第10讲【圆锥曲线】计算技巧系列10讲——如何妙用同解方程？高考数学复习练习

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近段时间，小π遇到不少一道题目中出现两条甚至多条二次曲线的问题。解决这样的题目时，往往需要大量的计算，不仅费时费力，而且大量的计算往往会更容易出错。因此，这样的题目劝退了不少同学。但其实如果掌握了一些技巧，这样的题目做起来并不难。这一讲，小π就给大家介绍一下如何利用同解方程的方法解决这类多条二次曲线的问题。
【知识精讲】
一、什么是同解方程？
【同解方程】如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
注意：这里的解相同包括解的数域、根的重数。
这里给大家举个例子，与在实数域是同解方程，但在复数域不是同解方程；再比如与不是同解方程。
二、同解方程在解析几何中的应用
当题目中出现两条二次曲线（可以是椭圆、双曲线、抛物线抑或是圆，下面是二次曲线的统一方程）、，且两条曲线存在交点时，则过交点的直线（或）分别与这两条二次曲线联立得到的两个方程可能是同解方程。因此看到出现上述情况时可以考虑利用同解方程的方法。
注意：这里是可能是同解方程，因为这要具体看两条二次曲线交点的个数。当仅有一个交点时，过交点的直线可以与两条二次曲线分别交于不同的点，这时并不是同解方程。当有两个或三个以上的交点时，一定是同解方程，因为只要选择其中两点就可以确定一条直线。
当联立后的方程是同解方程时，比如
则这时两方程的系数对应成比例，即。
虽然上式看着不叫复杂，但这是基于二次曲线一般方程推导出来的，而在题目中往往是椭圆与圆、双曲线与圆、或是抛物线与圆等等，这是上式就会大大简化。
【典例精讲】
【例1】（2023年1月福建七市高三联考）双曲线的下焦点，过点的直线与交于、两点，若过、和点的圆的圆心在轴上，则直线的斜率是_______
【解析】
由题意得，则直线可设为。
过、和点的圆的圆心在轴上，则可设圆心，
所以圆方程为，化简得
联立直线与圆得：
联立直线与双曲线得：
由于方程与的解都是点、的横坐标，所以这两个方程是同解方程，因此，解得。
【点睛】此题中两个二次曲线分别是双曲线与圆，而且题中已告诉有两个交点、，因此过、的直线与两二次曲线联立得的两个方程必为同解方程。我们还可以看出在解题过程中并不用求出点、的具体坐标以及圆心坐标，大大简化了计算。
【提升训练】
【例2】经过点且不过原点的直线与抛物线交于、两点，为焦点，设直线 ，的斜率分别为,，问：是否存在定点，使得为定值.
【解析】
由题意得，设、、
直线与抛物线交于、两点，则可设：
代入得：……①
，
假设存在定点，使得为定值，并记为
则，即
转化为……②
将①式两边平方得：……③
则式②③为同解方程，则，解得
若时，，不存在，所以或
所以存在定点或，使得为定值1.
【例3】双曲线经过点，且渐近线方程为.
（1）求的值:
（2）点、、是双曲线 上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经
过原点，求证:直线 与圆相切
【解析】
因为、两点关于轴对称，且的外接圆经过原点，所以圆方程可设为。
设直线为，
联立直线与圆得：
联立直线与双曲线得：
由于方程与的解都是点、的横坐标，所以这两个方程是同解方程，因此，解得
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【点睛】此题中两个二次曲线分别是双曲线与圆，而且题中已提示利用直线，所以考虑直线与两二次曲线联立得的两个方程为同解方程。至于为什么设直线方程为，而不是，一方面因为考虑到直线与圆联立时，这样设直线，计算量大了一点，而另一方面是因为这样设直线，最后利用同解方程时，不容易得出与的关系。