初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）4.2 整式的加减教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）4.2 整式的加减教案及反思，共14页。

课时目标
1.理解合并同类项的概念,会判断两个项是否是同类项.
2.掌握合并同类项法则,熟练应用合并同类项法则合并同类项,并利用法则化简多项式及求多项式的值.
3.在具体情境中了解法则,经历合并同类项法则的形成过程,理解合并同类项法则的实质,感悟分类和转化思想.
学习重点
理解合并同类项的概念,会判断两个项是否是同类项;掌握合并同类项法则,熟练应用合并同类项法则合并同类项,并利用法则化简多项式及求多项式的值.
学习难点
掌握合并同类项法则,熟练应用合并同类项法则合并同类项,并利用法则化简多项式及求多项式的值.
课时活动设计
回顾引入
有理数的加法有哪些运算律?
学生举手回答,师生共同回忆有理数加法运算律.
加法交换律:a+b=b+a.
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
设计意图:复习已有相关知识,为本节要学的知识打基础.
探究新知
数能进行加减运算,整式中的每个字母都表示数,这样,整式与数一样,也可以进行加减运算.下面我们就一起来探究整式如何进行加减运算.
探究1 同类项的概念
问题1:港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥,一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h,在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h.汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程,一段为香港口岸到东人工岛,另一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要a h,从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25a h,则香港口岸到西人工岛的全长(单位:km)是 72a+96×1.25a ,即 72a+120a .
学生举手回答,在教师的启发引导下得出正确答案.
追问:如何计算72a+120a呢?能否类比以往我们学过的知识进行运算?
学生举手回答,在教师的启发引导下得出正确答案.
解:可以类比数的运算,进行整式72a,120a的加法运算.
问题2:(1)运用运算律计算:
72×2+120×2= ;
72×(-2)+120×(-2)= .
(2)根据(1)中的方法完成下面的运算,并说明其中的道理:
72a+120a= .
学生先独立完成并举手回答,教师适时启发引导并点评.
解:(1)根据分配律可得:
72×2+120×2=(72+120)×2=192×2,
72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×(-2)=192×(-2).
(2)多项式72a+120a表示72a与120a两项的和,它与(1)中的式子72×2+120×2和72×(-2)+120×(-2)有相同的结构,并且字母a代表的是一个乘数,因此根据分配律也有72a+120a=(72+120)a=192a.
问题3:根据以上探究过程完成下列题目:
(1)72a-120a=( -48 )a;
(2)3m2+2m2=( 5 )m2;
(3)3xy2-4xy2=( - )xy2.
追问:上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律?
学生先独立完成并举手回答,教师适时启发引导并点评.
解:观察(1)中的多项式的项72a和-120a,它们含有相同的字母a,并且a的指数都是1;(2)中的多项式的项3m2和2m2,含有相同的字母m,并且m的指数都是2;(3)中的多项式的项3xy2与-4xy2,都含有字母x,y,并且x的指数都是1,y的指数都是2.
问题4:像72a与-120a,3m2与2m2,3xy2与-4xy2这样的式子,同学们能不能根据它们的特征下个定义?
学生试着进行总结并举手回答,在教师的启发引导下得出正确答案.
同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.
探究2 合并同类项
问题5:计算:4x2+2x+7+3x-8x2-2.
追问1:上式该如何计算?
小组合作讨论后学生试着完成解答过程,教师适时启发引导并点评.
解:因为多项式中的字母表示的是数,所以可以利用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并,
4x2+2x+7+3x-8x2-2
=4x2-8x2+2x+3x+7-2 (交换律)
=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)(结合律)
=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)(分配律)
=-4x2+5x+5.
追问2:请同学们试着给以上过程下个定义,并总结具体做法.
学生尝试归纳总结并举手回答,教师适时启发引导并点评.
合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫作合并同类项.
合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,字母连同它的指数不变.
规定:通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列.
设计意图:从实际问题入手,引导学生探究同类项的概念及合并同类项法则,培养学生用类比的思想学习新知识的能力.
典例精讲
例1 合并下列各式的同类项:
(1)xy2-15xy2; (2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2.
解:(1)xy2-15xy2=1-15xy2=45xy2.
(2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2=(4a2-4a2)+(3b2-4b2)+2ab=(4-4)a2+(3-4)b2+2ab=-b2+2ab.
例2 (1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值,其中x=12;
(2)求多项式3a+abc-13c2-3a+13c2的值,其中a=-16,b=2,c=-3.
分析:在求多项式的值时,可以先将多项式中的同类项合并,然后再求值,这样做往往可以简化计算.
解:(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2=-x-2.
当x=12时,原式=-12-2=-52.
(2)3a+abc-13c2-3a+13c2=(3-3)a+abc+-13+13c2=abc.
当a=-16,b=2,c=-3时,原式=-16×2×(-3)=1.
例3 (1)水库水位第一天连续下降了a h,平均每小时下降2 cm;第二天连续上升了a h,平均每小时上升0.5 cm.这两天水位总的变化情况如何?
(2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x kg,上午售出3袋,下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克?
解:(1)把下降的水位变化量记为负,上升的水位变化量记为正,则第一天水位的变化量是-2a cm,第二天水位的变化量是0.5a cm,由-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a可知,这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm.
(2)把进货的数量记为正,售出的数量记为负,则上午大米质量的变化量是-3x kg,下午大米质量的变化量是4x kg,由5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x可知,进货后这个商店有大米6x kg.
设计意图:通过例题,让学生能够熟练运用合并同类项法则对代数式进行化简求值,并会利用本节所学知识解决实际问题.
巩固训练
1.化简:
(1)a2b-27a2b; (2)3x-4y+7x+y;
(3)5m+3m-10m;(4)11xy-3x2-7xy+x2.
解:(1)原式=1-27a2b=57a2b.
(2)原式=3x+7x-4y+y=(3+7)x+(-4+1)y=10x-3y.
(3)原式=(5+3-10)m=-2m.
(4)原式=11xy-7xy-3x2+x2=(11-7)xy+(-3+1)x2=4xy-2x2.
2.先合并同类项,再求值;
(1)7x2-3+2x-6x2-5x+8,其中x=-2;
(2)5a3-3b2-5a3+4b2+2ab,其中a=-1,b=12.
解:(1)原式=(7-6)x2+(2-5)x+(8-3)=x2-3x+5.
当x=-2时,原式=(-2)2-3×(-2)+5=4+6+5=15.
(2)原式=(5-5)a3+(4-3)b2+2ab=b2+2ab.
当a=-1,b=12时,原式=122+2×(-1)×12=14-1=-34.
设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.同类项的概念是什么?
2.合并同类项的法则是什么?
3.本节课用到了哪些数学思想方法?
设计意图:通过课堂小结的形式,引导学生对本节课所学知识进行整理,同时明确 学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第98页练习第1,2,3题,第102页习题4.2第1题.
2.七彩作业.
教学反思

第2课时 去 括 号
课时目标
1.探究去括号法则.
2.掌握去括号法则,能准确地对多项式进行去括号运算.
3.利用去括号法则将整式化简并解决简单的实际问题.
学习重点
掌握去括号法则,能准确地对多项式进行去括号运算.
学习难点
利用去括号法则将整式化简,并解决简单的实际问题.
课时活动设计
回顾引入
回顾:上节课学习了合并同类项,我们一起来回忆一下同类项的定义以及合并同类项法则.
追问:合并同类项用到了什么运算律?
学生举手回答,教师点评并规范学生答题内容.
同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.
合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,字母连同它的指数不变.
乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
设计意图:复习已有相关知识,为本节课要学的知识打基础.
探究新知
探究 去括号
问题1:计算:6×12-13.
追问:如何进行计算比较简便?
学生思考并独立完成,教师利用多媒体展示学生解题过程.
解:6×12-13=6×12-6×13=3-1=2.利用分配律进行计算比较简便.
问题2:港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥,一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h,在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h.如果汽车通过主桥的行驶时间是b h,通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15 h,你能用含b的代数式表示主桥与海底隧道的长度的和吗?主桥与海底隧道的长度相差多少千米?
师生共同分析并引导学生解决实际问题.
解:汽车通过主桥的行驶时间是b h,那么汽车在主桥上行驶的路程是92b km,通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15 h,那么汽车在海底隧道行驶的时间是(b-0.15)h,行驶的路程是72(b-0.15)km.因此,主桥与海底隧道的长度的和(单位:km)为92b+72(b-0.15),①
主桥与海底隧道长度的差(单位:km)为92b-72(b-0.15).②
追问1:上面的代数式①②要进行加减运算需要先如何做?
学生举手回答,教师适时进行点评.
解:与数的运算一样,进行整式的运算时先去括号.
追问2:上面的代数式①②应如何去括号进行化简?
学生举手回答,教师适时进行点评.
解:由于字母表示的是数,所以可以利用分配律,将括号前的乘数与括号内的各项相乘,去掉括号,再合并同类项,得
92b+72(b-0.15)=92b+72b-10.8=164b-10.8,
92b-72(b-0.15)=92b-72b+10.8=20b+10.8.
追问3:请同学们根据以上探究过程总结一下去括号法则.
学生尝试归纳总结并举手回答,教师适时进行引导归纳出去括号法则.
去括号法则:一般地,一个数与一个多项式相乘,需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项,再把所得的积相加.
特别地,+(x-3)与-(x-3)可以看作1与-1分别乘(x-3).利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3.这也符合上面的去括号的方法.
利用去括号,可以对整式进行化简.
设计意图:从实际问题出发,为了解决实际问题需要先去括号再进行整式的加减运算,从而让学生感受数学来源于生活,并服务于生活.
典例精讲
例1 化简:
(1)8a+2b+(5a-b); (2)(4y-5)-3(1-2y).
解:(1)8a+2b+(5a-b)=8a+2b+5a-b=13a+b.
(2)(4y-5)-3(1-2y)=4y-5-3+6y=10y-8.
追问:为什么-3×(-2y)=6y?
学生独立思考后小组讨论解决.
解:-3×(-2y)=-3×(-2)·y=6y.
例2 两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是50 km/h,水流速度是a km/h.
(1)2 h后两船相距多远?
(2)2 h后甲船比乙船多航行多少千米?
解:顺水航速=静水航速+水流速度=(50+a)km/h,逆水航速=静水航速-水流速度=(50-a)km/h.
(1)由题意,得2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200(km).
因此,2 h后两船相距200 km.
(2)由题意,得2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a(km).
因此,2 h后甲船比乙船多航行4a km.
设计意图:通过例题,让学生能够熟练地利用去括号法则对多项式进行化简,并且能解决简单的实际问题.
巩固训练
1.下列去括号正确的是( A )
A.-0.5(1-2x)=-0.5+x B.3(2x+3y)=6x+3y
C.-212x-y=-x-2y D.-(2x2-x+1)=-2x2+x
2.化简:
(1)8x-(-3x-5); (2)13(9y-3)+2(y+1).
解:(1)原式=8x+3x+5=11x+5.
(2)原式=3y-1+2y+2=(3+2)y+(2-1)=5y+1.
设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.去括号法则是什么?
2.去括号时需要注意什么?
设计意图:通过课堂小结的形式,引导学生对本节课所学知识进行整理,同时明确 学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第100页练习第1,2,3,4题,第102页习题4.2第2题.
2.七彩作业.
第2课时 去 括 号
去括号法则:①用括号外的数乘括号内的每一项②再把所得的积相加注意:括号外是负数时,去括号内的各项要变号
教学反思

第3课时 整式的加减
课时目标
1.理解整式的加减的实质就是去括号、合并同类项.
2.在掌握合并同类项法则、去括号法则的基础上,掌握整式加减的一般步骤.
3.能熟练准确地进行整式的加减运算.
学习重点
运用合并同类项、去括号法则进行整式运算.
学习难点
熟练地进行整式的加减混合运算.
课时活动设计
回顾引入
合并同类项和去括号是进行整式加减运算的基础,同学们还记得合并同类项法则与去括号法则吗?
师生共同回忆,学生举手回答,教师点评.
合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,字母连同它的指数不变.
去括号法则:一般地,一个数与一个多项式相乘,需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项,再把所得的积相加.
设计意图:复习已有相关知识,为本节课要学的知识打基础.
探究新知
问题:用代数式表示百位上的数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c的三位数,再把这个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置,计算所得数与原数的差,这个差能被11整除吗?
学生独立思考后小组讨论确定出最终答案,教师适时指导.
解:设这个三位数是100a+10b+c,交换后的三位数是100c+10b+a.
则100a+10b+c-(100c+10b+a)=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c).
因为99(a-c)=11×9(a-c),所以这个差能被11整除.
追问1:解决上述问题时涉及了整式的什么运算?说说你是如何运算的?
学生独立思考并归纳总结,教师适时点拨.
解:涉及整式的加减运算,运算过程是先去括号再合并同类项.
追问2:请同学们试着总结一下整式加减的运算法则.
学生独立思考并归纳总结,教师适时点拨.
整式加减的运算法则:几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
设计意图:通过解决数学问题,渗透整式的加减的实质,并培养学生归纳总结的能力.
典例精讲
例1 计算:
(1)(2x-3y)+(5x+4y); (2)(8a-7b)-(4a-5b).
解:(1)(2x-3y)+(5x+4y)=2x-3y+5x+4y=7x+y.
(2)(8a-7b)-(4a-5b)=8a-7b-4a+5b=4a-2b.
例2 做大、小两个长方形纸盒,尺寸如下表所示.
长方体纸盒的尺寸
(1)做这两个纸盒共用纸多少平方厘米?
(2)做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米?
解:小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca) cm2,大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca) cm2.
(1)由题意,得(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=8ab+10bc+8ca.
因此,做这两个纸盒共用纸(8ab+10bc+8ca)cm2.
(2)由题意,得(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)
=6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca.
因此,做大纸盒比做小纸盒多用纸(4ab+6bc+4ca)cm2.
例3 求12x-2x-13y2+-32x+13y2的值,其中x=-2,y=23.
分析:括号外是负号时括号内的各项需要变号,并且化简求值问题先将式子化简,再代入数值进行计算往往比较简便.
解:12x-2x-13y2+-32x+13y2
=12x-2x+23y2-32x+13y2
=-3x+y2.
当x=-2,y=23时,
原式=(-3)×(-2)+232=6+49=649.
设计意图:通过例题,让学生能够熟练地进行整式的加减运算,并且利用整式的加减运算法则解决简单的实际问题以及化简求值问题.
巩固训练
1.先化简再求值:
2(x3-2y2)-(x-2y)-(x-4y2+2x3),其中x=-1,y=-2.
解:原式=2x3-4y2-x+2y-x+4y2-2x3=2y-2x.
当x=-1,y=-2时,原式=2×(-2)-2×(-1)=-4+2=-2.
2.有一道题目是一个多项式减去x2+14x-6,小明误当成了加法计算,得到的结果是2x2-x+3.正确的结果是什么?
解:这个多项式为(2x2-x+3)-(x2+14x-6)=2x2-x+3-x2-14x+6=x2-15x+9.则正确的结果为(x2-15x+9)-(x2+14x-6)=x2-15x+9-x2-14x+6=-29x+15.
设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.整式的加减的实质是什么?
2.多项式减去多项式时要注意什么?
设计意图:通过课堂小结的形式,引导学生对本节课所学知识进行整理,同时明确 学习重点.
课堂8分钟.
1.教材第101页练习第1,2,3题,第102页习题4.2第4,5题.
2.七彩作业.
整式的加减
整式的加减法则:①去括号②合并同类项注意:①去括号时注意符号变化
②多项式相减时加括号
教学反思
类型
长/cm
宽/cm
高/cm
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c