01 第29讲　平面向量的概念及其线性运算 【答案】听课高考数学练习

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● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.大小 方向 大小 |a| |AB| 0 1个单位长度 1
长度 方向 a=b 相同 相反 a∥b 平行
【对点演练】
1.MQ [解析] MN+NP+PQ=MN+NQ=MQ.
2.13 [解析] 由题意知,存在实数λ,使得b-ta=λ12a-32b,则t=-12λ,32λ=-1,解得t=13.
3.a+12b [解析] AM=AB+BM=AB+12BC=AB+12AD=a+12b.
4.充分不必要 [解析] a=b⇒|a|=|b|,充分性成立,|a|=|b|⇒/ a=b,必要性不成立,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.
5.平行四边形 [解析] 在平面四边形ABCD中,因为AB=DC,所以AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形.
6.[3,7] [解析] 当a与b同向共线时,|a+b|=7;当a与b反向共线时,|a+b|=3;当a与b不共线时,3<|a+b|<7.综上,|a+b|的取值范围为[3,7].
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,判断正误即可.
AC [解析] 对于A,向量AB与向量BA的长度相等,方向相反,故A正确;对于B,当向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足条件,故B错误;对于C,两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C正确;对于D,两个有公共终点的向量不一定是共线向量,故D错误.故选AC.
变式题 (1)BD (2)A [解析] (1)零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;若a,b都是零向量,则它们必相等,故B正确;若a,b都为单位向量,则a与b长度相等,但方向不一定相同,故C错误;由向量相等的定义知D正确.故选BD.
(2)a|a|=b|b|等价于a与b同向,当a=3b时,a与b同向,故选A.
例2 [思路点拨] (1)利用平行四边形法则与三角形法则判断即可.(2)根据充分性、必要性的定义,结合向量减法的几何意义判断条件间的推出关系,即可得到答案.
(1)C (2)A [解析] (1)∵|AB+AD|=|AB-AD|,∴|AC|=|DB|,∴平行四边形ABCD是矩形.故选C.
(2)如图,由|a-b|≤1,|b-c|≤2,得|a-c|≤|a-b|+|b-c|≤3,充分性成立;当|a-c|≤3时,不一定有|a-b|≤1,|b-c|≤2,必要性不成立.综上,“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的充分不必要条件.故选A.
例3 [思路点拨] (1)结合已知条件的各线段的关系及向量减法的三角形法则求解.(2)根据平行四边形对角线平分及向量加减法求解.
(1)B (2)A [解析] (1)因为点D在边AB上,BD=2DA,所以BD=2DA,所以CD-CB=2(CA-CD),所以CB=-2CA+3CD=-2m+3n.
(2)因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点,所以MA=-MC,MD=-MB,所以MA+2MB+2MC+MD=MC+MB=MB-MA=AB.故选A.
例4 [思路点拨] (1)由O是△ABC的重心可得OA+OB+OC=0,结合已知条件可得λ的值.(2)利用平面向量的线性运算可将CD=3CE-2CA转化为5AB+6BE=AC,即可得到x与y的值,进而求解.
(1)C (2)D [解析] (1)由题知OA+2OB+λBC=OA+2OB+λ(OC-OB)=OA+(2-λ)OB+λOC=0.∵O是△ABC的重心,∴OA+OB+OC=0,∴(2-λ)OB+λOC=OB+OC,又OB与OC不共线,∴λ=1.故选C.
(2)因为CD=3CE-2CA,边BC的中点为D,所以12CB=3(BE-BC)+2AC=3BE-3BC+2AC,所以52BC=3BE+2AC,所以52(AC-AB)=3BE+2AC,即5AC-5AB=6BE+4AC,即5AB+6BE=AC,因为AC=xAB+yBE,所以x=5,y=6,所以2x-y=4.故选D.
【应用演练】
1.BD [解析] 对于A,当a, b为非零向量且不共线时,不等式不成立,故A错误;对于B,易知|a+b|≥|a|-|b|,故B正确;对于C,若非零向量a,b方向相反,则|a+b|<|a-b|,故C错误;对于D,易知|a|+|b|≥|a+b|,故D正确.故选BD.
2.B [解析] 由题知BE=12(BA+BD)=12(BA+13BC)=12BA+13(BA+AC)=-23AB+16AC=-23a+16b.故选B.
3.ABD [解析] 因为四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,所以AC=AD+DC=AD+12AB,故A正确;因为CM为△ABC的中线,所以CM=12CA+12CB,即MC=12AC+12BC,故B正确;BC=AC-AB=AD+12AB-AB=AD-12AB,故D正确;MN=MC+CN=12AC+12BC-12DC=12AD+12AB+12AD-12AB-14AB=AD-14AB,故C错误.故选ABD.
4.BC [解析] 当点D在线段BC上时,如图①,AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC=14a+34b,此时mn=1434=13.当点D在线段BC的延长线上时,如图②,AD=AB+BD=AB+32BC=AB+32(AC-AB)=-12AB+32AC=-12a+32b,此时mn=-1232=-13.故选BC.
5.203 [解析] 由题知2OA+3OB=-mOC,则25OA+35OB=-m5OC,设-m5OC=OD,则OD=25OA+35OB,因为25+35=1,所以A,B,D三点共线,则OC与OD反向共线,所以m>0,所以|OD||OC|=m5,所以|OD||CD|=mm+5,因为S△AOBS△ABC=|OD||CD|,所以mm+5=47,解得m=203.
6.2 [解析] 因为四边形ABCD是边长为1的正方形,AB=a,AD=b,AC=c,所以a-b+c=AB-AD+AC=AB-AD+(AB+AD)=2AB,又|AB|=1,所以|a-b+c|=|2AB|=2.
例5 [思路点拨] (1)利用共线向量定理即可得到答案.(2)根据给定条件,求出BD,AC,再利用共线向量定理逐项判断即可.
(1)B (2)B [解析] (1)∵λe1+3e2与2e1-5e2平行,非零向量e1,e2不共线,∴存在实数k,使得λe1+3e2=k(2e1-5e2)=2ke1-5ke2,∴λ=2k,3=-5k,解得k=-35,λ=-65.故选B.
(2)a,b为不共线的非零向量,AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则BD=BC+CD=a+5b,AC=AB+BC=-a+13b.因为1-2≠58,所以AB与BC不共线,所以A,B,C三点不共线,故A不正确;因为AB=BD,所以AB与BD共线,所以A,B,D三点共线,故B正确;因为-23≠8-3,所以BC与CD不共线,所以B,C,D三点不共线,故C不正确;因为-13≠13-3,所以AC与CD不共线,所以A,C,D三点不共线,故D不正确.故选B.
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(进群送往届全部资料)变式题 (1)A (2)14 [解析] (1)因为ke1+e2与e1+ke2共线且方向相反,所以有ke1+e2=m(e1+ke2),m<0,因为e1与e2是不共线的非零向量,所以k=m,1=km,m<0,解得k=m=-1.故选A.
(2)因为AD=2DB,所以AB=32AD,所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD,又C,P,D三点共线,所以m+34=1,解得m=14.