性指导:八支队伍的胜、负场数有没有特殊的情况?
解:表中最下面一行有特殊性,它表示钢铁队14场全负,积14分,由此可知负一场的积分为1分,进而再从其他行可知胜一场的积分.如东方队的总积分为24分,若设胜一场积x分.依题意,得10x+1×4=24.解得x=2.即胜一场积2分.
追问1:积分表中存在着什么样的相等关系?
解:某队的总积分=胜场数×2+负场数×1,于是若一支球队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为14-m,总积分为2m+(14-m)=m+14,即胜m场的总积分为(m+14)分.
追问2:第(3)问是个判断题.要正确作出判断,需要进行定量分析,你可以运用一元一次方程作为工具列出方程吗?
解:设一支球队胜y场,则负(14-y)场.
依题意,得2y=14-y.
解得y=143.
追问3:想一想,y表示什么量?它可以不取整数吗?由此你能得出什么结论?
解:解决实际问题时,要考虑得到的结果是不是符合实际.因为y(所胜的场数)的值必须是整数,所以y=143不符合实际,由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分.
教师归纳:用方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
通过上述有关图表信息的题目,我们尝试总结它的一般解题步骤:
(1)识图表:整体阅读,搜索图表资料中的有效信息,关注数据变化及图表细节的暗示;
(2)用图表:通过阅读、观察、分析图表中信息,找出等量关系;
(3)建模型:找出等量关系后,建立合理的方程模型,解决问题.
设计意图:设置篮球比赛积分问题,从学生熟悉的背景材料入手,激发学生的学习兴趣,利于学生迅速地展开思考;以表格形式传递信息的题目在现实中很普遍,有利于培养学生从多种信息表达形式中获取信息的能力.
典例精讲
例 某小组8名同学参加一次知识竞赛,共答10道题,每题分值相同,每题答对得分,答错扣分,不可以不答题.各同学的得分情况如下表:
(1)如果答对的题数为n(n在0到10之间,且为整数),用含n的式子表示得分;
(2)在什么情况下得分为零分?在什么情况下得分为负分?
分析:对于本题,得分多少与答对、答错的题数相关,同时也与打分规则有关,因此需要弄清“答对一题得几分,答错一题扣几分”,这就需要通过得分表来了解,而得分表的特殊情况(6号学生的得分情况)就成了解题的突破口.
解:(1)由6号同学知,每答对一题得10分.
设答错一题扣x分,那么从1号同学的数据可列方程,得8×10-2x=70.解得x=5.所以答错一题扣5分.
如果答对的题数为n,那么得分为10n-5(10-n),即15n-50.
(2)如果得分为零分,那么可列方程15n-50=0,解得n=103.
因为竞赛题目数不可能是103,所以在任何情况下都不可能得零分.
因为答对题数越少得分越少,所以当答对题数小于103时,即答对题数为0,1,2,3时,得分为负分.
设计意图:通过例题,让学生通过观察、分析,熟练地把握表中的特殊数据,从而找到问题的突破口,锻炼学生通过观察表格获取信息的能力.
巩固训练
1.根据图中的信息,解答下列问题:
(1)购买6根跳绳需 6×25=150 元,购买12根跳绳需 12×25×0.8=240 元;
(2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元.你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
分析:观察图上所给信息,学生们容易获得购买跳绳所需要的相关付费问题:当购买跳绳数n≤10时,每根25元,即总费用为25n元;当购买跳绳数>10时,总费用为25×0.8n元.对于第(2)问这类判断型的题目,一般先按“可能”的情形去求解(即找出“可能”情况的相等关系,建立一元一次方程的模型来解决),如果得出合乎实际情况的答案,则说明这种情况是可能存在的,反之则不成立.
解:(2)有这种可能.
设小红购买跳绳x根.
根据题意,得25×0.8x=25(x-2)-5,
解得x=11.
答:小红购买跳绳11根.
2.某大酒店客房部有三人间、双人间客房若干,收费标准如下表所示.为吸引游客,现实行普通间团体入住一律五折的优惠措施,一个50人的旅游团在优惠期间在该酒店入住,住了一些三人间(普通)和双人间(普通)客房,并且每个客房正好住满,且一天共花去住宿费1 510元.
(1)该旅游团三人间、双人间各住了多少间?
(2)若豪华间四折优惠,按同样方式入住要多用多少钱?
分析:本题中要关注的是间数与人数之间的数量关系,理清楚这个关系,题目容易解决.通常设该旅游团三人间住了x间,则双人间住了50-3x2间,根据题意,得75x+70×50-3x2=1 510.
解:(1)设该旅游团三人间住了x间,则双人间住了50-3x2间,
根据题意,得0.5×150x+0.5×140×50-3x2=1 510.
解得x=8.
则50-3x2=13.
答:三人间普通客房、双人间普通客房各住了8间和13间.
(2)住豪华间需要的费用为8×300×0.4+13×400×0.4=960+2 080=3 040(元),
多用去了3 040-1 510=1 530(元).
答:按同样方式入住要多用1 530元.
设计意图:通过练习,引导学生提炼表中给定的信息,从而建立合理的数学模型以解决问题,进一步发展学生分析问题、解决问题的能力.
课堂小结
1.本节课学习了哪些知识?
2.在探寻利用一元一次方程解决实际问题时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:通过小结,让学生结合学习过程进行研究、分析、归纳、总结,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又培养了学生的建模意识.
课堂8分钟.
1.教材第137页练习第1,2题,第140页习题5.3第7题.
2.七彩作业.
第3课时 球赛积分问题与图表信息问题
1.球赛积分问题:解题的突破口——特殊数据.
2.图表信息问题的一般解法:
(1)识图表;(2)用图表;(3)建模型.
教学反思
第4课时 方案决策问题
课时目标
1.让学生通过旅游、购物、用电、电信等问题的方案设计,弄清各类问题中的等量关系,掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧,从而培养学生的建模意识.
2.通过让学生探究实际问题与一元一次方程的关系,培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过使学生经历解决方案决策问题的全过程,体会建立数学模型的合理性,感受数学的应用价值,培养学生热爱生活,勇于探索的精神.
学习重点
引导学生弄清题意,设计出各类问题的最佳方案.
学习难点
把生活中的实际问题抽象成数学问题.
课时活动设计
情境引入
问题:据我们调查,我市居民生活用电价格为每天7时到23时每度0.47元,每天23时到第二天7时每度0.25元.请根据你家每月用电情况,设计出用电的最佳方案.
设计意图:从学生熟悉的生活背景材料入手后,激发学生的学习兴趣,有利于提高学生学习数学的积极性.
探究新知
问题:购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台,下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
两款空调的部分基本信息
分析:这类题目是现实生活中经常要处理的问题.空调使用年数的多少,是影响空调综合费用的因素.在这个问题中,综合费用=空调的售价+电费.当选定一种空调后,售价是确定的,电费则与使用的时间有关.
教师展示问题,学生独立思考,小组讨论,选派学生代表回答,教师巡视,并适当加以指导.
追问1:这两款空调的综合费用分别是多少?
解:设空调的使用年数是t,则1级能效空调的综合费用是(3 000+0.5×640t)元,3级能效空调的综合费用是(2 600+0.5×800t)元.
追问2:如何说明哪款空调的综合费用较低?你能运用我们刚学过的方程知识来解决吗?
师生共同分析:两种空调综合费用相同时的时间点——关键性时间,这就用到了方程的模型.
解:当3 000+0.5×640t=2 600+0.5×800t时,解得t=5.
即当使用年数为5年时,两款空调的综合费用相等.
追问3:接下来如何比较两款空调综合费用的高低呢?
解:把表示3级能效空调的综合费用的式子2 600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和,即(3 000+320t)+(80t-400),也就是(3 000+320t)+80(t-5),
当t<5时,80(t-5)是负数,则3级能效空调的综合费用较低;
当t>5时,80(t-5)是正数,则1级能效空调的综合费用较低.
由此可见,同样是1.5匹的空调,1级能效空调虽然售价高,但由于比较省电,使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此,购买、使用1级能效空调更划算.
教师强调规范的解题步骤:
解:设空调的使用年数是t,则1级能效空调的综合费用是(3 000+0.5×640t)元,3级能效空调的综合费用是(2 600+0.5×800t)元.
当3 000+0.5×640t=2 600+0.5×800t时,解得t=5.
即当使用年数为5年时,两款空调的综合费用相等.
3级能效空调的综合费用是2 600+0.5×800t=2 600+400t,而2 600+400t=(3 000+320t)+(80t-400)=(3 000+320t)+80(t-5).
所以当t<5时,80(t-5)是负数,则3级能效空调的综合费用较低;
当t>5时,80(t-5)是正数,则1级能效空调的综合费用较低.
由此可见,同样是1.5匹的空调,1级能效空调虽然售价高,但由于比较省电,使用年份长(超过5年)时综合费用反而低,根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此,购买、使用1级能效空调更划算.
设计意图:在本题的解决过程中,需要学生具有观察、分析、提炼、整理和组织、处理信息的能力,需要学生列式表示数量关系的能力,需要运用方程解决问题、根据综合费用选择方案、统筹规划的能力,这对全面培养学生分析问题和解决问题的能力来说是一个较好的材料.
典例精讲
例1 某地上网有两种收费方法,用户可以任选其一:A.计时制:1元/小时,B.包月制:80元/月,此外,每一种上网方式都加收通讯费0.1元/小时.
(1)某用户每月上网40小时,选用哪种上网方式比较合算?
(2)某用户每月有100元钱用于上网,选用哪种上网方式比较合算?
(3)请你为用户设计一个方案,使用户能合理地选择上网方式.
分析:(1)分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额,进行比较;(2)分别计算出两种方式下的上网时间,进行比较;(3)设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等,再进行分析.
解:(1)如果用户每月上网40小时,则选择A需支付40×(1+0.1)=44(元);选择B需支付80+40×0.1=84(元).因为44<84,所以选用A方式比较合算.
(2)设用户选择A方式用100元可以上网x小时,选择B方式用100元可以上网y小时.由题意,得(1+0.1)x=100,80+0.1y=100.
解得x=100011,y=200.
因为100011≈91<200,
所以选用B方式较合算.
(3)设每月上网m小时时,两种上网方式的消费额相等.
由题意,得(1+0.1)m=80+0.1m.
解得m=80.
故当每月上网不足80小时时,选用A上网方式比较合算;当每月上网等于80小时时,两种上网方式的消费额相等;当每月上网超过80小时时,选用B方式比较合算.
例2 一个周末,王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游(旅费统一支付),联系了标价相同的两家旅游公司.经洽谈,甲公司给出的优惠条件是:教师全部付费,学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是:全部师生按八折付费,请你参谋参谋,选择哪家公司较省钱?
分析:本题中“学生人数”是关键性数据,它的多少决定了旅游费用的多少.因此设学生人数为x人,每人的费用为a元,用含x,a的式子分别表示出两家公司的费用为:甲公司3a+a×75%x=3a+0.75ax,乙公司(x+3)×a×80%=2.4a+0.8ax.当两家收费相同时,即可求出x的值.而甲公司3a+0.75ax=(2.4a+0.8ax)+0.05a(12-x),则延续了教学活动2的做法,当然也可以采取列不等式的方法来比较两个公司的费用多少.
解:设学生人数为x人,每人的费用为a元.
则甲公司的费用为3a+a×75%x=3a+0.75ax,乙公司的费用为(x+3)×a×80%=2.4a+0.8ax.
当两家收费相同时,即3a+0.75ax=2.4a+0.8ax,
解得x=12.
而甲公司3a+0.75ax=(2.4a+0.8ax)+0.05a(12-x),
所以当x<12时,0.05a(12-x)是正数,则乙公司费用更低;
当x>12时,0.05a(12-x)是负数,则甲公司费用更低.
因此,当学生人数小于12人时,选择乙公司比较省钱;当学生人数为12人时,两家公司费用相同;当学生人数超过12人时,选择甲公司比较省钱.
设计意图:通过例题,锻炼学生把实际问题抽象为数学问题的能力,提高学生分析问题、判断问题、解决问题的本领.
巩固训练
1.学生小红随父母外出旅游,甲旅行社说:“父母全票,学生半价优惠.”乙旅行社说:“家庭旅游团每人按全价的45%收费.”若这两家旅行社每人的票价相同,那么应选的旅行社是( B )
A.甲 B.乙 C.一样 D.无法选择
2.某校准备为毕业生班制作一本纪念册,甲公司提出:每册收材料费5元,另收设计费1 500元;乙公司提出:每册收材料费8元,不收设计费,孙老师经过计算,发现两公司收费一样,则毕业生有 500 人.
3.小明用的练习本可以到甲商店购买,也可以到乙商店购买,已知两商店的标价都是每本1元,甲商店的优惠条件是购买10本以上,从第11本开始按标价的70%卖;乙商店的优惠条件是从第一本按标价的80%卖.
(1)小明要买20本时,到 乙 商店省钱;
(2)买 30 本时到两个商店花费一样;
(3)小明现有24元钱,最多可买 30 本.
4.校长带领学校的市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“校长买全票一张,其他学生享半价优惠.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部6折优惠.”全票价为100元.
(1)当学生人数为多少时,两家费用一样多?
(2)当学生人数为10时,选哪家合算些?
解:(1)设学生人数为x.
根据题意,列方程得100+0.5×100x=0.6×100(x+1).
解得x=4.
答:当学生人数为4人时,两家费用一样多.
(2)当学生人数为10时,甲旅行社:100+10×100×0.5=600(元);
乙旅行社:0.6×100×11=660(元).
因为600<660,所以甲旅行社合算些.
设计意图:通过课堂训练,及时巩固所学知识,加深学生对方案决策问题的认识,提高学生建模的意识和能力.
课堂小结
1.本节课学习了哪些知识?
2.在探寻利用一元一次方程解决实际问题时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:通过小结,让学生结合学习过程进行分析、思考、归纳、总结,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,拓展了学生的思维,又培养了学生的建模意识.
课堂8分钟.
1.教材第139页练习第2题,第140页习题5.3第14题.
2.七彩作业.
第4课时 方案决策问题
1.电价问题——方案最优是目的.
2.购买方案决策——空调使用时间(两种空调综合费用相同).
3.上网收费方式决策——上网时间(两种上网方式的消费额相等).
4.旅游公司收费决策——学生人数(两家收费相同).
教学反思
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
学号
答对题数
答错题数
得分
1
8
2
70
2
9
1
85
3
9
1
85
4
5
5
25
5
7
3
55
6
10
0
100
7
4
6
10
8
8
2
70
普通间(元/间/天)
豪华间(元/间/天)
三人间
150
300
双人间
140
400
匹数
能效等级
售价/元
平均每年耗电量/(kW·h)
1.5
1级
3 000
640
1.5
3级
2 600
800
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