青海省西宁市大通回族土族自治县2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册~选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.
【详解】由，求导得，
所以时体积关于半径的瞬时变化率为.
故选：B.
2. 已知随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C
3. 根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由回归方程比过样本中心点即可列方程求解.
【详解】由已知，得，，又经过点，所以，解得．
故选：B．
4. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列前项和公式，可求得、表达式，结合题干条件，即可求得q的值.
【详解】当公比时，，不满足题意，当时，，，
所以，解得，
故选：D
5. 在等差数列中，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列下标和性质直接求解即可.
【详解】，，.
故选：D.
6. 哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（ ）
A. 36B. 72C. 144D. 288
【答案】C
【解析】
【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算.
【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法，
由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误.
故选：C.
7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数在上单调递增B. 函数至少有2个极值点
C. 函数在上单调递减D. 函数在处取得极大值
【答案】D
【解析】
【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可.
【详解】由的图象可知：当或时，；当时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
则函数有且仅有两个极值点，
结合选项可知：ABC正确；D错误；
故选：D.
8. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球､5个白球，乙箱中有8个红球､2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子中随机摸出1个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可得解.
【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
因此从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，
因此从乙箱中摸到红球的概率为，
所以摸到红球的概率为.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若相关系数，则两个变量负相关
B. 相关系数的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 决定系数越小，残差平方越小，模型的拟合效果越好
【答案】AC
【解析】
【分析】相关系数的符号反映相关关系的正负性，的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，
决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好.
【详解】对于A，因为的符号反映相关关系的正负性，故A正确；
对于B，根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误；
对于C，决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解.
【详解】由分布列的性质知，则，
故，故A正确；
，故C错误；
则，故B正确；
所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果.
【详解】令，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，故A错误，B正确；
又，所以，
即，故C正确，D错误.
故选：BC.
方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数．
(3)利用导数研究的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的极值点为____________.
【答案】0
【解析】
【分析】利用导数，结合极值点的定义得解.
【详解】，
，令解得，令解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极值点为0.
故答案为：0.
13. 的二项展开式中的系数是______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】运用二项式的通项公式直接进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令，所以的系数是，
故答案为：
14. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式直接计算.
【详解】从12名候选人中选4名同学组成学生会，有种选法；
选出的4人中有2名人来自甲班，有种选法.
所以甲班恰有2名同学被选到的概率为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中750人经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250人不经常参加体育锻炼（称为B类同学）.现用按比例分配的分层抽样方法（按A类､B类分两层）从该年级的学生中共抽查100人，如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的100人，得到以下列联表（单位：人）：
（1）完成上表；
（2）依据的独立性检验，能否认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？
注：.
附表：
【答案】（1）表格见解析；
（2）无关联.
【解析】
【分析】（1）根据题目含义填写表格即可，（2）利用列联表结合卡方计算求解即可.
【小问1详解】
填写列联表（单位：人）如下：
【小问2详解】零假设为：经常参加体育锻炼与身高达标无关联.
由列联表中的数据，
.
根据的独立性检验，没有充分证据证明不成立，即认为经常参加体育锻炼与身高达标无关联.
16. 在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为.
（1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率；
（2）求的分布列及数学期望.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，数学期望14.5.
【解析】
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的加法公式计算即得.
（2）求出的可能值及各个值存放易燃概率值，列出分布列并求出期望.
【小问1详解】
记该学生前3道题答对道为事件，前3题中至少答对2道题为事件，
则，
，，
所以.
【小问2详解】
依题意，的取值可能为，
，，
，
，.
所以的分布列为：
数学期望.
17. 求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；
（2）准线方程为的抛物线的标准方程；
（3）焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由长轴长和离心率求出，进而求出的值，得椭圆的标准方程；
（2）由准线方程得，得抛物线方程；
（3）由顶点坐标和焦点坐标得，的值，求得，得双曲线的方程.
【小问1详解】
由已知，，，得：，，
从而.
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
抛物线的准线方程为，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，
所求抛物线的标准方程为：
小问3详解】
设双曲线方程为，
由题设可得，故，故双曲线方程为.
18. 如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，，即可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量及直线的方向向量即可.
【小问1详解】
证明：过点D作于N，如图所示
因为，，，，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
因平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以
又，，，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因，，所以，
如图，以D为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，
以过点D且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为θ，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
0
1
2
3
0.4
03
0.2
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
不经常参加体育锻炼
15
总计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
35
75
不经常参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
0
5
10
15
20