江西省赣州市十校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案与解析）

这是一份江西省赣州市十校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案与解析），共24页。试卷主要包含了下列图形中，不是轴对称图形的是，给出三条线段等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．ABB．BDC．AED．BE
3．如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，下列结论正确的有（ ）
①∠EDF＝90°；②∠BAD＝∠CAD；③△BDE≌△DCF；④EF∥BC
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．不能确定
5．如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（ ）度．
A．60B．90C．100D．105
6．如图，已知∠A＝∠C，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，则可以添加的条件是（ ）
A．AB＝CBB．AD＝CD
C．∠ABD＝∠CBDD．以上都不行
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．
8．已知点M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）关于x轴对称，则a﹣b的值为 ．
9．如图，∠1＝∠2，加上条件 ，可以得到△ADB≌△ADC（SAS）．
10．给出三条线段：①a+1、a+2、a+3（a＞3）；②三边之比为2：3：4；③20cm、8cm、10cm；④3k、4k、5k（k＞0）．其中能组成三角形的有 （填序号）．
11．如图，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，点P坐标为（2，0），点M是⊙A上一动点，则PM+AM的最小值为 ．
12．如图，已知△ABC≌△DEF，且点B与点E对应，点C与点F对应，BE＝5，BF＝1，则CF＝ ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于点M．求证：AM＝2CD；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点 E．若AD＝3，则BE＝ ．
14．（6分）一个多边形除一个内角外其余各内角的和为2220°，求此内角的度数．
15．（6分）用三角尺分别画出下列图形的对称轴．
16．（6分）在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且CF＝CD．
（1）如图1，求证：∠AEF＝90°；
（2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作BH⊥AF交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．
17．（6分）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BC∥EF，求证：BC＝EF．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）有下列结论：
①BF＝AF；
②∠BAE＝∠CAE；
③S△ABF＝；
④∠C与∠CAD互余．
其中正确的是 （填序号）．
（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度数．
19．（8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC，用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 ，并证明你的结论．
20．（8分）如图，在正五边形ABCDE中，过点C作CD的垂线，与边AB交于点F，求证：AE+AF＝BE．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．
（1）你认为他是怎样做到的？
方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．
（2）你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？
①画出相应的图形．
②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？（结合图形写出）
③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．
22．（9分）在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，点D是CB延长线上一动点，点E在线段AC上，连接DE与AB交于点F．
（1）如图1，若∠EDC＝30°，EF＝4，求AF的长．
（2）如图2，若BD＝AE，求证：AF＝AC+BD．
（3）如图3，移动点D，使得点F是线段AB的中点时，DB＝，AB＝4，点P，Q分别是线段AC，BC上的动点，且AP＝CQ，连接DP，FQ，请直接写出DP+FQ的最小值．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）求下列图中x的值．
2022-2023学年江西省赣州市十校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．ABB．BDC．AED．BE
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：根据三角形的高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．
故选：C．
3．如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，下列结论正确的有（ ）
①∠EDF＝90°；②∠BAD＝∠CAD；③△BDE≌△DCF；④EF∥BC
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】由DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，证明，，可判断①符合题意；AD为△ABC的中线，可得BD＝CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，可判断②不符合题意；证明∠EBD＝∠CDF，可得△BDE≌△DCF，可判断③符合题意；△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，可判断④符合题意．
【解答】解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴，，
∴，故①符合题意；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，故②不符合题意；
∵BE⊥DE，CF⊥DF，
∴∠BED＝∠DFC＝90°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDE+∠CDF＝90°，
∴∠EBD＝∠CDF，
∵BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF，故③符合题意；
∴∠EDB＝∠FCD，ED＝FC，BE＝DF，
∴△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，
∴EF∥BC，故④符合题意．
综上：符合题意的有：①③④．
故选：B．
4．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．不能确定
【分析】作PQ′⊥OM于Q′，根据角平分线的定义得到∠POQ′＝30°，根据直角三角形的性质求出PQ′，根据垂线段最短解答．
【解答】解：作PQ′⊥OM于Q′，
∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ′＝30°，
∴PQ′＝OP＝2，
由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，
故选：A．
5．如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（ ）度．
A．60B．90C．100D．105
【分析】根据三角形的外角的性质（三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和）解决此题．
【解答】解：由题意得，∠E＝45°，∠C＝60°．
∴∠AFE＝∠E+∠C＝45°+60°＝105°．
故选：D．
6．如图，已知∠A＝∠C，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，则可以添加的条件是（ ）
A．AB＝CBB．AD＝CD
C．∠ABD＝∠CBDD．以上都不行
【分析】由已知∠A＝∠C，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了AS了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法AAS，所以可添∠ABD＝∠CBD或∠ADB＝∠CDB．
【解答】解：A、添加AB＝CB，不能判定△ABD≌△CBD，选项不符合题意；
B、添加AD＝CD，不能判定△ABD≌△CBD，选项不符合题意；
C、添加∠ABD＝∠CBD，可以根据AAS判定△ABD≌△CBD，选项符合题意；
D、C可以，不是以上都不行，选项不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 4 个．
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故答案为：4．
8．已知点M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）关于x轴对称，则a﹣b的值为 7 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵点M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣4，
∴a﹣b＝3+4＝7．
故答案为：7．
9．如图，∠1＝∠2，加上条件 AB＝AC ，可以得到△ADB≌△ADC（SAS）．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△ADC．
【解答】解：加上条件，AB＝AC，可以得到△ADB≌△ADC（SAS）．
在△ADB与△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
故答案为：AB＝AC．
10．给出三条线段：①a+1、a+2、a+3（a＞3）；②三边之比为2：3：4；③20cm、8cm、10cm；④3k、4k、5k（k＞0）．其中能组成三角形的有 ①②④ （填序号）．
【分析】①a+1+a+2＝2a+3＞a+3满足三角形三边关系，据此可判断①是否符合题意；
②可设三边长度为2k，3k，4k，其中k≠0，再利用三角形三边关系进行判断，同理判断③、④．
【解答】解：①因为a＞0，a+1+a+2＝2a+3＞a+3，能够组成三角形；
②设三边长度为2k，3k，4k，其中k≠0，2k+3k＞4k，能组成三角形；
③8+10＜20，不能组成三角形；
④4k+3k＞5k，能组成三角形．
故答案为：①②④．
11．如图，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，点P坐标为（2，0），点M是⊙A上一动点，则PM+AM的最小值为 3 ．
【分析】由题意可知当A，M，P三点共线时，PM+AM有最小值，连接AP交⊙A于点M，过点A作AE⊥x于点E，由勾股定理求出AP的长，则可得出答案．
【解答】解：点M是⊙A上一动点，当A，M，P三点共线时，PM+AM有最小值，
连接AP交⊙A于点M，过点A作AE⊥x于点E，
∵A点坐标为（﹣4，﹣3），点P坐标为（2，0），
∴AE＝3，EP＝OE+OP＝4+2＝6，
∴AP＝＝＝3．
∴PM+AM的最小值为3．
故答案为：3．
12．如图，已知△ABC≌△DEF，且点B与点E对应，点C与点F对应，BE＝5，BF＝1，则CF＝ 3 ．
【分析】根据全等三角形的性质证得BC＝EF，再根据线段的和差即可求得CF，
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且点B与点E对应，点C与点F对应，
∴BC＝EF，
∵BE＝5，BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝4，
∴BC＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣1＝3，
故答案为3．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于点M．求证：AM＝2CD；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点 E．若AD＝3，则BE＝ 1.5 ．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）延长BE、AC交于F点，首先利用三角形内角和计算出∠F＝∠ABF，进而得到AF＝AB，再根据等腰三角形的性质可得BE＝BF，然后证明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，进而得到BE＝AD．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC＝45°，BE⊥AC，
∴AE＝BE，∠EAM＝∠EBC，
在△AEM和△BEC中，，
∴△AEM≌△BEC（ASA），
∴AM＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BC＝2CD，
∴AM＝2CD；
（2）解：延长BE、AC交于F点，如图，
∵BE⊥EA，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴∠F＝∠ABE，
∴AF＝AB，
∵BE⊥EA，
∴BE＝EF＝BF，
∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠AFE＝（180﹣45）°÷2＝67.5°，∠FAE＝22.5°，
∴∠CDA＝67.5°，
∵在△ADC和△BFC中，，
∴△ADC≌△BFC（AAS），
∴BF＝AD，
∴BE＝AD＝1.5，
故答案为：1.5．
14．（6分）一个多边形除一个内角外其余各内角的和为2220°，求此内角的度数．
【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．
【解答】解：∵2220°÷180°＝12…60°，
∴该内角应是180°﹣60°＝120度．
15．（6分）用三角尺分别画出下列图形的对称轴．
【分析】①根据轴对称图形的性质作图；
②根据轴对称图形的性质作图；
③根据轴对称图形的性质作图；
④根据轴对称图形的性质作图．
【解答】解：图①、图②、图③、图④即为所求．
16．（6分）在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且CF＝CD．
（1）如图1，求证：∠AEF＝90°；
（2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作BH⊥AF交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．
【分析】（1）易证△ABE∽△ECF，可得∠BAE＝∠CEF；由于∠BAE+∠BEA＝90°，等量代换可得∠BEA+∠CEF＝90°，结论可得；
（2）易证△BEG≌△CEF，可得∠GE＝EF，由于AE⊥EF，可得AE为GF的垂直平分线，所以AG＝AF，△AGF为等腰三角形；易证△ABE≌△DCE，可得EA＝ED，△EAD为等腰三角形；由BH⊥AF可得∠MAH+∠AHM＝90°．由AD∥BC，可得∠AHM＝∠HBC，因为∠ABC＝90°，可得∠HBC+∠ABH＝90°，所以，∠ABH＝∠MAH．利用三角形的外角的性质可得∠ANH＝∠HAN，△ANH为等腰三角形；同理可得△BEN为等腰三角形．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD．
∵E是BC中点，
∴，EC＝BC＝CD．
∵CF＝CD，
∴．
∴．
∴△ABE∽△ECF．
∴∠BAE＝∠CEF．
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BEA+∠CEF＝90°．
∴∠AEF＝90°．
∠AEF（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GBE＝∠C＝90°，AB∥CD．
∴∠G＝∠CFE．
在△BEG和△CEF中，
．
∴△BEG≌△CEF（AAS）．
∴GE＝EF．
∵∠AEF＝90°，
∴AE是GF的垂直平分线．
∴AG＝AF．
∴△AGF为等腰三角形．
∴∠GAE＝∠FAE．
∵BH⊥AF，
∴∠MAH+∠AHM＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠AHM＝∠HBC．
∵∠ABC＝90°，
∴∠HBC+∠ABH＝90°．
∴∠ABH＝∠MAH．
∵∠ANH＝∠ABH+∠GAE，
∴∠ANH＝∠MAH+∠EAF＝∠NAH．
∴HA＝HN．
∴△HAN为等腰三角形．
∵AD∥BC，
∴∠HAN＝∠BEN．
∵∠ANH＝∠BNE，
∴∠BEN＝∠BNE．
∴△BEN为等腰三角形．
在△ABE和△DCE中，
．
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴EA＝ED．
∴△AED为等腰三角形．
综上，等腰三角形有：△AED，△BEN，△AHN，△AGF．
17．（6分）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BC∥EF，求证：BC＝EF．
【分析】根据全等三角形的判定与性质即可证明．
【解答】证明：∵BC∥EF．
∴∠F＝∠ACB，
在△AEC和△DBF中，
，
∴△AEC≌△DBF（AAS），
∴BC＝EF．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）有下列结论：
①BF＝AF；
②∠BAE＝∠CAE；
③S△ABF＝；
④∠C与∠CAD互余．
其中正确的是 ②③④ （填序号）．
（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据△的中线，高线，角平分线的定义依次进行判断即可；
（2）根据AD是△ABC的高线，可得∠ADE＝90°，进一步可得∠AED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠BAE的度数，再根据AE是△ABC的角平分线，可得∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠C的度数．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝FC，
故①选项不符合题意；
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
故②选项符合题意；
∵AF是△ABC的中线，
∴S△ABF＝S△ABC，
故③选项符合题意；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C与∠CAD互余，
故④选项符合题意；
故答案为：②③④；
（2）∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝16°，
∴∠AED＝90°﹣16°＝74°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝74°﹣30°＝44°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝88°，
∴∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝62°．
19．（8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC，用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 平行 ，并证明你的结论．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形，
（2）进而解答即可．
【解答】（1）如图所示，△A′BC即为所求：
（2）直线A′D与l的位置关系是平行，
证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
∵翻折，
∴△A′BC≌△DEF，
∴A′D∥l．
故答案为：平行．
20．（8分）如图，在正五边形ABCDE中，过点C作CD的垂线，与边AB交于点F，求证：AE+AF＝BE．
【分析】连接AC交BE于点G，连接GF，由正五边的性质求出∠EAB＝108°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠AEB＝∠BAC＝36°，然后证明△BCF≌△GCF（SAS），得出∠CBF＝∠CGF＝108°，证出AG＝AF，则可得出结论．
【解答】证明：如图，连接AC交BE于点G，连接GF，
∵正五边形ABCDE的内角和是540°，
∴∠EAB＝108°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠ABE＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEB＝∠BAC＝36°，
∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°，
∴∠EGA＝72°，
∴AE＝EG，
又∵∠BAC＝∠ABG＝36°，
∴GA＝GB，
∴EA+GA＝EG+GB＝BE，
又∠BCF＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∠GCF＝36°﹣18°＝18°，
∴∠CGB＝∠CBG＝72°，
∴CG＝CB，
在△BCF和△GCF中，
，
∴△BCF≌△GCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CGF＝108°，
∴∠AGF＝∠AFG＝72°，
∴AG＝AF，
∴AE+AF＝BE．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．
（1）你认为他是怎样做到的？
方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．
（2）你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？
①画出相应的图形．
②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？（结合图形写出）
③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．
【分析】根据垂直的定义得到∠BAD＝∠BAC＝90°，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（2）①如图，
②已知条件是AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD．
③战士要测的是AD＝AC．
理由：∵AB⊥CD，
∴∠BAD＝∠BAC＝90°，
在△ABD与△ABC中，
，
∴△ABD≌△ABC（ASA），
∴AD＝AC．
22．（9分）在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，点D是CB延长线上一动点，点E在线段AC上，连接DE与AB交于点F．
（1）如图1，若∠EDC＝30°，EF＝4，求AF的长．
（2）如图2，若BD＝AE，求证：AF＝AC+BD．
（3）如图3，移动点D，使得点F是线段AB的中点时，DB＝，AB＝4，点P，Q分别是线段AC，BC上的动点，且AP＝CQ，连接DP，FQ，请直接写出DP+FQ的最小值．
【分析】（1））过点F作FG⊥AC于点G，在Rt△EFG中利用勾股定理求得GF的长，在等腰直角三角形AFG中即可求得AF的长；
（2）过点E作EH⊥AC交AB于点H，过点H作HM⊥BC于点M，通过证明△HEF≌△DBF，利用全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）过点F作FM⊥AC于点M，延长FM至F′使F′M＝FM，则F′与F关于AC对称，过点F′作F′N⊥BC，交BC的延长线于点N，证明△APF≌△CQF，利用轴对称解决路径最短问题即可求得结论．
【解答】解：（1）过点F作FG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠ECD＝90°，∠EDC＝30°，
∴∠DEG＝60°．
∵FG⊥AC，EF＝4，
∴EG＝EF＝2，
∴FG＝＝2．
∵FG⊥AC，∠A＝45°，
∴AG＝FG＝2，
∴AF＝＝2．
（2）过点E作EH⊥AC交AB于点H，过点H作HM⊥BC于点M，如图，
∵EH⊥AC，∠A＝45°，
∴AE＝EH，AH＝AE．
∵BD＝AE，
∴EH＝BD．
∵EH⊥AC，DC⊥AC，
∴HE∥CD，
∴∠HEF＝∠D．
在△HEF和△DBF中，
∴△HEF≌△DBF（AAS）．
∴HF＝BF＝BH．
∵∠HEC＝∠ACB＝∠HMC＝90°，
∴四边形HECM为矩形，
∴CM＝HE，HM＝EC．
∵HM⊥BC，∠ABC＝45°，
∴EC＝HM＝BH，
∴AF＝AH+HF＝AE+BH．
∴AF＝2AE+BH，
即：AF＝AE+AE+EC＝AE+AC．
∴AF＝AC+BD．
（3）∵AB＝4，
∴AF＝FB＝FC＝2，AC＝BC＝4．
∵F是线段AB的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴AF＝FC，∠FCQ＝∠A＝45°．
在△APF和△CQF中，
，
∴△APF≌△CQF（SAS）．
∴PF＝FQ．
∴DP+FQ＝DP+PF．
过点F作FM⊥AC于点M，延长FM至F′使F′M＝FM，则F′与F关于AC对称，
连接DF′交AC于点P，如图，则此时DP+FP＝DF′，取得最小值，
过点F′作F′N⊥BC，交BC的延长线于点N，
∵∠AFC＝90°，FM⊥AC，∠A＝45°，
∴AM＝MC＝AC＝2，FM＝AC＝2．
∴F′M＝FM＝2．
∵∠F′MC＝∠MCN＝∠N＝90°，
∴四边形MF′NC为矩形．
∴CN＝F′M＝2，F′N＝MC＝2．
∴DN＝BD+BC+CN＝+4+2＝．
∴DF′＝＝．
∴DP+FQ的最小值为．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）求下列图中x的值．
【分析】根据直角三角形的锐角互余即可求出x的值；
根据四边形的内角和即可求出x的值；
根据外角的性质即可求出x的值．
【解答】解：因为直角三角形的两个锐角互余，
所以x°+50°＝90°，
解得x＝40；
因为四边形的内角和为360°，
所以x°+（x+10）°+60°+90°＝360°，
解得x＝100；
因为外角等于不相邻两个内角的和，
所以x°+（x+10）°＝（x+70）°，
解得x＝60．