沪科版八年级数学上册精品专练13.1三角形的三边关系和稳定性【十大题型】(学生版+解析)

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专题13.1 三角形的三边关系和稳定性【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc28370" 【题型1 三角形的识别与有关概念】  PAGEREF _Toc28370 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15486" 【题型2 三角形的分类】  PAGEREF _Toc15486 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5103" 【题型3 三角形个数的规律探究题】  PAGEREF _Toc5103 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8562" 【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】  PAGEREF _Toc8562 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32217" 【题型5 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】  PAGEREF _Toc32217 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22658" 【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】  PAGEREF _Toc22658 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc15574" 【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】  PAGEREF _Toc15574 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc10014" 【题型8 三角形的稳定性】  PAGEREF _Toc10014 \h 6【知识点1 三角形的概念】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【题型1 三角形的识别与有关概念】【例1】（2023春·山西·八年级校联考期末）一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（    ）A． B．C． D．【变式1-1】（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是(　　)A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形【变式1-2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，D，E分别是BC边上的点，连接BE，AD，相交于点F．(1)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(2)AB是哪些三角形的边?【变式1-3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；在△AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________．【知识点2 三角形的分类】按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形 【题型2 三角形的分类】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（    ）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ）A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个．【变式2-3】（2023·全国·八年级假期作业）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（   ）A． B． C． D．【题型3 三角形个数的规律探究题】【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    )A．6(n-1) B．6n C．6(n+1) D．12n【变式3-1】（2023春·八年级单元测试）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有___________对．【变式3-2】（2023春·八年级课时练习）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？（2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？（3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？【知识点3 三角形的三边关系】三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】【例4】（2023·江西上饶·八年级统考期末）已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n满足|n−9|+(m−5)2=0，则这个三角形最长边k的取值范围是________．【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．(1)20cm，15cm，8cm．(2)7cm，15cm，8cm．(3)5cm，15cm，8cm．【变式4-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知三角形三边分别为a、b、c，其中a、b满足a−b+b−3=0，那么c的取值范围是______．【变式4-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．【题型5 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】【例5】（2023春·山东威海·八年级校联考期中）等腰三角形的周长为20，一边长为8，则它的腰长为（    ）A．6 B．4 C．8或6 D．8或4【变式5-1】（2023春·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是 a和 2a＋1（a＞0），则它的周长为（    ）A．3a＋1 B．4a＋1 C．5a＋2 D．4a＋1 或 5a＋2【变式5-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）(多选题)已知等腰三角形的周长是12，且各边长都为整数，则各边的长可能是（    ）．A．2，2，8 B．5，5，2 C．4，4，4 D．3，3，5【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）若二元一次方程组x+2y=m+3x+y=2m的解x、y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为______．【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简a−2−a−1+a−8的结果为___________．【变式6-1】（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边，则化简a−b−c−b+a−c的结果是（　　）A．2b−2a B．2c−2a C．2b D．0【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知三角形三条边的长度为3，x，9，化简：|x﹣2|＋|x﹣13|＝____【变式6-3】（2023春·八年级单元测试）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足，(a−b)2+|b−c|=0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|b−c−a|+|a−b+c|−|a−b−c|【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】【例7】（2023春·八年级课时练习）如图，已知点O为△ABC内任意一点，证明：AB+AC+BC>OA+OB+OC．【变式7-1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，试判断2AD与△ABC的周长之间的大小关系，并加以证明．【变式7-2】（2023春·八年级统考课时练习）已知点O在△ABC内部，连接OA，OB，OC，说明：12(AB+AC+BC)2，5-5<2；且5+5+2=12；满足题意．C.4+4>4，4-4<4；且4+4+4=12；满足题意．D.3+3>5，3-3<5；但3+3+5≠12；排除．故选：BC．【点睛】本题主要考查了能够组成三角形三边之间的关系：两边之和大于大三边，两边之差小于第三边；注意结合题目条件“周长为12”．【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）若二元一次方程组x+2y=m+3x+y=2m的解x、y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为______．【答案】2【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判断即可．【详解】x+2y=m+3①x+y=2m②①-②得：y=3-m把y=3-m代入②，得x=3m-3故方程组的解为x=3m−3y=3−m 若x为腰，y为底，则2x+y=7即2(3m-3)+3-m=7解得：m=2此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件若y为腰，x为底，则2y+x=7即2(3-m)+3m-3=7解得：m=4此时x=9，y=-1，不合题意若x=y，即3m-3=3-m解得：m=32 此时腰为32，底为7−2×32=4但32+32<4，不符合构成三角形的条件故不合题意所以满足条件的m为2故答案为：2【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简a−2−a−1+a−8的结果为___________．【答案】7−a【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．【详解】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，∴5−30，再根据绝对值的性质进行化简计算．【详解】解：根据三角形的三边关系，得a−b−c<0，a+b−c>0，∴原式=c+b−a−b+a−c=c+b−a−b−a+c=2c−2a故选：B．【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知三角形三条边的长度为3，x，9，化简：|x﹣2|＋|x﹣13|＝____【答案】11【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．【详解】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，∴6＜x＜12，∴x﹣2＞0，x﹣13＜0，∴x−2+x−13＝x﹣2＋13﹣x＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查三角形的三边关系和绝对值的化简．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【变式6-3】（2023春·八年级单元测试）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足，(a−b)2+|b−c|=0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|b−c−a|+|a−b+c|−|a−b−c|【答案】（1）△ABC是等边三角形；（2）3a−3b+c【分析】（1）由性质可得a=b，b=c，故△ABC为等边三角形．（2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可．【详解】（1）∵(a−b)2+|b−c|=0∴(a−b)2=0且|b−c|=0∴a=b=c ∴△ABC是等边三角形．（2）∵a，b，c是△ABC的三边长∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式=|−(a+c−b)|+(a−b+c)−|−(b+c−a)|=a+c−b+a−b+c−b−c+a=3a−3b+c【点睛】本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键．【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】【例7】（2023春·八年级课时练习）如图，已知点O为△ABC内任意一点，证明：AB+AC+BC>OA+OB+OC．【答案】见解析【分析】延长BO交AC于点D，根据三角形三边关系进行求解即可；【详解】如图，延长BO交AC于点D．在△ABD中，AB+AD>BD，①在△ODC中，OD+CD>OC，②①+②，得AB+AD+OD+CD>BD+OC．∵BD=OB+OD，AD+CD=AC，∴AB+AC+OD>OB+OD+OC，∴AB+AC>OB+OC，③同理可证AB+BC>OA+OC，④ AC+BC>OA+OB，⑤③+④+⑤，得2(AB+AC+BC)>2(OA+OB+OC)，即AB+AC+BC>OA+OB+OC．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确理解是解题的关键．【变式7-1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，试判断2AD与△ABC的周长之间的大小关系，并加以证明．【答案】△ABC的周长>2AD，见解析【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案．【详解】证明：∵在△ABD中，AB+BD>AD，在△ACD中，AC+CD>AD，∴AB+BD+AC+CD>2AD，即AB+BC+AC>2AD，∴△ABC的周长>2AD【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键．【变式7-2】（2023春·八年级统考课时练习）已知点O在△ABC内部，连接OA，OB，OC，说明：12(AB+AC+BC)AB，①在△BOC中OC+OB>BC，②在△AOC中，OC+OA>AC，③①＋②＋③得2OA+OB+OC>AB+BC+AC．即OA+OB+OC>12(AB+BC+AC)．在△ADO中，OA＜AD+OD，在△BDC中，BD＜DC+BC，∴OA+BD＜AD+OD+DC+BC，即OA+BO+OD＜AC+OD+BC，∴OA+BO＜AC+BC ④同理：OC+OB