人教版八年级数学上册专项素养综合练(五)特殊的因式分解法课件

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专项素养综合练(五)特殊的因式分解法类型一　用换元法进行因式分解1.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.解:设x2-4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=(x2-4x+4)2.(1)该同学因式分解的结果是否彻底?　　　　    (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果:　　　　    .(2)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解.①(x2-2x)(x2-2x+2)+1. ②(x2-3)2-12(x2-3)+36.解析    (1)不彻底,分解结果是(x-2)4.(2)①设x2-2x=y,原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4.②设x2-3=z,原式=z2-12z+36=(z-6)2=(x2-3-6)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2.类型二　用十字相乘法进行因式分解2.(新考向·阅读理解试题)【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3.Ⅰ.二次项系数2=1×2.Ⅱ.常数项-3=-1×3=1×(-3),验算:“交叉相乘之和”. ①1×3+2×(-1)=1,②1×(-1)+2×3=5,③1×(-3)+2×1=-1,④1×1+2×(-3)=-5.Ⅲ.发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数-1,即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3,则2x2-x-3=(x+1)(2x-3).像这样分解因式的方法叫做十字相乘法.【迁移运用】仿照此方法,分解因式:(1)x2+6x-27.　　    (2)2x2+5x-7.解析    (1)如图1,所以x2+6x-27=(x+9)(x-3). (2)如图2,所以2x2+5x-7=(x-1)(2x+7).类型三　用分组分解法进行因式分解3.先阅读下面的内容,再解决问题.例题:若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.解:因为m2+2mn+2n2-6n+9=0,所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0.所以(m+n)2+(n-3)2=0.所以m+n=0,n-3=0.所以m=-3,n=3.(1)若x2+2xy+5y2+4y+1=0,求xy的值.(2)已知a,b,c是等腰△ABC的三边长,且a,b满足a2+b2=10a+8b-41,求△ABC的周长.解析    (1)∵x2+2xy+5y2+4y+1=0,∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1=0,∴(x+y)2+(2y+1)2=0,∴x+y=0,2y+1=0,∴x= ,y=- ,∴xy= × =- .(2)∵a2+b2=10a+8b-41,∴a2-10a+25+b2-8b+16=0,∴(a-5)2+(b-4)2=0,∴a-5=0,b-4=0,∴a=5,b=4,∵△ABC是等腰三角形,∴c=5或4,当c=5时,5,5,4符合三角形三边关系,∴△ABC的周长为5+5+4=14;当c=4时,5,4,4符合三角形三边关系,∴△ABC的周长为5+4+4=13.∴△ABC的周长为13或14.类型四　用添项、拆项法进行因式分解4.试求x、y各取何值时,4x2-12xy+10y2+4y+9的值最小,并求出此最小值.解析    4x2-12xy+10y2+4y+9=4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5=(2x-3y)2+(y+2)2+5,∵(2x-3y)2≥0,(y+2)2≥0,∴当2x-3y=0,y+2=0,即x=-3,y=-2时,4x2-12xy+10y2+4y+9有最小值,最小值为5.