2024-2025学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语中学九年级（上）开学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
3.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x−y=3B. x2+2x=2C. x2+1=x2D. x(x−1)=0
4.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4)，则顶点A的坐标为( )
A. (−4,2)
B. (− 3,4)
C. (−2,4)
D. (−4, 3)
5.小美同学按如下步骤作四边形ABCD；(1)画∠MAN；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；(3)分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，CD，BD.若∠A=44°，则∠CBD的大小是( )
A. 64°
B. 66°
C. 68°
D. 70°
6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( )
A. ∠BAC=∠BCAB. ∠ABD=∠CBD
C. OA2+OB2=AD2D. AD2+OA2=OD2
7.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. x2−2x=0B. x2+2x+1=0C. 2x2−4x+3=0 D. 3x2−5x+2=0
8.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每増加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆増加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是( )
A. (x+3)(5−0.5x)=20B. (x−3)(5+0.5x)=20
C. (x−3)(5−0.5x)=20D. (x+3)(5+0.5x)=20
9.关于x的一元二次方程(m−2)x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A. m≤4B. m≥4C. m≥−4且m≠2D. m≤4且m≠2
10.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点.下列结论：①四边形EGFH是平行四边形；②当AB=CD时，四边形EGFH是菱形；③当AC⊥BD时，四边形EGFH是矩形.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知方程x2−2x+k=0的一个根为−2，则方程的另一个根为______．
12.如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净.现将这4张卡片(除图案不同外，其余均相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为______．
13.如图，四边形ABCD为正方形.△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，
则EF= ______．
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=5，BD=6，则菱形ABCD的面积是______．
15.如图，正方形ABCD的边长为3 2，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的
延长线上，OE=5，连接DE.若P为DE的中点，则线段AF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−2x−3=0．
(2)2x2−9x+8=0．
17.(本小题8分)
(1)解一元二次方程：x2−4x+3=0；
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长．
18.(本小题8分)
关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1．
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E在边AB上，______．
请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长．
20.(本小题8分)
在北京举行的第24届冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
(1)下列四种说法，正确说法的序号是______．
①若随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”的概率为124；
②随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是必然事件；
③随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件；
④随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是不可能事件．
(2)老师选出写有“立春、立夏、立秋”(分别用A，B，C依次表示这三种节气)的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小明同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称.请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
21.(本小题10分)
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22.(本小题12分)
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)猜想CE与CG之间的位置关系？并说明理由；
(3)若AB= 2，则CE+CG的值为______．
23.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的解析式；
(2)将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为______；
(3)若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
【解析】解：A、△=(−2)2−4×1×0=4>0，有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、△=22−4×1×1=0，有两个相等的实数根，故B不符合题意；
C、△=(−4)2−4×2×3=−80，有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选：C．
由根的判别式△的符号判定．
本题考查一元二次方程实数根的情况，关键是判断判别式△的符号．
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】4
12.【答案】14
13.【答案】2
14.【答案】24
15.【答案】 102
16.【答案】解：(1)∵(x+1)(x−3)=0，
∴x+1=0或x−3=0，
解得：x=−1或x=3；
(2)∵a=2，b=−9，c=8，
∴△=81−4×2×8=17>0，
则x=9± 174．
17.【答案】解：(1)x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
∴x−1=0或x−3=0，
∴x1=1，x2=3；
(2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边= 32−12=2 2，
当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边= 12+32= 10，
∴第三边的长为2 2或 10．
18.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−2)2−4(4−m)>0，
解得m>3；
(2)∵m>3，
∴m−3>0，
∴1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1
=(1+m)(1−m)m−3⋅2m−1⋅m−3m+1
=−2．
19.【答案】(1)①或②；
(2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE=BC=10，
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴AE= DE2−AD2= 102−82=6，
即线段AE的长为6．
20.【答案】(1)①③；
(2)由“立春、立夏、立秋”的三张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有3种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为39=13．
21.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
(2)设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：(y−30)[600−10(y−40)]=10000，
整理，得：y2−130y+4000=0，
解得：y1=80(不合题意，舍去)，y2=50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
22.【答案】(1)证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则四边形EMCN是矩形，
∴∠MEN=90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF=90°−∠FEN，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)解：CE⊥CG，理由如下：
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴DE=DG，AD=DC，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴∠CAD=∠DCG，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=∠ACD+∠CAD=90°，
∴CE⊥CG；
(3)2．
23.【答案】(1)对于y=2x+18，令x=0，则y=18，
令y=2x+18=0，则x=−9，
即点A、B的坐标分别为：(−9,0)、(0,18)，
∵点M为线段OB的中点，则点M(0,9)，
设直线AM的表达式为：y=kx+9，
将点A的坐标代入上式得：0=−9k+9，则k=1，
即直线AM的表达式为：y=x+9；
(2)平行四边形；
(3)存在，理由：
设点Q(s,t)、点H(m,m+9)，
由点AB的坐标得，AB2=405，同理可得：AH2=2(m+9)2，
当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB=QH得：
−9=s+m18=t+m+9405=(s−m)2+(m+9−t)2，解得：m=92s=−272t=92(不合题意的值已舍去)，
即点Q的坐标为：(−272,92)；
当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ=BH得：
s−9=mt=m+9+18(s+9)2+t2=m2+(m+9−18)2，解得：m=−1034s=−674t=54，
即点Q的坐标为：(−674,54)；
当AH是对角线时，由中点坐标公式和AH=BQ得：
m−9=sm+9=t+182(m+9)2=s2+(t−18)2，解得：m=6s=t=−3，
即点Q的坐标为：(−3,−3)，
综上，点Q的坐标为：(−272,92)或(−674,54)或(−3,−3)．