2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期中试题及答案，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A. x2﹣2x+5＝0B. x2﹣2x﹣5＝0C. x2+2x﹣5＝0D. x2+2x+5＝0
【答案】B
【解析】
【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．
【详解】解：（x-1）2=6，
x2-2x+1-6=0，
x2-2x-5=0，
即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x2-2x-5=0，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）．
2. 某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别按40%、60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为（ ）
A. 86分B. 87分C. 88分D. 89分
【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．
【详解】解：他的数学学期总成绩为分，
故选：C．
【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．
3. 如图，为⊙O的直径，弦，垂足为，，，则⊙O半径为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由垂径定理得，设，再根据勾股定理列出方程，求解即可．
【详解】解：连接，∵为⊙O的直径，弦，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴⊙O半径为5．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形．
4. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
5. 三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据面积关系：，其中、是两直角边，是斜边，是直角三角形内切圆的半径，由此关系即可求得内切圆的半径．
【详解】设三角形内切圆的半径为，由于，所以此三角形是直角三角形，
则有：
解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查了求三角形的内切圆半径，勾股定理的逆定理，利用面积关系是关键．
6. 关于x的一元二次方程一个实数根为2022，则方程一定有实数根（ ）
A. 2022B. C. −2022D. −
【答案】D
【解析】
【分析】将2022代入方程得，两边同时除以得 ：，即，
所以一定有实数根．
【详解】解：∵2022是一元二次方程一个实数根，
∴，
两边同时除以得 ：，即：，
∴一定有实数根．
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，得到．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置）
7. 方程的解为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】由方程，移项得，对方程左边因式分解得，可得
或，分别解出即可．
【详解】解：移项得：，
即，
∴或，
∴或.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，用合理的方法解一元二次方程是解此题的关键．
8. 下表中24位营销人员某月销量的中位数是______件．
【答案】350
【解析】
【分析】根据中位数的概念求解即可．
【详解】解：由题可知，表中的数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的是350和350，
因而中位数是，
故答案为：350．
【点睛】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
9. 2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为，则______ （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】>
【解析】
【分析】根据气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温波动要小，由方差的意义可知，波动越小，数据越稳定，即方差越小．
【详解】观察气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温比较稳定，波动越小，故最低气温的方差小，
∴,
故答案为：>．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据不稳定，反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10. 一元二次方程的两根为，若，则____________，____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解题：．
【详解】解：一元二次方程的两根为，
则
解得，
故答案为：；．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥侧面展开图弧长=底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：底面半径为2，则底面周长=4π，侧面展开图是半圆，则母线长=4π×2÷2π=4，
∴圆锥的侧面积=×4π×4=8π．
故答案为：8π．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键．
12. 如图，半圆O的直径cm，B、C是半圆上的两点，且，则的长度为______cm．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，由，得，根据，所以，根据弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解∶如图，连接，
，
，
，
，
，
的长度为，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟记弧长公式和正确求出是关键．
13. 如图，正九边形的对角线AF、CH相交于点P，则∠CPF＝______°．
【答案】100
【解析】
【分析】先求出正九边形的单个内角度数、五边形的内角和度数，再通过四边形的内角和计算即可；
【详解】解：正九边形的单个内角度数为：；
五边形的内角和度数为：；
∴，
同理可得，，
∴，
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查多边关系的内角和应用，掌握多边形内角和计算公式并正确计算是解题的关键．
14. 已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】锐角
【解析】
【分析】根据题意得到，然后求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根
∴
∴
∴
解得，
∴是锐角三角形．
故答案为：锐角．
【点睛】此题考查了一元二次方程根判别式和三角形的分类，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式．
15. 某农场的粮食产量在两年内从增加到，且第一年的增长率是第二年的两倍．如果设第二年的增长率为x，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设第二年的增长率为x，则第一年的增长率为，根据“粮食产量在两年内从增加到，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设第二年的增长率为x，则第一年的增长率为，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P在AB边上运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥PC，交射线CA于点Q，则线段CQ长度的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】取的中点O，连接，由直角三角形的性质得，则当时，最小，从而最小；利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】取的中点O，连接，如图．
∵，
∴，
则当时，最小，从而最小；
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
解得：，
则；
即最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，构造直角三角形斜边上中线并由线段最短转化为中线最短是本题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）先化简方程，再根据因式分解法解一元二次方程即可；
【小问1详解】
解：
，
∴．
【小问2详解】
解：
或
∴．
【点睛】本题主要考查配方法、因式分解法解一元二次方程，掌握相关求解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛，在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如下（单位：cm）：
（1）已知甲运动员的平均成绩是599cm，求乙运动员的平均成绩；
（2）从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩．
【答案】（1）乙运动员的平均成绩是601cm；
（2）从中位数方面来看，乙运动员的成绩较好，从平均数方面分析，也是乙运动员的成绩较好．
【解析】
【分析】（1）根据平均数的计算公式进行解答即可；
（2）从中位数和平均数两方面分析，即可得出乙运动员的跳远成绩好．
【小问1详解】
乙运动员的平均成绩：
答：乙运动员的平均成绩是601cm；
【小问2详解】
把甲运动员的成绩按从小到大的顺序重新排列：585，595，596，609，610，
∴甲运动员的成绩的中位数为596，
把乙运动员的成绩按从小到大的顺序重新排列：580，585，603，613，624，
∴乙运动员的成绩的中位数为603，
∴从中位数方面来看，乙运动员的成绩较好，从平均数方面分析，也是乙运动员的成绩较好．
【点睛】本题考查平均数、中位数的意义，平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据按从小到大的顺序重新排列，最中间的那个数（或者最中间的两个数的平均数）是这组数据的中位数．
19. 把一根长的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于．应该怎样剪？
【答案】一段长，一段长为
【解析】
【分析】设剪成的两段一段长为，则另一段为，由题意可得每个正方形的边长，则由面积关系建立方程，解方程即可．
【详解】设剪成的两段一段长为，围成的正方形的边长为，则另一段为，围成的正方形的边长为，
由题意得：，
解方程得：，，
即剪成一段长，一段长为的两段即可．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系并表示出两个正方形的边长是关键．
20. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆弦、分别与小圆分别相切于点D、E．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接、、，根据切线及垂径定理性质得出，再由勾股定理得出，最后利用等边对等角即可证明．
【详解】证明：连接、，，如图，
∵大圆弦、分别与小圆分别相切于点D、E，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查切线及垂径定理的性质，勾股定理解三角形，等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
21. 某剧院举办文艺演出.经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票收入达到36750元，则票价应定为多少元？
【答案】票价应定为35元.
【解析】
【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程解题．
【详解】设票价应定为元，依题意得：

解之得x1=x2=35
答：票价应定为35元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程式解题的关键.
22. 求证：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形内接于．求证：
证明：作直径．连接．
所以．
因为．（ ① ）
所以．
同理．
（1）证明过程中依据①是 ；
（2）请给出另一种证明方法．
【答案】（1）同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，再根据四边形的内角和等于 ，可得，即可．
【小问1详解】
解：证明过程中依据①是同圆中，同弧所对的圆周角相等；
故答案为：同圆中，同弧所对的圆周角相等
【小问2详解】
证明：如图，连接，
∵，且，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角、四边形内角和等于是解题的关键．
23. 如图，是⊙O的直径，点在⊙O上， ，垂足为，且，分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）求证：是的中点．
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理及垂直的定义得到，，进而求证；
（2）由，，所以，，再根据，得出，所以，即可得出．
【小问1详解】
解：∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中点．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径所对的圆周角是直角．
24. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值．
【答案】（1）见详解 （2）或
【解析】
【分析】（1）根据即可证明；
（2）根据公式法即可得，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解；
【小问1详解】
解：根据题意，，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根.
【小问2详解】
由题意，根据公式法得，，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
25. 如图，已知点在边上，且，以为直径的与相切，与相交于点．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的性质得到平分，所以，再根据切线的性质得到，则利用等角的余角相等得到，从而得到；
（2）连接，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，接着利用勾股定理计算出，所以，然后在中利用勾股定理可计算出．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
为直径，
，
，
，
平分，
即，
以为直径的与相切，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
连接，如图，
，，
，，
，
为直径，
，
，
，
，
，
在中，
．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．
26. 用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图，点P为⊙O内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕（保留痕迹，给出必要的文字说明）．
（1）折叠后圆弧经过点O、P；
（2）折叠后圆弧与过点P的直径相切，切点为P．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）连接OP，作线段OP垂直平分线交于点T，Q，连接OT，作线段OT的线段垂直平分线交于点E，F，以T为圆心作即可；
（2）连接PO，延长PO交⊙O于点K，作OF⊥PK交⊙O于点F，以OP，PF为邻边作矩形POO′F，以O′为圆心，OF为半径作弧交⊙O于M，N．作直线MN即可．
【小问1详解】
如图①所示，折痕TQ，即为所求．
【小问2详解】
如图②所示，折痕RJ，即为所求．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，垂径定理，切线的判定和性质等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
27. 【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（−b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程两个实数根．
【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（−b−m）2，AB2＝（1−c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，所以12+m2+c2+（−b−m）2＝（1−c）2+b2．化简得：m2+bm+c＝0，同理可得： ．所以m、n为方程的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（−b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）相切，理由见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决；
（2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点；
（3）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与x轴只有一个交点，即与x轴相切；
（4）仿照（1）过程即可求得．
【详解】（1）如图，连接，，由勾股定理得，，，，
在中，，
所以．
化简得：，
所以n为方程的一个实数根．
故答案为：．
（2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图所示；
（3）与x轴相切；理由如下：
由题意知，与x轴两个交点的横坐标为于方程的两个根，
，
∴方程有两个相等的实数根，
对应地，与x轴只有一个交点，即与x轴相切．
（4）如图，由勾股定理得，，，
在中，，
所以，
化简得：，
同理可得：．
所以m、n为方程的两个实数根．
故答案为：．
【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想．每人销售量/件
600
500
400
350
300
200
人数
1
4
4
6
7
2
甲
585
596
609
610
595
乙
580
603
613
585
624