人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件1.4.2 充要条件学案及答案

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1．命题及相关概念
2．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
温馨提示：“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
【方法点拨】
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q、q⇒p和p⇔q是否成立，最后得出结论．
(2)命题判断法：
①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p⇔q，则p是q的充要条件．
③若p⇒q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p eq \(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p eq \(⇒,/)q，且q eq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
【例1】（2022•呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（ ）
A．充分不要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分他不要条件
【解题思路】分别化简集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判断出．
【解答过程】解：由集合A＝{x|x≥0}，集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）．
因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．
【变式1-1】（2022春•温州期中）设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
【解题思路】利用或和且的含义，再结合充要条件的定义判定即可．
【解答过程】解：①当x＞2且y＞3时，则x＞2或y＞3，∴充分性成立，
②∵x＞2或y＞3⇔x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立，
∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要条件，故选：A．
【变式1-2】（2022•西宁一模）设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（ ）
A．充分必要条件B．即不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【解题思路】“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m．即可判断出．
【解答过程】解：“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m．
因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要条件．故选：C．
【变式1-3】（2022•柯桥区模拟）设x∈R，则“x＞2”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解题思路】先将结论等价化简，再根据充分与必要条件的概念即可求解．
【解答过程】解：∵“”等价于：，即，即x（x﹣2）＞0，即x＜0或x＞2，
∴“x＞2”是“”的充分不必要条件．故选：A．
【题型2 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【方法点拨】
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【例2】（2022春•射洪市校级期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A．1＜x＜3B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜1D．1＜x＜3
【解题思路】利用子集和充要条件的关系判定即可．
【解答过程】解：∵（0，1）⫋（0，2），∵p的一个充分不必要条件是0＜x＜1，故选：C．
【变式2-1】（2021秋•南宁期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A．1＜x＜3B．﹣1＜x＜1C．D．
【解题思路】由（，）⫋（0，1），再结合充要条件的定义判定即可．
【解答过程】解：∵（，）⫋（0，1），∴p的一个充分不必要条件是x，故选：C．
【变式2-2】（2022•全国一模）已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（ ）
A．a+b≠0B．a2+b2≠0C．a3+b3≠0D．
【解题思路】取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断B．
【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A错误，对于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0，反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0，故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分条件，故B正确，对于C，令a＝1，b＝﹣1，推不出a3+b3≠0，故C错误，
对于D，令a＝1，b＝﹣1，推不出0，故D错误，故选：B．
【变式2-3】（2021秋•湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．x＞1B．x＞2C．x＜3D．x＞0
【解题思路】解不等式，可得x＞1，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与x＞1的关系，可判断选项．
【解答过程】解：对于不等式x﹣1＞0，解可得x＞1，根据题意，分析选项可得，
A中，x＞1，即x＞1是x﹣1＞0成立的充分必要条件，
B中，x＞2，当x＞2时，x﹣1＞0成立，反之若有x﹣1＞0成立，则不能推出x＞2成立，故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要条件，
C中，当x＜3时，x﹣1＞0不一定成立，反之x﹣1＞0成立，则不能推出x＜3成立，故x＜3是x﹣1＞0成立的既不充分也不必要条件，
D中，x＞0，当x＞0时，x﹣1＞0不一定成立，反之若有x﹣1＞0成立，则能推出x＞0成立，故x＞0是x﹣1＞0成立的必要不充分条件，故选：D．
【题型3 由充分条件、必要条件求参数】
【方法点拨】
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【例3】（2021秋•赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤0B．0≤a≤1C．0＜a＜1D．a≤0或a≥1
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义进行求解即可．
【解答过程】解：因为“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，
所以，即0≤a≤1．故选：B．
【变式3-1】（2021秋•罗庄区校级月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤5B．﹣1＜a≤5C．﹣2≤a≤3D．﹣2≤a＜3
【解题思路】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P⊇Q，再建立a的不等式组可求解．
【解答过程】解：∵“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，∴P⊇Q，
∴，∴﹣1≤a≤5，故选：A．
【变式3-2】（2022•晋中模拟）已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1]
【解题思路】利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数m的取值范围．
【解答过程】解：由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，
则{x|﹣1＜x＜1}⫋{x|x＞m}，则m≤﹣1，故选：D．
【变式3-3】（2022•渭滨区校级模拟）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【解题思路】由题意，解不等式|x﹣a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组 则有 ，（等号不同时成立），解可得答案．
【解答过程】解：根据题意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，设此命题为p，
命题 ，为q；则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；
则有 ，（等号不同时成立）；解可得；故选：B．
【题型4 充要条件的证明】
【方法点拨】
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．
【例4】（2021秋•禅城区校级月考）已知ab≠0，求证：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要条件是a﹣b＝0．
【解题思路】先假设a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立，化简可得a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（ab）2b2]，从而证明a﹣b＝0，再假设a﹣b＝0证明a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立即可．
【解答过程】证明：若a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0，
则a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝a3﹣b3+（2ab2﹣2a2b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）+2ab（b﹣a）
＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）＝（a﹣b）[（ab）2b2]＝0，
∵ab≠0，∴（ab）2b2＞0，∴a﹣b＝0；
若a﹣b＝0，则a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（ab）2b2]＝0；
故a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要条件是a﹣b＝0．
【变式4-1】（2021秋•金山区校级月考）设n∈Z，求证：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件．
【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答过程】证明：若n∈Z，n是偶数，则n+1是奇数，（n+1）2是奇数，是充分条件，
若n∈Z，（n+1）2是奇数，则n+1是奇数，则n是偶数，是必要条件，
故：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件．
【变式4-2】已知a，b，m都是正数．求证：“”的充要条件是“a＞b”．
【解题思路】利用不等式的性质，结合充要条件的定义证明即可．
【解答过程】证明：①若，
∵a，b，m∈R+，∴a+m，b+m∈R+
∵，∴b（a+m）＜a（b+m），∴ba+bm＜ab+am，∴bm＜am，
又∵m∈R+，∴a＞b，
②若a＞b，∵a＞b＞0，m∈R+，∴am＞bm，∴ab+am＞ab+bm，∴a（b+m）＞b（a+m），
∵a，b，m∈R+，∴a+m，b+m∈R+∴，
综上，的充要条件是a＞b．
【变式4-3】求证：一个三角形是钝角三角形的充要条件是三角形内有一条边的平方大于另两条边的平方和．
【解题思路】根据余弦定理即可证明．
【解答过程】解：必要性：设一个三角形ABC是钝角三角形，不妨设c最大，则角C为钝角，
csC0，故a2+b2﹣c2＜0，故c2＞a2+b2，即有一条边的平方大于另两条边的平方和；
充分性：当三角形中有一条边的平方大于另两条边的平方和时，不妨设c2＞a2+b2；∴csC0，
∴角C为钝角．∴三角形ABC是钝角三角形；
故一个三角形是钝角三角形的充要条件是三角形内有一条边的平方大于另两条边的平方和得证． 专题1.4 充分条件与必要条件-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•兰州期末）下列选项是“a＞1”的必要条件的是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜0D．a＞0
【解题思路】是a＞1的必要条件，集合{a|a＞1}是对应集合的子集，即可判断出答案．
【解答过程】解：若是a＞1的必要条件，则集合{a|a＞1}是对应集合的子集，
∵{a|a＞1}⊆{a|a＞0}，∴a＞0是a＞1的必要条件， 故选：D．
2．（3分）（2022•象山区校级一模）“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充要条件的定义，可求得答案．
【解答过程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分条件，由m≥﹣2不能够推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要条件，综上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要条件，故选：A．
3．（3分）（2022春•湖南期中）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机经毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分与必要条件概念判断．
【解答过程】解：∵“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必须具备的前提条件，
∴由“找到驾驶员座舱录音器”不能推出“初步事故原因认定”，
反过来由“初步事故原因认定”可推出“找到驾驶员座舱录音器”，
∴“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件．故选：C．
4．（3分）（2022•和平区二模）设a，b∈R，则“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【解题思路】将条件分类讨论等价化简，即可判断．
【解答过程】解：当a≥0，b＞0时，“a|a|＜b|b|”等价于a2＜b2，即a＜b，故“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件；
当a＜0，b≤0时，“a|a|＜b|b|”等价于﹣a2＜﹣b2，即a2＞b2，即a＜b，故“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件；
当a＜0，b＞0时，a＜b，又a|a|＜b|b|”等价于﹣a2＜b2恒成立，故“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件．
综合得：a，b∈R，则“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件．故选：D．
5．（3分）（2021秋•广东月考）已知条件p：﹣1＜x＜3，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A．{a|a＞3}B．{a|a≥3}C．{a|a＜﹣1}D．{a|a≤﹣1}
【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义，转化为对应的不等式关系进行求解即可．
【解答过程】解：设A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，若p是q的充分不必要条件，
则A⫋B，即a≤﹣1，故选：D．
6．（3分）（2021秋•历下区校级月考）使“”成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．或x≥1D．或x＞1
【解题思路】可先对不等式“”进行求解，再由充要条件的定义即可进行求解．
【解答过程】解：由题解不等式，可得，
若判断选项是否为使“”成立的必要不充分条件，
则必为选项的真子集，故选：A．
7．（3分）（2021秋•会宁县校级月考）已知P：4x﹣m＜0，q：1≤3﹣x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|m≥8}B．{m|m＞8}C．{m|m＞﹣4}D．{m|m≥﹣4}
【解题思路】分别解出p，q不等式，根据p是q的一个必要不充分条件，即可得出．
【解答过程】解：因为p：4x﹣m＜0，即p：x，且q：﹣1≤x≤2，
∵p是q的一个必要不充分条件，所以{x|﹣1≤x≤2}⫋{x|x}，故2，即m＞8．
故选：B．
8．（3分）（2021秋•靖江市月考）设U＝R，已知两个非空集合，P，Q满足（∁UP）∪Q＝R，则下列说法正确的是（ ）
A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件
B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件
C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件
D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
【解题思路】根据题意，可以判断P是Q的子集，从而得出x∈P是x∈Q的充分条件．
【解答过程】解：因为U＝R，非空集合P，Q满足（∁UP）∪Q＝R，
所以P是Q的子集，即P⊆Q，所以x∈P是x∈Q的充分条件，故选：A．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022•衡水模拟）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．﹣1≤x≤2B．﹣2≤x≤﹣1C．2＜x＜5D．2≤x≤5
【解题思路】先解分式不等式求出p，再利用充要条件的定义判定即可．
【解答过程】解：p：∵，∴10，∴（x+1）（2x﹣4）≥0且x+1≠0，
∴x＜﹣1或x≥2，∵（2，5）⫋（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），[2，5]⫋（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），
则p成立的一个充分不必要条件是（2，5）和[2，5]，故选：CD．
10．（4分）（2020秋•张家口期中）若不等式x﹣2＜a成立的充分条件是0＜x＜3，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．a≥2B．a≥1C．3＜a≤5D．a≤2
【解题思路】根据充分条件的定义即可求出．
【解答过程】解：不等式x﹣2＜a成立的充分条件是0＜x＜3，设x﹣2＜a的解集为A，则（0，3）是集合A的真子集，∵A＝（﹣∞，2+a），∴2+a≥3，解得a≥1，则A，B，C均正确，故选：ABC．
11．（4分）（2021秋•营口期末）下列选项中，满足p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：x＞1，q：x＞0B．p：|x|≠2，q：x2≠4
C．p：x＝0，q：xy＝0D．p：x＞y，q：x2＞y2
【解题思路】根据充分必要条件的定义分别判断即可．
【解答过程】解：p：x＞1，q：x＞0，p是q的充分不必要条件，故A正确，
p：|x|≠2，x≠±2，q：x2≠4，x≠±2，故p是q的充分必要条件，故B错误，
p：x＝0，q：xy＝0，p是q的充分不必要条件，故C正确，
p：x＞y，q：x2＞y2，p推不出q，q推不出p，p是q的即不充分也不必要条件，故D错误，故选：AC．
12．（4分）（2022•沈河区校级二模）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
【解题思路】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项条件间的关系，能求出结果．
【解答过程】解：对于A，a＝b⇒ac＝bc，当c＝0，ac＝bc时，a与b不一定相等，故A是假命题；
对于B，若a＝1＞b＝﹣2时，充分性不成立，故B是假命题；
对于C，a＜5不一定a＜3，但a＜3必有a＜5，∴“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故C是真命题；
对于D，a+5是无理数，则a是无理数，若a是无理数，则a+5是无理数，
∴“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D是假命题．故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022•昆明一模）若“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的值可以是 0 ．（写出满足条件a的一个值即可）
【解题思路】若“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，则若“x＜2”表示的范围比“x＜a”表示的范围大，以此可解决此题．
【解答过程】解：因为“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，所以“x＜2”表示的范围比“x＜a”表示的范围大，当a＝0时满足．故答案为：0．
14．（4分）（2021秋•威宁县期末）已知条件p：2k﹣1≤x≤2，q：﹣5≤x≤3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 [﹣2，+∞）． ．
【解题思路】记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，问题转化为满足条件A⊆B，通过讨论A的情况，确定k的取值范围即可．
【解答过程】解：记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B，
当A＝∅时，2k﹣1＞2，即，符合题意，当A≠∅时，由A⊆B可得2k﹣1≥﹣5，2k﹣1≤2即k≥﹣2，综上所述，实数的k的取值范围是[﹣2，+∞）.
15．（4分）（2022春•邹平市校级期中）设x∈R，“”成立的一个充分不必要条件是 ．（写出一个即可）
【解题思路】先将结论等价化简，再根据充分与必要的条件概念即可求解．
【解答过程】解：“”可等价转化为0＜x＜1，记A＝（0，1），设“”成立的一个充分不必要条件是集合B，则B⫋A，∴“”成立的一个充分不必要条件可以是，
故答案为：．
16．（4分）（2021秋•松山区校级期末）已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2] ．
【解题思路】由p是q的必要不充分条件，得到（2，3）⫋（a，+∞），即可求解．
【解答过程】解：∵p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，∴（2，3）⫋（a，+∞），∴a≤2，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋•新兴县校级月考）求证：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点的充要条件是b＝0．
【解题思路】充分性证明：将b＝0代入一次函数方程即可求证一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点；
必要性证明：将（0，0）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）解析式中，求解可得b＝0，进而得证．
【解答过程】证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，
所以一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点；
必要性：因为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点，
所以当x＝0时，y＝0，即k×0+b＝0，所以b＝0，
综上，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点的充要条件是b＝0．
18．（6分）（2021秋•酒泉期末）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a﹣4≤x≤a﹣1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集，即可求得答案．
【解答过程】解：由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集，
∴，∴4≤a≤5，∴实数a的取值范围为[4，5]．
19．（8分）（2021秋•上饶期末）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|1＜x＜6}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）把a＝3代入集合A，再由并集运算得答案；
（2）由题意可得，A⫋B，进一步得到关于a的不等式组求解．
【解答过程】解：（1）当a＝3时，A＝{x|﹣1≤x≤5}，∵B＝{x|1＜x＜6}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜6}；
（2）∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A是B的真子集．
则，解得0≤a＜1，综上，a＜1．∴实数a的取值范围是a＜1．
20．（8分）（2021秋•宜宾期末）设p：x≤﹣1或x≥3，q：x2+（a+1）x+a≥0．
（1）若a＝﹣3时，P是q的什么条件？
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【解题思路】（1）将a代入，求出命题q，然后根据充要条件的定义可得结果．
（2）分类讨论a的值，再结合充要条件的定义转化为集合间的关系可得结果．
【解答过程】解：（1）若a＝﹣3时，q：x2﹣2x﹣3≥0，∴x≥3或x≤﹣1，
∵p：x≤﹣1或x≥3，∴P是q的充要条件．
（2）q：x2+（a+1）x+a≥0⇔（x+a）（x+1）≥0，
①当a＝1时，q：x∈R，不满足P是q的必要不充分条件，
②当a＜1时，q：x≥﹣a或x≤﹣1，
∵P是q的必要不充分条件，∴﹣a＞3，∴a＜﹣3，∴a＜﹣3，
③当a＞1时，q：x≥﹣1或x≤﹣a，不满足P是q的必要不充分条件，
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣3）．
21．（8分）（2021秋•榆林期末）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}，其中a∈R．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
【解题思路】（1）问题转化为A⊆B，可求a的取值范围；（2）问题转化为B⊆A可解决此题．
【解答过程】解：（1）由题意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）；
（2）由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，当B＝∅时，2﹣a＞1+2a，即a时，满足题意，
当B≠∅时，即a时，则，解得a≤1．综上a≤1，
故实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
22．（8分）（2021秋•浦东新区校级月考）已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
（1）若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
（2）求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．
【解题思路】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【解答过程】解：（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集，
当B＝∅时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意，
当B≠∅时，若B是A的真子集，则，解得1≤a＜2，综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}，
证明：（2）充分性（若a≥2，则α⟹β）．若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，
所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α⟹β，则a≥2）．若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，
则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，综上所述：a≥2是α⟹β成立的充要条件.