2023-2024学年宁夏银川市灵武市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏银川市灵武市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2=2x的解为( )
A. x1=x2=0B. x1=x2=2
C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−2
2.由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为( )
A. 6B. 9C. 10D. 14
3.灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品.有“活维生素丸”、“百果之王”之美称.某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为( )
A. 0.8B. 0.85C. 0.9D. 0.95
4.2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 43(1−x2)=13.8B. 43(1−x)2=13.8
C. 43(1−2x)=13.8D. 13.8(1+x)2=43
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A. AB=ADB. AC=BD
C. AC⊥BDD. ∠ABO=∠CBO
6.如图，点P(1,2)在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，则下列说法错误的是( )
A. 点P到y轴的距离为1
B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 点P(−1,−2)也在反比例函数y=kx的图象上
D. S△OAP=2
7.如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M.若∠ACB=72°，则∠DMA的大小为( )
A. 72°
B. 54°
C. 36°
D. 22°
8.如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm的矩形纸条.若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是( )
A. 第4张
B. 第5张
C. 第6张
D. 第7张
二、填空题（本题共8小题，共24分）
9.已知ab=32，则a−bb= ______．
10.若反比例函数y=k+2x的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是______．
11.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE/​/BC，若AD=2，BD=3，则AEAC= ______．
12.关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
13.在一个不透明的口袋中有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在15%左右，则口袋中的白球大约有______个．
14.一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______cm3．
15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=2x的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B两点．若y116.如图，正方形ABCD的边长为4，点F在边DC上，且DF=1，点E是对角线AC上的一个动点，则DE+EF的最小值为______．
三、解答题（本题共12小题，共72分）
17.用适当的方法解下列方程
(1)2x2=8；
(2)x2−8x+1=0；
(3)2x2+3x−2=0．
18.(1)解方程：x2−6x+5=0；
(2)下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3(x−3)=(x−3)2
解：3(x−3)−(x−3)2=0.……第一步
(x−3)(3−x−3)=0.……第二步
则x−3=0或3−x−3=0.……第三步
解得x1=3，x2=0.……第四步
任务一：
填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该方程的正确解．
19.9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行.在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传.运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．
20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(3,1)，B(1,2)，C(4,3)．
(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1．
(2)写出C1的坐标，
21.随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，小红和小星随机从“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式中选一种方式进行支付(假设每种支付方式等可能且无关联)．
(1)小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是______；
(2)请用列表或画树状图法，求小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率(依次记“微信”“支付宝”“现金”为A、B、C)．
22.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
(1)此光源下形成的投影属于______.(填“平行投影”或“中心投影”)
(2)已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m.求路灯的高度OP．
23.山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史(面条在东汉称之为“煮饼”).厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数，其图象经过A(4,32)，B(a,80)两点(如图)．
(1)求y与S之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义；
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长．
24.如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠BAD=120°.对角线AC，BD交于点O.求：
(1)这个菱形的对角线长；
(2)菱形的面积．
25.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=4x的图象交于点A(m,4)，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)已知P为反比例函数y=4x的图象上一点，S△OBP=2S△OAC，求点P的坐标．
26.如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BE，连接AC，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形：
(2)若∠ACD=90°，AE=4，CF=3，求S△AECS△DFC的值．
27.阅读下面的材料并完成解答.《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：
(1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步；
(2)中间小正方形的面积为______平方步；
(3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为______；
(4)你依据(2)(3)列出关于x的方程，并求矩形田地的宽．
28.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2=2x，
∴x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
解得x1=0，x2=2，
故选：C．
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
2.【答案】B
【解析】解：搭成该立体图形的小正方体的最少个数为3+3+3=9(个)，
故选：B．
综合左视图和俯视图，所用的小正方体分上下三层，前后三行，最后一行有一层，三个小正方体；中间一行有二层，最少三个小正方体；前面一行有三层，三个小正方体，即可得出答案．
本题考查由三视图判断几何体，推出每一行小正方体的个数是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：这种树苗成活的占比稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．
故选：C．
.由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在0.9左右，成活的概率估计值为0.9．
本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键要明确：由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
43(1−x)2=13.8．
故选：B．
根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为13.8元，可以列出方程43(1−x)2=13.8，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定定理．根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】
解：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB=AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO=∠CBO时，
由AD//BC知∠CBO=∠ADO，
∴∠ABO=∠ADO，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：∵点P(1,2)在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，则k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
A.点P到y轴的距离为1，故该选项正确，不符合题意；
B.根据函数图象，可知，当x<0时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
C.当x=−1时，y=2−1=−2，则点P(−1,−2)也在反比例函数y=kx的图象上，故该选项正确，不符合题意；
D. S△OAP=12|k|=12×2=1，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
根据P(1,2)，即可判断A选项，根据反比例函数的图象即可判断B选项，求得k=2，进而判断C选项，根据k的几何意义，即可判断D选项，即可求解．
本题考查了点到坐标轴的距离，反比例函数的k的几何意义，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：在长方形ABCD中，∵AB/​/CD，∠ACB=72°，
∴∠CAD=∠ACB=72°，
由作法得：AH平分∠CAD，
∴∠DAM=12∠CAD=36°，
∵∠D=90°，
∴∠DMA=90°−36°=54°，
故选：B．
先利用矩形的性质得到AB/​/CD，则利用平行线的性质可计算出∠CAD=72°，再由作法得AH平分∠CAD，所以∠MAD=12∠CAD=36°，然后根据三角形的内角和定理得到∠DMA的度数．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了矩形的性质．
8.【答案】C
【解析】解：字母标注如图，
由题意可知，BC=20cm，AD=30cm，EF=4cm，
设剪得正方形纸条是第x张，
∴AG=(30−4x)cm，
∵△AEF∽△ABC，
∴AGAD=EFBC，
∴30−4x30=420，
解得：x=6，
即剪得正方形纸条是第6张，
故选：C．
设剪得正方形纸条是第x张，根据相似三角形的性质，得到AGAD=EFBC，从而求出x的值，即可得到答案．
本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质．掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
9.【答案】12
【解析】解：∵ab=32，
∴a−bb=ab−1=32−1=12；
故答案为：12．
把要求的式子化成ab−1，再代值计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10.【答案】k<−2
【解析】解：由题意得：k+2<0，
∴k<−2
故答案为：k<−2．
对于反比例函数y=kx，当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限；据此即可求解．
本题考查反比例函数的性质，反比例函数的图象；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．
11.【答案】2：5
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴ADBD=AECE，
∵AD=2，BD=3，
∴AEAC=ADAD+BD=22+3=25，
故答案为：2：5．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
12.【答案】k>−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有两个不相等的实数根，
∴△=22+4k>0，
解得k>−1．
故答案为：k>−1．
根据判别式的意义得到△=22+4k>0，然后解不等式即可．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
13.【答案】17
【解析】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴3x+3=15%，
解得：x=17，
故白球的个数为17个．
故答案为：17．
设白球个数为x个，由摸到红球的频率稳定在15%附近，列出等式，进而求出白球个数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率解答是解题关键．
14.【答案】144
【解析】解：∵俯视图为正方形，根据主视图可得：正方形对角线为6cm，长方体的高为8cm，
∴长方体的体积为：6×6÷2×8=144(cm3).
故答案为：144．
根据对角线为6cm，俯视图是一个正方形，则底面面积为6×6÷2=18(cm2)，再根据长方体体积计算公式即可解答．
此题考查了由三视图判断几何体，解答本题的关键要熟练掌握三视图的基本知识以及长方体体积计算公式．
15.【答案】x<0或1【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，也考查了观察函数图象的能力．
观察函数图象，当x<0或1【解答】解：当y1根据图象可得，当x<0或1故x的取值范围是x<0或1故答案为当x<0或116.【答案】5
【解析】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴BF+EF=DE，此时BF+EF最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点E在AB上且BE=1，
∴AE=3，
∴DE= AD2+AE2= 42+32=5，
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时BF+EF最小，利用勾股定理求出DE即可．
此题考查正方形的性质熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2x2=8，
x2=4，
∴x1=2，x2=−2；
(2)x2−8x+1=0，
x2−8x=−1，
x2−8x+16=−1+16=15，
∴(x−4)2=15，
∴x1= 15+4,x2=− 15+4；
(3)2x2+3x−2=0，
(2x−1)(x+2)=0，
∴x1=12,x2=−2．
【解析】(1)利用直接开平方法即可求解；
(2)利用配方法即可求解；
(3)利用因式分解法即可求解．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，配方法和直接开方法是解题的关键．
18.【答案】移项 二 符号错误
【解析】解：(1)∵x2−6x+5=0，
∴(x−1)(x−5)=0，
则x−1=0或x−5=0，
解得x1=1，x2=5．
任务一：
填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称移项；
②第二步开始出现错误，错误的原因是符号错误；
故答案为：①移项；②二，符号错误；
任务二：∵3(x−3)=(x−3)2，
∴3(x−3)−(x−3)2=0，
则(x−3)(3−x+3)=0，
∴x−3=0或3−x+3=0，
解得x1=3，x2=6．
(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19.【答案】解：如图所示：

【解析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可得，C1(8,6)．
【解析】(1)根据位似的性质作图即可．
(2)由图可得出答案．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
21.【答案】13
【解析】解：(1)由题意得，小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是13．
故答案为：13．
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小红和小星恰好都选择“微信”支付的结果有：(A,A)，共1种，
∴小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率为19．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及小红和小星恰好都选择“微信”支付的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】中心投影
【解析】解：(1)∵此光源属于点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
(2)∵AB⊥CP，PO⊥PC，
∴OP//AB，
∴△ABC∽△OPC，
∴ABOP=BCPC，
即：2OP=33+4.5，
解得：OP=5(m)，
∴路灯的高度为5米．
(1)由中心投影的定义确定答案即可；
(2)先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数表达式为：y=kx(x>0)，
将(4,32)代入可得：k=128，
∴y与x之间的函数表达式为：y=128x(x>0)；
(2)将(a,80)代入y=128x可得a=1.6，
实际意义：当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m；
(3)∵厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2，
∴y≥1280.8=160，
故面条的总长度至少为160m．
【解析】(1)直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可；
(2)利用(1)中所求进而得出a的值，得出其实际意义；
(3)利用x=0.8求出y的值即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解y与x代表的意义是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵在菱形ABCD中，AB=BC，菱形ABCD的周长为16cm，∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，AB=4cm，
∴AC=AB=4cm；
∴AO=2cm，
∵∠AOB=90°，
∴BO= 42−22=2 3(cm)，
∴BD=4 3cm，
∴菱形的对角线长4cm，4 3cm；
(2)菱形的面积为12×4×4 3=8 3(cm2)．
【解析】(1)利用已知条件易求AC的长，再由勾股定理可求出BO的长，进而可求对角线BD的长；
(2)利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
本题主要考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质并利用公式准确求出菱形的面积是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点A(m,4)在反比例函数y=4x的图象上，
∴4=4m，
解得：m=1，
∴点A的坐标为(1,4)，
又∵点A(1,4)在一次函数y=x+b的图象上，
∴4=1+b，
解得：b=3，
∴b的值为3；
(2)由(1)可知：直线AB的解析式为y=x+3．
当y=0时，x+3=0，
解得：x=−3，
∴点B的坐标为(−3,0)，
∴OB=3；
当x=0时，y=1×0+3=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
∴OC=3．
∵S△OBP=2S△OAC，
∴12⋅OC⋅|yP|=2×12⋅OC⋅xA，
即12×3|yP|=2×12×3×1，
解得：yP=±2，
当y=2时，4x=2，
解得：x=2，
∴点P的坐标为(2,2)；
当y=−2时，4x=−2，
解得：x=−2，
∴点P的坐标为(−2,−2)．
综上所述，点P的坐标为(2,2)或(−2,−2)．
【解析】(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出b的值；
(2)由(1)可知直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，C的坐标，进而可得出OB，OC的值，结合S△OBP=2S△OAC，可得出关于点P纵坐标的方程，解之可得出点P的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；(2)根据两三角形面积间的关系，找出关于点P的纵坐标的方程．
26.【答案】(1)证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
在▱ABCD中，AD//BC且AD=BC，
∴AD/​/EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC=∠DFC=90°，AE=DF=4，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ECA+∠DCF=90°，
∴∠EAC=∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴AEEC=CFDF=34，
∴EC=2AE=163，
∴S△AECS△CFD=12×AE×EC12×CF×DF=12×4×16312×3×43=169．
【解析】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可；
(2)根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
27.【答案】60 144 (60−2x)2平方步
【解析】解：(1)∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步，
∴大正方形的边长为 60步；
故答案为：60；
(2)中间小正方形的面积为602−864=144平方步；
故答案为：144；
(3)设矩形田地的宽为x步，则长为(60−x)步，
∴小正方形的边长为60−x−x=(60−2x)步，
∴小正方形的面积为(60−2x)2平方步；
故答案为：(60−2x)2平方步；
(4)由②③可得关于x的方程：(60−2x)2=144．
∴x1=24，x2=36(舍去)，
∴x=24．
答：矩形田地的宽为24步．
(1)根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；
(2)先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；
(3)设矩形田地的宽为x步，则长为(60−x)步，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解；
(4)由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．
本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28.【答案】解：根据勾股定理得：BA= 62+82=10；
(1)分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，BPBA=BQBC，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴5t10=8−4t8，解得，t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，BPBC=BQBA，
∴5t8=8−4t10，解得，t=3241；
∴t=1或3241时，△BPQ与△ABC相似；
(2)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8−4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ACCM=CQMP，
∴68−4t=4t3t，
解得t=78．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
(1)分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，代入计算即可；
(2)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8−4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．