浙江省绍兴市新昌县西郊中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省绍兴市新昌县西郊中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．4，5，10C．5，6，11D．8，7，14
3．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．80°
4．（3分）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（ ）
A．a＝﹣1，b＝0B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝2
5．（3分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cmB．12cmC．15cmD．17cm
6．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，则d为（ ）
A．8B．9C．12D．20
8．（3分）如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF（ ）
A．90°B．75°C．70°D．60°
9．（3分）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6，现将△ABC折叠，使点B点A重合，则BD的长为（ ）
A．7B．C．6D．
10．（3分）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB平移到△DEF的位置，当D恰好是AB中点时（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）．
13．（3分）已知△ABC的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，适当长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以点M，N为圆心MN的长为半径画弧，两弧交于点P，交边BC于点D，若CD＝3，则△ABD的面积是 ．
15．（3分）如图，在数轴上，点A，5，以AB为底，作腰长为6的等腰△ABC，以点D为圆心，CD长为半径画弧交数轴于点M ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点P为AC边上的动点，则PB+PD的最小值为 ．
三、解答题：共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B＝∠E，BF＝CE．
求证：AC＝DF．
18．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC
求证：DC∥AB．
19．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝4，CD＝13，求四边形ABCD的面积
20．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1；
（2）求三角形A1B1C1的面积．
21．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD．
求证：（1）BC＝AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面积．
23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝7秒时，求AP的长度；
（2）当△ACP为等腰直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
24．已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°．
（1）如图1，摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD．求线段AE与BD的数量关系（直接写出答案）
（2）如图2，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）；
（3）如图3，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
2023-2024学年浙江省绍兴市新昌县西郊中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）.
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．4，5，10C．5，6，11D．8，7，14
【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．
【解答】解：A、∵3+4＜4，
∴长度为3，4，7的三条线段不能构成三角形；
B、∵4+5＜10，
∴长度为6，5，10的三条线段不能构成三角形；
C、∵5+4＝11，
∴长度为5，6，11的三条线段不能构成三角形；
D∵5﹣7＜14＜8+6，
∴长度为8，7，14的三条线段能构成三角形；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．80°
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要分50°的角是顶角或底角两种情况分别进行求解．
【解答】解：（1）当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°；
（2）当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°；
所以这个等腰三角形的底角的度数是50°或65°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题时要注意分情况进行讨论．
4．（3分）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（ ）
A．a＝﹣1，b＝0B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝2
【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．
【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a3＝1，b2＝3，
则a2＜b2，
∴若a＞b，则a7＞b2”是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（3分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cmB．12cmC．15cmD．17cm
【分析】由△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，AB＝2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．
【解答】解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、E，AE＝3cm，
∴BD＝AD，AB＝2AE＝8cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【解答】解：∵|m﹣2|+＝6，
∴m﹣2＝0，n﹣3＝0，
解得m＝2，n＝5，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4；
当n＝4作腰时，三边为5，4，4，周长为：8+4+4＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，则d为（ ）
A．8B．9C．12D．20
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD3，d＝AD2．
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC6，
即a+d＝b+c，
∵a＝2，b+c＝10，
d＝10﹣2＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
8．（3分）如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF（ ）
A．90°B．75°C．70°D．60°
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
9．（3分）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6，现将△ABC折叠，使点B点A重合，则BD的长为（ ）
A．7B．C．6D．
【分析】由折叠的性质得出AD＝BD，设AD＝x，则CD＝8﹣x，可得出62+（8﹣x）2＝x2，可求x的值，则可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
∴AD＝BD，
设BD＝AD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD3＝AD2，
∴67+（8﹣x）2＝x5，
解得x＝．
∴BD＝，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
10．（3分）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB平移到△DEF的位置，当D恰好是AB中点时（ ）
A．B．2C．D．
【分析】连接EB，由等腰直角三角形的性质可求解AB，BD的长，结合平移的性质可得EB＝DB＝1，EB⊥DF，再利用勾股定理可求解．
【解答】解：连接EB，
∵AB＝＝2，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝1，
由平移可知：DF＝AB＝2，△DEF为等腰直角三角形，
∴BD＝DF＝1，
∴EB＝DB＝5，EB⊥DF，
在Rt△AEB中，AE＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，平移的性质，勾股定理，证明EB⊥DF是解题的关键．
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 面积相等的三角形全等 ．
【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等．
故答案为：面积相等的三角形全等．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，需添加的条件是 AB＝DC（答案不唯一） （不添加字母和辅助线）．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AB＝DC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ABC＝∠DCB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ACB＝∠DBC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
13．（3分）已知△ABC的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是 直角 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【分析】根据△ABC的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可以求得各个内角的度数，从而可以判断三角形的形状．
【解答】解：∵△ABC的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：7，
∴设∠A＝x，∠B＝2x，
∴x+2x+5x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，求出各个内角的度数，利用三角形的内角和解答．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，适当长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以点M，N为圆心MN的长为半径画弧，两弧交于点P，交边BC于点D，若CD＝3，则△ABD的面积是 18 ．
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到点D到AC和AB的距离相等，即点D到AB的距离为3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AC和AB的距离相等，
∵DC⊥AC，DC＝3，
∴点D到AB的距离为3，
∴△ABD的面积＝×12×3＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
15．（3分）如图，在数轴上，点A，5，以AB为底，作腰长为6的等腰△ABC，以点D为圆心，CD长为半径画弧交数轴于点M ．
【分析】首先求出AB＝4，再根据等腰三角形的性质得AD＝2，再利用勾股定理求出，进而得，然后再求出点点D所表示的数为3，再设设点M所表示的数为x，则，由此求出x即可得出答案．
【解答】解：∵在数轴上，点A，5，
∴AB＝5﹣6＝4，
∵△ABC为等腰三角形，且AB为底边，
∴AD＝BD＝2，
在Rt△ACD中，AD＝3，
由勾股定理得：，
∴，
∵AD＝2，点A所表示得数位8，
∴OD＝OA+AD＝1+2＝2，
∴点D所表示的数为：3，
设点M所表示的数为x，则，
∴，
∴点M表示的数是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，理解实数与数轴是解答此题的关键．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点P为AC边上的动点，则PB+PD的最小值为 ．
【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP＝B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，
过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，
点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，
连接AB′，根据对称性的性质，
BP＝B′P，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，
∴△ABC≌△AB′C（SAS），
∴S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，
即AB•B′D＝2×，
∴5B′D＝24，
∴B′D＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
三、解答题：共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B＝∠E，BF＝CE．
求证：AC＝DF．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC
求证：DC∥AB．
【分析】由条件可证△AOB≌△COD，可求得∠A＝∠C，则可证得DC∥AB．
【解答】证明：
在△ODC和△OBA中
∴△ODC≌△OBA （SAS）；
∴∠C＝∠A，
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
19．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝4，CD＝13，求四边形ABCD的面积
【分析】连接AC可得△ABC与△ACD均为直角三角形，进而可求解四边形的面积．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵CD＝13，DA＝12，
∴AC2+AD2＝CD4，
∴△ACD均为直角三角形，
∴S四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+×3×4+．
【点评】掌握勾股定理的运用，会用勾股定理逆定理求三角形是直角三角形．
20．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1；
（2）求三角形A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求；
；
（2）△A1B1C5的面积＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
21．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD．
求证：（1）BC＝AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC＝BD，AB＝BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC＝AD，
（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB＝∠DBA，从而证出OA＝OB，△OAB是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC＝AD，
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面积．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AD＝AB，根据线段垂直平分线的选择得到CE＝CD，于是得到结论．
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2AD＝10，由勾股定理得到BC＝＝8，由（1）知，CE＝CD＝AD＝5，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝AB，
∵CF⊥DE，DF＝EF．
∴CE＝CD，
∴AD＝CE．
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝5，
∴AB＝2AD＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝8，
由（1）知，CE＝CD＝AD＝6，
∴BE＝BC+EC＝13，
∴S△ABE＝BE•AC＝，
∵点D是AB的中点，
∴△BDE的面积＝S△ABE＝．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝7秒时，求AP的长度；
（2）当△ACP为等腰直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）根据条件求出PC＝16﹣t，在Rt△APC中，用勾股定理即可求出；
（2）当PC＝AC时，△ACP为等腰直角三角形，据此求解即可；
（3）分三种情况讨论：当AB＝AP时；当AB＝BP时；当PB＝AP时；分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：BP＝t，
∴PC＝16﹣t＝16﹣7＝9，
∵AC＝12，
在Rt△APC中，，
∴AP的长度为15；
（2）由题意得：BP＝t，则PC＝16﹣t，
∵△ACP为等腰直角三角形，且∠ACP＝90°，
∴|16﹣t|＝12，
即16﹣t＝12或16﹣t＝﹣12，
解得t＝4或t＝28，
∴t的值为4秒或28秒；
（3）在Rt△ABC中，AC＝12，
∴，
若AB＝AP，如图2，
 
则BP＝2BC＝32，即t＝32；
若AP＝BP，如图2，
 
则在Rt△ACP中，t8＝（16﹣t）2+122，
解得：t＝12.8；
若AB＝BP，如图3，
 
则t＝20；
∴当△ABP为等腰三角形时，t的值为32秒或12.5秒或20秒．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°．
（1）如图1，摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD．求线段AE与BD的数量关系（直接写出答案）
（2）如图2，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）；
（3）如图3，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
【分析】（1）延长AE交BD于F，根据△ACE≌△DCB，即可得出AE＝DB，∠CAE＝∠CDB，进而得到∠DFE＝90°，即AE⊥DB；
（2）根据△ACD和△BCE是等腰直角三角形，判定△ACE≌△DCB （SAS），即可得到AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，再延长AE交BD于点F，根据三角形内角和定理，得出∠DFA＝90°，即可得到AE⊥BD；
（3）连接BD，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）如图1，延长AE交BD于F，
根据等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，
可得AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，∠CAE＝∠CDB，
又∵∠ACE＝90°，∠AEC＝∠DEF，
∴∠DFE＝90°，
∴AF⊥DB，即AE⊥DB，
故线段AE 与BD的数量关系是AE＝BD AE⊥BD．
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论AE＝BD，AE⊥BD仍然成立．
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴AC＝CD，CE＝CB，
又∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠BCD+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△DCB 中，
，
∴△ACE≌△DCB （SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，
延长AE交BD于点F，交DC于点G，
在△ACG和△DFG中，
∵∠EAC＝∠BDC，∠AGC＝∠DGF，
∴∠DFG＝∠ACG＝90°，
即AE⊥BD；
（3）连接BD，如图3，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴AC＝CD，CE＝CB，
又∵∠ACE＝∠ACB+90°，∠BCD＝∠ACB+90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△DCB 中，
，
∴△ACE≌△DCB （SAS），
∴AE＝BD，
∵△BCE是等腰直角三角形，∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝45°，CE＝CB4+CB2＝BE2，
∴3CE2＝BE2，
∵AE3＝DE2+2CE6，
∴BD2＝DE2+BE2
∴∠BED＝90°
∴∠DEC＝∠BED﹣∠BEC＝45°
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及全等三角形，根据三角形内角和等于180°以及全等三角形的对应边相等进行推导．
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