第9讲【圆锥曲线】计算技巧系列10讲——圆锥曲线系方程如何巧用？高考数学复习练习

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应用曲线系方程解题，即引入适当的参数先设出符合部分条件的曲线系方程，然后根据题中的其他条件，通过推理，运算求出曲线系方程中的参数值，从而实现问题的解决.运用曲线系方程往往可以回避联立解方程组、求交点坐标等带来的麻烦，既减少了计算量，又体现了参数变化、整体处理、待定系数法等重要的数学思想方法。当然，由于曲线系方程的多样化、所给问题条件的隐蔽性，应用曲线系方程解题虽然减少了运算量，但对技巧的要求颇高，在高中数学竞赛中运用较为广泛，本文对各类圆雉曲线系方程进行归纳总结.
【知识精讲】
曲线系方法是优化圆锥曲线运算的一种重要方法，它本质上是对圆锥曲线的一种更深层的认识.
一．基本原理
【定理1】给定五个点，其中任何三个点都不共线，则过这五个点有且仅有一条圆锥曲线. 进一步可得：由组成的曲线：.
【定理2】圆锥曲线上的四点共圆问题：
设圆锥曲线方程为，
则存在四点共圆的情况必为，
由于没有的项，必有.
【定理2】即是四点共圆的充要条件：
设两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.
【证明】由组成的曲线即
所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式不同时为0)：
③
必要性.若四个交点共圆，则存在使方程③表示圆，
所以式③左边的展开式中含项的系数.
而(否则③表示曲线，不表示圆)，所以.
充分性.当时，式③左边的展开式中不含的项，选时，再令式③左边的展开式中含项的系数相等，即，得.
此时曲线③即 ④的形式，
这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.
二．结论归纳
圆锥曲线系方程:
(1)共顶点圆锥曲线系方程为参数).
(2)共渐近线双曲线系方程为参数,.
(3)共焦点圆锥曲线系方程:为焦半径,为参数).
当时,表示共焦点椭圆系;当一时,表示共焦点双曲线系;当时,无轨迹.
(4)共离心率圆锥曲线系方程为参数,).
(5)过两圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系:
若是有4个交点的二次曲线,则
是过的交点的圆雉曲线系,其中不包括为参数).
(6)过两条直线与圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系:
若与圆锥曲线有4个交点,
则方程为过4个交点的圆锥曲线系方程.
【真题精讲】
例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解析】
（1）（曲线系）点处的切线方程为，
设直线的方程为，的方程为，的方程，
则过这四条直线交点的二次曲线方程为.
又因为双曲线过这些交点，比较的系数得.
又由，所以.
（2）不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,βα<β，因为kAP+kBP=0，所以α+β=π，
因为tan∠PAQ=22，所以tanβ-α=22，即tan2α=-22，
即2tan2α-tanα-2=0，解得tanα=2，
于是，直线PA:y=2x-2+1，直线PB:y=-2x-2+1，
联立y=2x-2+1x22-y2=1可得，32x2+21-22x+10-42=0，
因为方程有一个根为2，所以xP=10-423，yP= 42-53，
同理可得，xQ=10+423，yQ= -42-53．
所以PQ:x+y-53=0，PQ=163，点A到直线PQ的距离d=2+1-532=223，
故△PAQ的面积为12×163×223=1629．
例2．（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【解析】
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，直线的方程为,
则二次曲线．又由，
得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：，
整理可得：，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
例3.（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】
（2）设，则，
将写成双直线二次曲线:，
因为是双直线二次曲线与椭圆的交点,联立方程:，
考虑到是已知的，且纵坐标均为，则联立后的方程必有因式
于是将①式按整理得:
由①:，代入得:，
由于交点满足联立后的方程，且纵坐标不为，（关注微信公众号：Hi数学派）
于是满足方程，即直线的方程为: ，
按整理得，令得定点.
例4．（2020山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【解析】
（2）A点处的切线方程为，即．
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程．
由题意得．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．
用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．
即．
对比项、x项及y项系数得，
将①代入②③，消去并化简得，即．
故直线的方程为，直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．
经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
【典例精讲】
(1)求渐近线方程为,焦点为椭圆的一对顶点的双曲线的方程；
(2)求与双曲线有共同的渐近线,且与直线相切的标准双曲线方程.
【分析】当已知双曲线的渐近线方程为或)时,可设双曲线的方程为或(其中为不等于零的待定常数,以简化运算过程,这里方程且)称之为与双曲线共渐近线的双曲线系,为解题带来方便.
【解析】
依题意,可设双曲线的方程为是正实数),
当双曲线的焦点为椭圆的长轴的顶点,即与时,
由,可得,
双曲线的方程为;
当双曲线的焦点为椭圆的短轴的顶点,即与时,
双曲线的方程为是正实数),即.
双曲线的方程为（关注微信公众号：Hi数学派）
(2)【解法1】(利用共渐近线双曲线系方程结合判别式法)
设所求双曲线的方程为,
此双曲线与直线相切,且显然其渐近线都不平行于直线
∴由方程组消去,得,其判别式
,解得.
故所求双曲线的标准方程为,即.
【解法2】(利用共渐近线双曲线系方程结合待定系数法)
设所有双曲线的方程为,即,
设其与直线相切的切点为,
则切线方程为有.
代人双曲线方程中并化简得,
故所求双曲线的标准方程为.
【解法3】(利用共渐近线双曲线系方程结合双曲线参数方程解)
设所求双曲线方程为,双曲线上一点的坐标为,,
以此点为切点的双曲线的切线方程为
化简得.
它和直线重合,,即,
由等比定理得,即,
代人原双曲线方程得,此即为所求.
讨论方程所表示的曲线.
【分析】观察方程可以发现其中心在原点,是有心曲线,对称轴为坐标轴,若,则方程表示椭圆系,若
方程表示则曲线系,.所有的曲线焦点相同,因此,原方程表示中心在原点,对称轴为坐标轴,有相同焦点的圆锥曲线系.
【解析】
由所给方程知且,原方程可化为
它表示中心在原点,对称轴为两坐标轴的有心圆锥曲线系.
(1)当时,它的曲线是椭圆.
焦点为和
(2)当时,它的曲线是双曲线.
焦点为和
(3)当时,,方程无实数解,故方程无轨迹.
因此,原方程表示的是具有同一中心,相同对称轴、相同焦点的有心圆锥曲线系.
已知圆和双曲线,求通过它们的4个交点和点的二次曲线方程.
【分析】
构造过圆与双曲线4个交点的圆锥曲线系,而圆锥曲线系过点,2),可待定参数的值,从而大大减少运算量.
【解析】
圆方程和双曲线方程可分别写成,将其中第二个方程乘以任意实数,然后与第一个方程相加,得
圆和双曲线的任一交点的坐标同时满足圆方程和双曲线的方程,因而使式左边两个括号里面代数式的值同时为0,所以这些交点都在①式表示的二次曲线上.（关注微信公众号：Hi数学派）
将点的坐标代入(1)式,得
将所得值代入(1)式,得
化简得,即
所得的曲线是一个椭圆,它的中心是点,焦点在轴上,长半轴和短半轴分别是和(如图所示)．
一条圆锥曲线过点,切直线于点,切直线于点,求它的方程.
【分析】由于圆锥曲线的形态不清楚,无法直接求解,只能通过圆锥曲线系来解,如何列出符合条件的圆锥曲线系是关键.
【解析】
过点的直线方甶为,①
由于都是切点,直线(1)可以看作是两条重合的直线(退化了的曲线),
于是所求方程可写成.②
再由曲线过点,代人(2)式,解得.
故所求方程为.
(1)(蝴蝶定理)过圆弦的中点,任意作两弦和和交弦于,求证:;
(2)是圆的一条定弦,为上的定点,过点作圆的两条弦和,弦和交于点,弦与交于点求证:
【分析】运用曲线系方程证明蝴蝶定理及其推广比用平面几何知识证明要简便许多.
【证明】
(1)如图所示,以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,设圆方程为
设直线的方程分别为.将它们合并为,
于是过点的曲线系方程为
令,得,即过点的曲线系与交于点的横坐标是方程的两个根.
由韦达定理得,即是的中点,故
(2)如图所示,以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,设圆的方程为
则直线合成的二次曲线方程为
从而,经过这4点的曲线系方程为（关注微信公众号：Hi数学派）
0
存在,使得(1)为直线合成的二次曲线.
在①中,令,则是方程的两个根.
由韦达定理得.
在(1)中,令,则是方侱的两个根.
由韦达定理得,
【提升训练】
1 . 已知任意二次曲线是曲线的弦,是的中点,过点任意作弦、,过点另作一条任意二次曲线,如果曲线与直线交于点、,求证:
【分析】
上例5.介绍了平面几何蝴蝶定理的证明和应用,本例是平面几何蝴蝶定理的推广,从圆一步飞跃到任意的二次曲线,联结圆上4点的两直线和也直接换成一般的二次曲线,从蝴蝶定理的特殊图形里看到一般的二次曲线系,升级换代、一次到位,不是拾级而上,而是直上高楼,美景无限.观察如图所示图形,里面是否隐藏着一只飞舞的蝴蝶?
【证明】
如图所示,取直线为轴,为原点,方向为轴的正方向建立直角坐标系.
设,则点的坐标为,点的坐标为.
二次曲线通过点,
在曲线的方程中,当时,应有.因而二次曲线的方程形如：
又：弦者通过原点,且与直线相交(因而都不是轴).
可设它们的方程分别为
这一对直线和合在一起,可以看成一条退化二次曲线.
其方程为.(2)
曲线(1)和(2)相交于点,利用曲线系知识,通过的二次曲线系的方程为,(3)
若曲线(3)中的一条二次曲线交轴于点和点,
则在(3)式中以代人,得,(4)
和应该是所得二次方程(4)的两个实数根,由二次方程根与系数的关系,得,即.
2 . (1)4条直线围成一个四边形,问取何值时,该四边形有一个外接圆,并求出外接圆的方程;
（2)已知椭圆与双曲线有4个交点,求证:此4个交点共圆,并求出此圆的中心坐标.
【分析】第(1)问,用直线方程交,点构成的二次其线系方程求解;第(2)问,用过两圆锥曲线交点的二次曲线系方程求解或证明.
【解析】
（1）设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为
(2)【证明】
设过和交点的曲线系方程为(不包括,
即（关注微信公众号：Hi数学派）
显然,当,即时,曲线系方程表示一个过和交点的圆.
将代人曲线系方程化简得:,
即椭圆与双曲线的4个交点共圆。不难得到此圆的中心坐标即圆心坐标为.
3 . 求过这5点的二次曲线方程.
【分析】写出过其中4点的二次曲线系,用第5点的坐标代入确定参数的值.
【解析】
过的直线方程为,过的直线方程为,两者合并为.
直线的方程为,直线的方程为,两者合并为
因此,过这4点的二次曲线系方程为.
所求二次曲线必须经过点.
代人解得,从而所求二次曲线方程为.
即.
4 . 已知点为椭圆上异于点的任意两点,且若点在线段上的射影为,求点的轨迹方程.
【分析】在运用曲线手方程解题时,曲线系方程中包含着一些特殊情况,如本题中设出经过三,点的曲线系,其中包含椭圆在点处的切线和直线,这点务必请注意到.
【解析】
易知直线的斜率均存在且不为0,
设
则经过点的曲线系方程为(1)
即,其中包含过点的椭圆的切线.
方程左边多项式中必含有因子,把代人(1)式
得,而不恒等于0,故,即
此时
直线的方程为,即恒过定点
如图所示,由知,点的轨迹是以线段为直径的圆(除去点).
,即,
其方程为,即.
5 . 求与抛物线相切于点两点,且过点的圆锥曲线方程.
【解析】【解法一】
设过两点的切线方程为,则,
化简得.
则过两切点的圆锥曲线系为,
又曲线过点.
代人圆锥曲线系方程可得所求圆锥曲线方程为
【解法二】（关注微信公众号：Hi数学派）
过点两切点的直线方程为.
则过两点的曲线系为,
把点代人,得,故求得圆锥曲线方程
.
6 .设是双曲线上两点,是线段的中点,线段的垂直平分线交双曲线于两点.
(1)确定实数的取值范围;
(2)试判断点是否共圆?说明理由.
【解析】设,则.
两式相减,得.
由得
,即.
,即,代人,得.
由,得,
又,即,代人,得,
由,得,
综上,的取值范围为.
(2)由(1)知,,所以经过点的曲线系方程为
即.(1)
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又当时,是单调递增函数,,即,
可得.
将代入(1),得，
均在以为圆心,为半径的圆上.