新高考数学一轮复习课时讲练 第9章 第10讲　圆锥曲线的综合问题 (含解析)

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第10讲　圆锥曲线的综合问题


　　　　　　圆锥曲线中的定点、定值问题
(2020·杭州七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(1，0)的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得·为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．
【解】　(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝相切，
所以，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
⇒(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则Δ＞0，，
若存在定点N(m，0)满足条件，
则有·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝x1x2＋m2－m(x1＋x2)＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2－(m＋k2)(x1＋x2)＋k2＋m2
＝－＋k2＋m2
＝.
如果要使上式为定值，则必须有＝⇒m＝，验证当直线l斜率不存在时，也符合．
故存在点N满足·＝－.

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．　
　(2020·杭州、宁波二市三校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点M(m，2)，其焦点为F′，且|MF′|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x－1)2＋y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点．
解：(1)抛物线C的准线方程为x＝－，
所以|MF′|＝m＋＝2，又4＝2pm，即4＝2p，
所以p2－4p＋4＝0，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设点E(0，t)(t≠0)，由已知切线不为y轴，设直线EA：y＝kx＋t，联立，消去y，可得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，①
因为直线EA与抛物线C相切，所以Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即kt＝1，代入①可得x2－2x＋t2＝0，所以x＝t2，即A(t2，2t)．
设切点B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y＝－tx＋t对称，则
，解得，
即B.
直线AF的斜率为kAF＝(t≠±1)，
直线BF的斜率为kBF＝＝(t≠±1)，
所以kAF＝kBF，即A，B，F三点共线．
当t＝±1时，A(1，±2)，B(1，±1)，此时A，B，F三点共线．
所以直线AB过定点F(1，0)．

　　　　　　圆锥曲线中的范围、最值问题(高频考点)
圆锥曲线中的范围(最值)问题是高考命题的热点，多以解答题的第二问呈现，试题难度较大．主要命题角度有：
(1)建立目标函数求范围、最值；
(2)利用基本不等式求最值；
(3)利用判别式构造不等关系求范围．
角度一　建立目标函数求范围、最值
如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

【解】　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－b>0)，
c2＝a2－b2(c>0)，所以离心率e＝＝，即a＝2c.
令点A的坐标为(x0，y0)，所以＋＝1，
焦点F1(－c，0)，即|AF1|＝
＝
＝＝|x0＋a|，
因为x0∈[－a，a]，所以当x0＝－a时，|AF1|min＝a－c，
由题a－c＝1，结合上述可知a＝2，c＝1，所以b2＝3，
于是椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1，0)，直线AB不能平行于x轴，所以令直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
连接OA，OB，
若▱ABCD是菱形，则OA⊥OB，即·＝0，于是有x1x2＋y1y2＝0，
又x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1，所以有(m2＋1)y1y2－m(y1＋y2)＋1＝0，得到＝0，可见m没有实数解，
故▱ABCD不能是菱形．
2．(2020·金华十校第二期调研)已知抛物线C：y＝x2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.
(1)若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；
(2)求|AB|的最小值．
解：(1)设直线AB的方程：
y＝x＋m，则＝1，
所以m＝0或m＝4，所以直线AB的方程为y＝x或y＝x＋4.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，则＝1，所以k2＋1＝(m－2)2.
由，得x2－kx－m＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－m，所以|AB|2＝[－4x1x2]＝＝，记f(m)＝(m2＋3)，所以f′(m)＝2(m－2)(2m2－2m＋3)，又k2＋1＝≥1，所以m≤1或m≥3，
当m∈时，f′(m)＜0，f(m)单调递减，
当m∈时，f′(m)＞0，f(m)单调递增，
f(m)min＝f(1)＝4，所以|AB|min＝2.
3．(2020·宁波市高考模拟)已知椭圆方程为＋y2＝1，圆C：(x－1)2＋y2＝r2.
(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；
(2)如图，直线l与椭圆相交于A，B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围．

解：(1)设P(x，y)，|PC|＝＝＝，由－2≤x≤2，当x＝时，|PC|min＝.
(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0),
由，整理得＝－×，
则kAB＝－，kMC＝，kMC×kAB＝－1，
则kMC×kAB＝－×＝－1，解得x0＝，
由M在椭圆内部，则＋y＜1，解得y＜，
由r2＝(x0－1)2＋y＝＋y，
所以＜r2＜，解得＜r＜.
所以半径r的取值范围为(，) .
4.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解：(1)由题意知m≠0，
可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得
x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①
将线段AB的中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②
由①②得m.
(2)令t＝∈∪，
则|AB|＝·，
且O到直线AB的距离d＝ .
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝|AB|·d＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
5．(2020·湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.
所以a＝2，b＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
因为直线l过点B，
所以x＝1是方程(*)的一个根．
由根与系数的关系，得xP＝，从而yP＝，
所以点P的坐标为.
同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
所以＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
因为AP⊥AQ，所以·＝0，
即[k－4(k＋2)]＝0.
因为k≠0，所以k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意．
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
6.(2020·学军中学高三模拟)已知椭圆＋y2＝1(a＞1)，过直线l：x＝2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±.
(1)求椭圆的方程；
(2)设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．
解：(1)当P点在x轴上时，P(2，0)，PA：y＝±(x－2)，⇒(＋)x2－2x＋1＝0，
Δ＝0⇒a2＝2，椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设切线为y＝kx＋m，设P(2，y0)，A(x1，y1)，
则⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0⇒Δ＝0⇒m2＝2k2＋1，
且x1＝，y1＝，y0＝2k＋m，
则|PO|＝，PO的直线为y＝x⇒A到直线PO距离d＝，
则S△POA＝|PO|·d＝|y0x1－2y1|
＝|(2k＋m)－|
＝|m|＝|k＋m|＝|k＋|，
所以(S－k)2＝1＋2k2⇒k2＋2Sk－S2＋1＝0，
Δ＝8S2－4≥0⇒S≥，此时k＝±，所以△POA面积的最小值为.
[综合题组练]
1．(2020·浙江高考冲刺卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，点F，B分别是椭圆的右焦点与上顶点，O为坐标原点，记△OBF的周长与面积分别为C和S.
(1)求的最小值；
(2)如图，过点F的直线l交椭圆于P，Q两点，过点F作l的垂线，交直线x＝3b于点R，当取最小值时，求的最小值．

解：(1)△OBF的周长C＝＋b＋c.△OBF的面积S＝bc.
＝＝≥·＝2＋2，
当且仅当b＝c时，的最小值为2＋2.
(2)由(1)得当且仅当b＝c时，的最小值为2＋2.
此时椭圆方程可化为＋ ＝1.
依题意可得过点F的直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为x＝my＋c.
联立，整理得(2＋m2)y2＋2mcy－c2＝0.
y1＋y2＝，y1y2＝，
|PQ|＝＝×＝2c×.
当m＝0时，PQ垂直横轴，FR与横轴重合，此时|PQ|＝c，|FR|＝3b－c＝2c，＝＝.
当m≠0时，设直线FR：y＝－m(x－c)，令x＝3c得R(3c，－2mc)，|FR|＝2c，
＝2c×＝
＝(＋)＞×2＝，
综上所述：当且仅当m＝0时，取最小值为.
2．(2020·杭州市第一次高考数学检测)设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB＝1.若＝λ(λ＞0)．
(1)求点C的轨迹Γ；
(2)过点D作轨迹Γ的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Γ于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得＋＝恒成立，并说明理由．
解：(1)设A(a，0)，B(0，c)，C(x，y)，则＝(a，－c)，＝(x－a，y)．由AB＝1得a2＋c2＝1，
所以，消去a，c，得
点C的轨迹Γ为＋＝1.
(2)设点E，F，K的横坐标分别为xE，xF，xK，
设点D(s，t)，则直线PQ的方程为x＋y＝1.
设直线m的方程：y＝kx＋b，所以t＝ks＋b.
计算得xK＝.
将直线m代入椭圆方程，得x2＋x＋－1＝0，
所以xE＋xF＝，
xExF＝，
所以＋＝＋
＝·
＝2.
验证当m的斜率不存在时成立．
故存在实数t＝2，使得＋＝恒成立．