高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.1函数的概念及其表示(讲)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.1函数的概念及其表示(讲)原卷版+解析，共21页。
1．函数的概念
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【考点分类剖析】
考点一 函数的概念
【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究】
（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
A．B．C．D．
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
考点二：求函数的定义域
【典例2】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【变式探究】
1.函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是 ，则的定义域是（ ）
A．[0,]B．C．D．
【特别提醒】
求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．
高频考点三：求函数的解析式
【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f=x2+，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．
【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数的解析式．
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．
4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
【变式探究】
1.已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)−2x]=6，则f(2)=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
考点四：求函数的值域
【典例6】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是
【典例8】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．
【规律方法】
函数值域的常见求法：
(1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）
(4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
②形如y＝ax＋b＋eq \r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
③形如y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq \r(k)]，单调增区间为[eq \r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq \r(k)，2eq \r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．
高频考点五：分段函数及其应用
【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数若，则的取值范围是__________．
【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数，表示中较小的那个数，若，，则集合_______；的最大值是_______.
【典例12】（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________
【总结提升】
1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.
【变式探究】
1.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ）
A．a2+1B．a+
C．a-D．a-
2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______.
新课程考试要求
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
核心素养
培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象（例5.10）等核心数学素养.
考向预测
1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
专题3.1 函数的概念及其表示
【知识清单】
1．函数的概念
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【考点分类剖析】
考点一 函数的概念
【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ACD
【解析】
根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.
【详解】
A选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故A符合题意；
B选项，，与定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故B不符合题意；
C选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数， 故C符合题意；
D选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故D符合题意；
故选：ACD.
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究】
（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.
【详解】
的定义域为；
对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；
对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；
对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.
故选：B.
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
考点二：求函数的定义域
【典例2】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
利用抽象函数的定义域求解.
【详解】
（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，
∴，
即的定义域为．
（2）由题意知中的，
∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，
∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
又，即，
∴函数的定义域为.
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【变式探究】
1.函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
故答案选C
2．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是 ，则的定义域是（ ）
A．[0,]B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为函数定义域是
所以
所以，解得：
故函数的定义域是[0,]
故选：A
【特别提醒】
求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．
高频考点三：求函数的解析式
【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f=x2+，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．
【答案】 11
【解析】
利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】
令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数的解析式．
【答案】
【解析】
根据图象分段求出解析式，再写成分段的形式即可得解.
【详解】
设线段所对应的函数解析式为，
将与代入，
得，得，
所以，
同理，线段所对应的函数解析式为，
所以.
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．
4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
【变式探究】
1.已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)−2x]=6，则f(2)=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
设t=f(x)−2x，则ft=6，且fx=2x+t，
令x=t，则ft=2t+t=3t=6，
解得t=2，
∴fx=2x+2，
∴f2=2×2+2=6．
故选C．
2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【解析】
（1）设，，代入求解，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】
（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
考点四：求函数的值域
【典例6】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
当时，，（当且仅当，即时取等号），
的值域为.
故选：.
【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是
【答案】BC
【解析】
根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，
求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，
故选项A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，
故选：BC
【典例8】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．
【答案】
【解析】
①由解不等式，即可求出定义域；②利用换元法，令，，将原函数转化为关于的二次函数，求值域即可.
【详解】
①由，得，解得，
故函数的定义域是.
②令，，则，
所以原函数可化为，其对称轴为，
所以函数在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：①；②
【规律方法】
函数值域的常见求法：
(1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）
(4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
②形如y＝ax＋b＋eq \r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
③形如y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq \r(k)]，单调增区间为[eq \r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq \r(k)，2eq \r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．
高频考点五：分段函数及其应用
【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
根据题意，分别求出当,，，对应的函数解析式，进而得答案.
【详解】
根据题意，当,的面积为；
当,的面积为；
当,的面积为；
当,的面积为；
所以
所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.
故选:A.
【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设，且，结合图象有，从而得到求解.
【详解】
函数的图象如图所示：
设，且，
则，
所以，
，
，
令，则，
其对称轴为，
所以在上递增，在上递增，
所以，，
所以的取值范围是，
故答案为：
【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数，表示中较小的那个数，若，，则集合_______；的最大值是_______.
【答案】 1
【解析】
作出函数的图象，解出方程可得，由图可得，然后可得其最大值.
【详解】
函数的图象如下，
令，即
解得或
则集合
由题意及图象得
由图象知，当时，最大，最大值是1.
故答案为：，1
【典例12】（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
【解析】
分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.
【详解】
当时，，所以，
解得，不满足，舍去；
当时，，所以解得，满足.
故答案为：.
【总结提升】
1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.
【变式探究】
1.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ）
A．a2+1B．a+
C．a-D．a-
【答案】D
【解析】
先化简函数的解析式得再分类讨论，求出每一段的最小值，即得函数的最小值.
【详解】
函数f(x)=x2+|x-a|=
当x≥a>时，
函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；
当x0.
所以a2>a-.
所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
故选：D
2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______.
【答案】5
【解析】
结合函数由内到外逐层计算，可得出关于的等式，进而可解得实数的值．
【详解】
，，
所以，
解得
故答案为：5，
新课程考试要求
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
核心素养
培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象（例5.10）等核心数学素养.
考向预测
1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应