01 第29讲　平面向量的概念及其线性运算 【正文】听课高考数学练习

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1.向量的有关概念及表示
2.向量的线性运算
特别注意向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0;当a=0时,λa=0.实数和向量可以求积,但是不能求和、求差.
3.向量共线的充要条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(口诀:数乘即得平行,平行必有数乘.)
常用结论
1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则2OP=OA+OB.
2.若A,B,C是平面内不共线的三点,则PA+PB+PC=0⇔P为△ABC的重心,AP=13(AB+AC).
3.已知OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
4.向量三角不等式
①已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(当a与b反向共线时左边等号成立;当a与b同向共线时右边等号成立);
②已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(当a与b同向共线时左边等号成立;当a与b反向共线时右边等号成立).
题组一 常识题
1.[教材改编] MN+NP+PQ= .
2.[教材改编] 已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta与12a-32b共线,则实数t= .
3.[教材改编] 在平行四边形ABCD中,BC的中点为M,且AB=a,AD=b,用a,b表示AM= .
题组二 常错题
◆索引:对向量的概念理解不清致误;对向量相等的隐含条件挖掘不全致误;忽视两向量的方向关系致误.
4.“a=b”是“|a|=|b|”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
5.已知平面四边形ABCD满足AB=DC,则四边形ABCD是 .
6.已知|a|=2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是 .
平面向量的基本概念
例1 (多选题)下列说法中正确的有( )
A.向量AB的长度与向量BA的长度相等
B.若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
C.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同
D.两个有公共终点的向量一定是共线向量
总结反思
(1)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性.
(2)不改变向量a的大小和方向,自由平移a,平移后的向量与a相等.
(3)非零向量的平行具有传递性;
(4)a|a|(a≠0)是与a同方向的单位向量.
变式题 (1)(多选题)下列说法中正确的有( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若a,b不相等,则它们不都是零向量
C.若a,b都为单位向量,则a=b
D.若a=b,b=c,则a=c
(2)已知a,b都是非零向量,则下列四个选项中,为“a|a|=b|b|”的充分条件的是( )
A.a=3b
B.a∥b
C.a=-b
D.a∥b且|a|=|b|
平面向量的线性运算背景问题
微点1 平面向量的加、减运算的几何意义
例2 (1)在平行四边形ABCD中,|AB+AD|=|AB-AD|,则( )
A.AD=0
B.AB=0或AD=0
C.平行四边形ABCD是矩形
D.平行四边形ABCD是菱形
(2)已知非零向量a,b,c,则“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
总结反思
利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题;
(2)平面几何中如果出现平行四边形(或三角形)或可能构造出平行四边形(或三角形)的问题,可考虑利用向量知识来求解.
微点2 平面向量的线性运算
例3 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=( )
A.3m-2nB.-2m+3n
C.3m+2nD.2m+3n
(2)[2023·浙江三市质检] 设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则MA+2MB+2MC+MD=( )
A.ABB.CDC.2ABD.12CD
总结反思
向量线性运算的解题策略:
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
微点3 利用向量的线性运算求参数
例4 (1)已知O是△ABC的重心,OA+2OB+λBC=0,则λ=( )
A.3B.2
C.1D.12
(2)[2023·江苏师大附中模拟] 已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在的平面内,且CD=3CE-2CA,若AC=xAB+yBE,则2x-y=( )
A.16B.11C.7D.4
总结反思
解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.
1.【微点1】(多选题)[2024·唐山六校联考] 对于任意向量a,b,下列说法中正确的有( )
A.|a+b|≥|a|+|b|
B.|a+b|≥|a|-|b|
C.|a+b|≥|a-b|
D.|a|+|b|≥|a+b|
2.【微点2】[2023·山东潍坊二模] 在△ABC中,BD=13BC,点E是AD的中点,记AB=a,AC=b,则BE=( )
A.-13a+13bB.-23a+16b
C.-13a-13bD.23a-16b
3.【微点2】(多选题)如图所示,已知四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论中正确的有( )
A.AC=AD+12AB
B.MC=12AC+12BC
C.MN=AD+14AB
D.BC=AD-12AB
4.【微点3】(多选题)[2023·苏州模拟] 在△ABC中,记AB=a,AC=b,点D在直线BC上,且BD=3DC.若AD=ma+nb,则mn的值可能为( )
A.-2B.-13
C.13D.2
5.【微点3】已知O是△ABC内的一点,2OA+3OB+mOC=0,若△AOB的面积与△ABC的面积的比值为47,则实数m的值为 .
6.【微点2】在边长为1的正方形ABCD中,设AB=a,AD=b,AC=c,则|a-b+c|= .
共线向量定理及应用
例5 (1)已知非零向量e1,e2不共线,且向量λe1+3e2与2e1-5e2平行,则实数λ=( ) 名称
定义
表示
向量
既有 又有 的量
用a,b,c,…或AB,BC,…表示
向量的长
度(模)
向量的 称为向量的长度(或称模)
或
零向量
长度为0的向量
记作
单位向量
长度等于 的向量
用e表示,|e|=
相等向量
相等且 相同的向量
向量a和b相等,记作
两个向量平行
(或共线)
方向 或 的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量
两个向量a和b平行,记作 ,零向量与任意向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
①交换律:
a+b=b+a;
②结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
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(2)[2023·山西临汾一模] 已知a,b为不共线的非零向量,AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则( )
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.B,C,D三点共线
D.A,C,D三点共线
总结反思
利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向.
(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
(3)要证明A,B,C三点共线,只需证明AB与BC共线,即证AB=λBC(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有AB与BC共线,从而存在实数λ,使得AB=λBC.
(4)OA=λOB+μOC (λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
变式题 (1)设e1与e2是不共线的非零向量,若ke1+e2与e1+ke2共线且方向相反,则k的值是( )
A.-1B.1
C.±1D.任意不为零的实数
(2)如图,在△ABC中,AD=2DB,P为线段CD上一点,且满足AP=mAC+12AB(m∈R),则m的值为 .