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青海省西宁市大通回族土族自治县2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题
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这是一份青海省西宁市大通回族土族自治县2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题，文件包含青海省西宁市大通回族土族自治县2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题docx、25-L-038C数学卡pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
5．“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆关于直线的对称圆为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定义在上的偶函数满足且，则（ ）
A．4049B．2025C．4048D．2024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，为异面直线，，，，，则
10．已知，是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．在上仅有1个零点
11．已知曲线的方程为，是以点为圆心、1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的焦点坐标为
B．曲线过点
C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为
D．若曲线在的上方，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________.
13．已知，，则____________.
14．如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且，则的最小值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的长.
16．（本小题满分15分）
近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
（1）完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数的期望.
附：，.
17．（本小题满分15分）
如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点.
（ⅰ）求与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
19．（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；
（3）若数列满足且，记数列的前项和为，求证：.
青海省大通县教学研究室2025届高三开学摸底考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B ，，所以，故选B.
2．A 因为复数满足，所以，所以，故选A.
3．D 设圆锥的底面圆半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，则圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故选D.
4．A 根据题意设双曲线的方程为，因为经过点，所以，即，所以双曲线的方程为，即.故选A.
5．B 先将《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座全排列，共有种排法，再将《大学》《论语》《周易》看作3个元素，插入产生的7个空隔中，共有种排法，故总有种排法，故选B.
6．C 圆的圆心为，半径为2，圆可化为，圆心为，半径为2，所以直线的方程为，即.故选C.
7．D 由题意知，所以，又，所以，所以.设等差数列的公差为，则，所以.所以所以，所以，即的取值范围是.故选D.
8．A 由，令，得，又令得，再令，，又，所以，又，，所以，4为的一个周期，，.故选A.
9．AD 若，，则，故A正确；若，，，则与可能平行，故B错误；若，，则或，故C错误；过作平面，又，所以，又，为异面直线，所以与相交，设，又，，，，，所以，故D正确.故选AD.
10．ABD 由题意可知，函数的最小正周期，，.对于A，当时，，在上单调递增，故A正确；对于B，，的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确，故选ABD.
11．BCD 对于选项A，，抛物线的焦点坐标为，故A错误；对于选项B，圆的标准方程为：，点代入圆的方程得，所以圆过点，故B正确；对于选项C，设被所截得的线段为，中点为，联立和有，故，，故，代入得，解得，故C正确；对于选项D，如图所示，在的上方时，且抛物线和圆无交点，联立和有，且，解得，故D正确.故选BCD.
12．50 先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78，共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为.
13． 因为，，所以.
14． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，.设，则，，.因为
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
15．解：（1）因为，所以， 2分
根据正弦定理得， 4分
根据余弦定理得， 6分
由于，所以. 7分
（2）因为，所以. 10分
由余弦定理可知，
所以.
16．解：（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，得到如下2×2列联表： 2分
3分
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
， 6分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关. 7分
（2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2：1，所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人， 8分
记这4人中，青年的人数为，则的可能取值为1，2，3，4，
，， 10分
，， 12分
所以的分布列如下：
， 14分
所以这4人中青年人数的期望为. 15分
17．（1）证明：设是的中点，连接，因为是的中点，则.
因为，所以，所以. 2分
因为平面，平面，所以，因为，所以. 4分
又，，平面，
所以平面.
又平面，所以. 6分
（2）解：因为平面，平面，所以，四边形是正方形，结合（1）的结论可知，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，，，
，，，. 8分
设平面的法向量为，
则令，可得. 10分
设平面的法向量为，
则令，可得. 12分
设平面与平面的夹角为，. 14分
所以，
即平面与平面的夹角的正弦值为. 15分
18．解：（1）根据题意
故，， 3分
所以椭圆的方程为. 4分
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，， 5分
联立方程消去，整理得， 6分
，得且，
设，，则，. 7分
（ⅰ），， 8分
，
与的面积之比为1. 10分
（ⅱ）证明：
.
综上，. 17分
19．（1）解：若，则，所以，
1分
所以，又， 2分
所以的图象在处的切线方程为，即. 4分
（2）解：， 5分
令，所以.
当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，符合题意； 6分
当，即时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，，所以存在，使得， 8分
所以当时，，所以在上单调递减，所以，不符合题意.
9分
综上，的取值范围是. 10分
（3）证明：因为，所以，即，所以是公差为的等差数列，又，所以，所以. 12分
由（2）知当时，，
所以当，时，，即. 14分
所以
， 16分
所以，又，
所以. 17分年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合计
300
100
400
1
2
3
4
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
5．“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆关于直线的对称圆为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定义在上的偶函数满足且，则（ ）
A．4049B．2025C．4048D．2024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，为异面直线，，，，，则
10．已知，是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．在上仅有1个零点
11．已知曲线的方程为，是以点为圆心、1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的焦点坐标为
B．曲线过点
C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为
D．若曲线在的上方，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________.
13．已知，，则____________.
14．如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且，则的最小值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的长.
16．（本小题满分15分）
近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
（1）完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数的期望.
附：，.
17．（本小题满分15分）
如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点.
（ⅰ）求与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
19．（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；
（3）若数列满足且，记数列的前项和为，求证：.
青海省大通县教学研究室2025届高三开学摸底考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B ，，所以，故选B.
2．A 因为复数满足，所以，所以，故选A.
3．D 设圆锥的底面圆半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，则圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故选D.
4．A 根据题意设双曲线的方程为，因为经过点，所以，即，所以双曲线的方程为，即.故选A.
5．B 先将《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座全排列，共有种排法，再将《大学》《论语》《周易》看作3个元素，插入产生的7个空隔中，共有种排法，故总有种排法，故选B.
6．C 圆的圆心为，半径为2，圆可化为，圆心为，半径为2，所以直线的方程为，即.故选C.
7．D 由题意知，所以，又，所以，所以.设等差数列的公差为，则，所以.所以所以，所以，即的取值范围是.故选D.
8．A 由，令，得，又令得，再令，，又，所以，又，，所以，4为的一个周期，，.故选A.
9．AD 若，，则，故A正确；若，，，则与可能平行，故B错误；若，，则或，故C错误；过作平面，又，所以，又，为异面直线，所以与相交，设，又，，，，，所以，故D正确.故选AD.
10．ABD 由题意可知，函数的最小正周期，，.对于A，当时，，在上单调递增，故A正确；对于B，，的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确，故选ABD.
11．BCD 对于选项A，，抛物线的焦点坐标为，故A错误；对于选项B，圆的标准方程为：，点代入圆的方程得，所以圆过点，故B正确；对于选项C，设被所截得的线段为，中点为，联立和有，故，，故，代入得，解得，故C正确；对于选项D，如图所示，在的上方时，且抛物线和圆无交点，联立和有，且，解得，故D正确.故选BCD.
12．50 先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78，共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为.
13． 因为，，所以.
14． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，.设，则，，.因为
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
15．解：（1）因为，所以， 2分
根据正弦定理得， 4分
根据余弦定理得， 6分
由于，所以. 7分
（2）因为，所以. 10分
由余弦定理可知，
所以.
16．解：（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，得到如下2×2列联表： 2分
3分
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
， 6分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关. 7分
（2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2：1，所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人， 8分
记这4人中，青年的人数为，则的可能取值为1，2，3，4，
，， 10分
，， 12分
所以的分布列如下：
， 14分
所以这4人中青年人数的期望为. 15分
17．（1）证明：设是的中点，连接，因为是的中点，则.
因为，所以，所以. 2分
因为平面，平面，所以，因为，所以. 4分
又，，平面，
所以平面.
又平面，所以. 6分
（2）解：因为平面，平面，所以，四边形是正方形，结合（1）的结论可知，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，，，
，，，. 8分
设平面的法向量为，
则令，可得. 10分
设平面的法向量为，
则令，可得. 12分
设平面与平面的夹角为，. 14分
所以，
即平面与平面的夹角的正弦值为. 15分
18．解：（1）根据题意
故，， 3分
所以椭圆的方程为. 4分
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，， 5分
联立方程消去，整理得， 6分
，得且，
设，，则，. 7分
（ⅰ），， 8分
，
与的面积之比为1. 10分
（ⅱ）证明：
.
综上，. 17分
19．（1）解：若，则，所以，
1分
所以，又， 2分
所以的图象在处的切线方程为，即. 4分
（2）解：， 5分
令，所以.
当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，符合题意； 6分
当，即时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，，所以存在，使得， 8分
所以当时，，所以在上单调递减，所以，不符合题意.
9分
综上，的取值范围是. 10分
（3）证明：因为，所以，即，所以是公差为的等差数列，又，所以，所以. 12分
由（2）知当时，，
所以当，时，，即. 14分
所以
， 16分
所以，又，
所以. 17分年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合计
300
100
400
1
2
3
4
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