高考数学复习全程规划(新高考地区专用)综合训练07平面向量及其应用(10种题型60题专练)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)综合训练07平面向量及其应用(10种题型60题专练)专项练习(原卷版+解析)，共54页。
A．B．C．4D．12
2．（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝，＝2，则•＝（ ）
A．18B．9C．12D．6
3．（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有，则tanC的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•阿勒泰地区一模）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝135°，，若AD⊥AC，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则的最小值为 ．
6．（2023•重庆模拟）已知向量的夹角为60°，，若对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则m的取值范围是（ ）
A．[e3，+∞）B．[e，+∞）C．D．
7．（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且，当∠C取最大值时，csC＝（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•合肥三模）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若AB＝2，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•宜章县二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2csin（）．
（1）求C；
（2）若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，•＝2，求四边形ABCD面积的最大值．
二．投影向量（共6小题）
10．（2023•湖南模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
11．（2023•全国二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023•武陵区校级模拟）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023•静安区二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 ．
14．（2023•石家庄二模）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023•河北三模）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
三．平面向量的基本定理（共5小题）
16．（2023•泰州模拟）在平行四边形ABCD中，，．若，则m+n＝（ ）
A．B．C．D．
17．（2023•贵阳模拟）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ）
A．﹣B．﹣+C．+D．﹣
18．（2023•淄博模拟）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2，，过点O作OD垂直AB于点D，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023•开封一模）已知△ABC中，D为BC边上一点，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
20．（2023•海安市校级一模）已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当时，＝（ ）
A．B．C．D．
四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）
21．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+n与﹣2共线，则等于（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
22．（2023•龙口市模拟）已知向量＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），则“m＝﹣3”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
23．（2023•林芝市二模）已知向量，，且，则＝ ．
24．（2023•高州市二模）已知向量，，若与平行，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．6D．﹣6
五．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
25．（2023•2月份模拟）平面向量与相互垂直，已知＝（6，﹣8），，且与向量（1，0）的夹角是钝角，则＝（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣3）
26．（2023•沈阳三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是 ．
27．（2023春•大理市校级期中）已知平面向量，则向量与的夹角为 ．
28．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义⊗＝．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合{|n∈Z}中，则⊗＝ ．
六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
29．（2023•运城三模）已知向量满足，且，则实数λ＝（ ）
A．1或B．﹣1或C．1或D．﹣1或
30．（2023•安徽模拟）已知平面向量，若与垂直，则实数t＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
31．（2023•桃城区校级模拟）已知向量，，若，则cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
32．（2023•红河州一模）已知向量＝（2，m），＝（4，﹣1），且（﹣）⊥（+），则实数m＝（ ）
A．2B．C．8D．
33．（2023•平定县校级模拟）已知向量，，，且，则实数m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．任意实数
七．正弦定理（共5小题）
34．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为（ ）
A．30°或150°B．60°C．30°D．60°或120°
35．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若csA＝，a＝2，求△ABC的面积．
36．（2023•榆林二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2csin（B﹣A）＝2asinAcsB+bsin2A，则的取值范围是 ．
37．（2023•邢台一模）已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
38．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝，AB边上的高为．
（1）若S△ABC＝2，求△ABC的周长；
（2）求的最大值．
八．余弦定理（共8小题）
39．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2﹣b2＝﹣ac，则角B＝（ ）
A．120°B．60°C．135°D．150°
40．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cs2C﹣cs2A＝sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
41．（2023•崇州市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝ ．
42．（2023•铜仁市模拟）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝a（a+b），则sinA的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
43．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
44．（2023•江西模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．
（1）求csC；
（2）若acsB+bsinA＝c，，求b．
45．（2023•榆林二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是，则A＝（ ）
A．B．C．D．
46．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccsB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
九．三角形中的几何计算（共4小题）
47．（2023•天门模拟）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，则sin∠PAC＝ ；若AC：AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 ．
48．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设△ABC的面积为S，满足，求b的值．
49．（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（ ）
A．B．C．D．
50．（2023•浑南区校级三模）如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）为△ABD的重心（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则tanB＝ ．
一十．解三角形（共10小题）
51．（2023•宜春模拟）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10kmB．20kmC．30kmD．40km
52．（2023•衡水模拟）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．
53．（2023•重庆模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）设AB的中点为D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面积．
54．（2023•桃城区校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（csB+csC）+（b+c）cs（B+C）＝0．
（1）求A；
（2）若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD＝3CD，求sin∠ACD．
55．（2023•晋江市校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
56．（2023•黄石模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsC+csinA＝b．
（1）求A；
（2），BD＝3，求△ABC面积的最大值．
57．（2023•宁波一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，求csA．
58．（2023•宜春一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝2ccsB．
（1）求证：C＝2B；
（2）求的最小值．
59．（2023•江西二模）在①；②a（3sinB+4csB）＝4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_____．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的面积为2，a＝4，求△ABC的周长．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
60．（2023•开福区校级二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积．
（2）是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由．
综合训练07平面向量及其应用（10种题型60题专练）
一．平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）
1．（2023•大理州模拟）若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）
A．B．C．4D．12
【分析】先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
【解答】解：因为平面向量与的夹角为60°，，，
所以||＝2，，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝，＝2，则•＝（ ）
A．18B．9C．12D．6
【分析】利用平面向量的数乘与加减运算，把问题转化为的数量积求解．
【解答】解：∵＝2，∴，
＝，
∴•＝＝
＝＝＝6．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有，则tanC的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a，b，c的关系，利用基本不等式求出csC的最小值，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则csC取最小值，从而得出sinC的最大值，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
又，，
∴，
∴，即a2+2b2＝3c2，
∴由余弦定理得，当且仅当即时等号成立，
在△ABC中，C为锐角，要使tanC取最大值，则csC取最小值，此时，
∴，即tanC的最大值是．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4．（2023•阿勒泰地区一模）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝135°，，若AD⊥AC，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】将表示成，再根据，利用平面向量数量积的运算求出λ的值．
【解答】解：，
∵AD⊥AC，
∴，
∴，
则，，，（1﹣λ）×1×2×cs135°+λ22＝0，，即，即，解得，即．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
5．（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则的最小值为 ．
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可．
【解答】解：设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，
则＝，
在正三角形ABC中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
6．（2023•重庆模拟）已知向量的夹角为60°，，若对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则m的取值范围是（ ）
A．[e3，+∞）B．[e，+∞）C．D．
【分析】根据向量数量积的定义求得，于是由数量积的应用可得，对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，则将转化为，即，则构造函数得函数在（m，+∞）上单调递减，求导判断f（x）单调性，即可得m的取值范围．
【解答】解：已知向量的夹角为60°，，
则，
所以，
所以对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则x11nx2﹣x21nx1＜2x1﹣2x2，
所以，即，设，即f（x）在（m，+∞）上单调递减，
又x∈（0，+∞）时，，解得x＝e3，
所以x∈（0，e3），f'（x）＞0，f（x）在x∈（0，e3）上单调递增；
x∈（e3，+∞），f'（x）＜0，f（x）在x∈（e3，+∞）上单调递减，
所以m≥e3．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，导数研究函数的单调性，属中档题．
7．（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且，当∠C取最大值时，csC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解．
【解答】解：由题意，
所以，
即，
所以，
所以AG⊥BG，
又，，
则，
所以，即abcsC＝bccsA+accsB+c2，
由，，，
所以a2+b2＝5c2，
所以，当且仅当a＝b时等号成立，
又y＝csx在（0，π）上单调递减，C∈（0，π），
所以当∠C取最大值时，csC＝．
故选：A．
【点评】此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得a2+b2＝5c2，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题．
8．（2023•合肥三模）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若AB＝2，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到OA，余弦定理求cs∠AOB，利用向量数量积公式求．
【解答】解：若AB＝2，则圆弧AC、BC的半径为2，设圆O的半径为r，则OA＝2﹣r，过O作OD⊥AB，则OD＝r，AD＝1，
Rt△ODA中，OA2＝OD2+AD2，即（2﹣r）2＝r2+1，解得，则有，△AOB中，由余弦定理得，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查新情景问题下的圆的综合应用，涉及三角函数公式，数形结合思想，属于中档题．
9．（2023•宜章县二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2csin（）．
（1）求C；
（2）若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，•＝2，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式化简运算，即可得解；
（2）根据平面向量数量积的运算法则，推出||csB＝||，进而知BD为外接圆的直径，设∠BAC＝α，利用正弦定理，用含α的式子表示AD，CD和BC，再由S＝AB•AD+BC•CD，并结合三角函数的知识，得解．
【解答】解：（1）由正弦定理及b＝2csin（），知sinB＝2sinCsin（），
所以sin（A+C）＝2sinC（sinA+csA），
所以sinAcsC+csAsinC＝sinCsinA+sinCcsA，即sinAcsC＝sinCsinA，
因为sinA≠0，所以tanC＝＝，
又C∈（0，π），所以C＝．
（2）因为•＝2，所以||•||csB＝||2，即||csB＝||，
所以∠BAD＝，即BD为外接圆的直径，
所以∠BCD＝，
由（1）知，∠ACB＝，所以∠ACD＝﹣＝，
设∠BAC＝α，则∠CAD＝﹣α，
由c＝1，∠ACB＝知，外接圆的直径R＝＝＝2，
在△ACD中，由正弦定理知，R＝＝，所以AD＝2sin＝，CD＝2sin（﹣α）＝2csα，
在△ABC中，由正弦定理知，R＝，所以BC＝2sinα，
所以四边形ABCD面积S＝AB•AD+BC•CD＝×1×+×2sinα×2csα＝+sin2α，
因为α∈（0，），所以2α∈（0，π），
所以当2α＝，即α＝时，sin2α取得最大值1，此时S取得最大值+1，
故四边形ABCD面积的最大值为+1．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式，平面向量数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．投影向量（共6小题）
10．（2023•湖南模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【分析】由已知可求得，然后根据投影向量的公式，即可得出答案．
【解答】解：因为，，
所以，
所以，向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
11．（2023•全国二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解．
【解答】解：由已知条件得：，即，
又在方向上的投影向量为．
故选：A．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
12．（2023•武陵区校级模拟）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，
则，
则在上的投影向量为．
故选：B．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13．（2023•静安区二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量，
则，
，
则2，即，解得，
故在方向上的投影向量等于＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14．（2023•石家庄二模）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．
【解答】解：∵，∴，可得，
所以在方向上的投影向量为．
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．
15．（2023•河北三模）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
【分析】由得，计算在方向上的投影，进而得在方向上的投影向量．
【解答】解：因为，所以，为单位向量，，
又因为，所以，
即，在方向上的投影为，
所以在方向上的投影向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题．
三．平面向量的基本定理（共5小题）
16．（2023•泰州模拟）在平行四边形ABCD中，，．若，则m+n＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出m，n即可．
【解答】解：由题意可得＝，
所以m＝，，
所以，
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
17．（2023•贵阳模拟）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ）
A．﹣B．﹣+C．+D．﹣
【分析】利用向量加法的三角形法则以及中点的性质化简即可求解．
【解答】解：因为AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
所以＝＝+
＝＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
18．（2023•淄博模拟）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2，，过点O作OD垂直AB于点D，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意设＝λ+（1﹣λ），λ∈R，利用•＝0列方程求出λ的值．
【解答】解：△ABO中，OA＝1，OB＝2，，过点O作OD垂直AB于点D，如图所示：
设＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，
则•＝[λ+（1﹣λ）]•（﹣）
＝λ•﹣λ+（1﹣λ）﹣（1﹣λ）•
＝﹣λ﹣λ+4（1﹣λ）+（1﹣λ）
＝﹣7λ+5＝0，
解得λ＝，所以＝+．
故选：A．
【点评】本题考查了两个向量的数量积运算与向量的加减法运算问题，是基础题．
19．（2023•开封一模）已知△ABC中，D为BC边上一点，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的线性运算即可求得．
【解答】解：因为，
所以．
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
20．（2023•海安市校级一模）已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当时，＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】设＝λ，由求出λ，得到P为△ABC的重心，E为AC的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．
【解答】解：设＝λ（0＜λ＜1），则＝﹣＝﹣λ，＝﹣λ，
∴•＝（﹣λ）•（﹣λ）＝•﹣λ•﹣λ•+λ2＝
2﹣λ×2×××2+3λ2＝3λ2﹣6λ+2＝﹣，
∴9λ2﹣18λ+8＝0，∴λ＝或λ＝（舍去），
∴P为△ABC的重心，∵PE⊥AC，∴E为AC的中点，
∴＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣+，
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）
21．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+n与﹣2共线，则等于（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【分析】求出 m+n与﹣2的坐标，根据 m+n与﹣2共线可得（2m﹣n）（﹣1）﹣4（3m+2n）＝0，化简求得 的值．
【解答】解：∵m+n＝（2m﹣n，3m+2n），﹣2＝（4，﹣1），m+n与﹣2共线，
∴（2m﹣n）（﹣1）﹣4（3m+2n）＝0，∴﹣14m＝7n，则＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到
（2m﹣n）（﹣1）﹣4（3m+2n）＝0，是解题的关键．
22．（2023•龙口市模拟）已知向量＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），则“m＝﹣3”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据向量的平行的条件以及坐标的运算求出m＝±3，即可判断．
【解答】解：∵＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），∥，
∴﹣m2＝﹣9，解得m＝3，或m＝﹣3，
∴“m＝﹣3”是“∥”的充分比必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充要条件的判断和向量平行的条件的掌握，属于基础题．
23．（2023•林芝市二模）已知向量，，且，则＝ ．
【分析】由向量平行的坐标运算，得到t＝﹣7，再利用模的坐标公式求．
【解答】解：已知向量，，，
∵，
∴﹣（t+4）＝3，解得t＝﹣7，
∴，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
24．（2023•高州市二模）已知向量，，若与平行，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．6D．﹣6
【分析】先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得．
【解答】解：因为，，
所以，，
又与平行，
所以5（4﹣λ）＝﹣5（2+2λ），解得λ＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
五．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
25．（2023•2月份模拟）平面向量与相互垂直，已知＝（6，﹣8），，且与向量（1，0）的夹角是钝角，则＝（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣3）
【分析】设＝（x，y），由向量的模、向量垂直的性质和向量夹角余弦公式列方程组，能求出结果．
【解答】解：平面向量与相互垂直，＝（6，﹣8），，且与向量（1，0）的夹角是钝角，
设＝（x，y），则，
解得或，
设＝（1，0），当＝（4，3）时，此时cs＜＞＝＝＞0，
∵向量夹角范围为[0，π]，∴此时夹角为锐角，舍去，
当＝（﹣4，﹣3）时，此时cs＜＞＝＝﹣＜0，
∴此时夹角为钝角．
故选：D．
【点评】本题考查向量的模、向量垂直的性质和向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
26．（2023•沈阳三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是 （﹣8，2）∪（2，+∞） ．
【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解．
【解答】解：，，与的夹角是锐角，
则•＞0且、不同向，即，解得x＞﹣8且x≠2，
故实数x的取值范围是（﹣8，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣8，2）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式，以及向量平行的性质，属于基础题．
27．（2023春•大理市校级期中）已知平面向量，则向量与的夹角为 ．
【分析】根据向量夹角公式的坐标运算即可得解．
【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以向量与的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的夹角求解，考查运算求解能力，属于基础题．
28．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义⊗＝．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合{|n∈Z}中，则⊗＝ ．
【分析】根据题中的定义，化简整理得⊗＝＝且⊗＝＝，其中m、n都是整数．两式相乘可得cs2θ＝，由||≥||＞0且与的夹角θ∈（0，），讨论可得m＝1且n＝3，从而得出⊗的值．
【解答】解：由题意，可得
⊗＝＝＝＝，
同理可得：⊗＝＝，其中m、n都是整数
将化简的两式相乘，可得cs2θ＝．
∵||≥||＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵与的夹角θ∈（0，），可得cs2θ∈（，1）
即∈（，1），结合m、n均为整数，可得m＝1且n＝3，从而得⊗＝＝
故答案为：
【点评】本题给出新定义，求式子⊗的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．
六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
29．（2023•运城三模）已知向量满足，且，则实数λ＝（ ）
A．1或B．﹣1或C．1或D．﹣1或
【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解．
【解答】解：，
所以，
因为，
所以，解得λ＝﹣1或．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
30．（2023•安徽模拟）已知平面向量，若与垂直，则实数t＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由垂直关系得到方程，求出实数t的值．
【解答】解：由题意得，即，故12+32+（﹣1+6）t＝0，
即10+5t＝0，解得t＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
31．（2023•桃城区校级模拟）已知向量，，若，则cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由求得sinθ，再用倍角公式求cs2θ即可．
【解答】解：因为，，，
所以7sinθ﹣1﹣5cs2θ＝0，即7sinθ﹣1﹣5（1﹣sin2θ）＝0，
所以5sin2θ+7sinθ﹣6＝0，解得或sinθ＝﹣2（舍），
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
32．（2023•红河州一模）已知向量＝（2，m），＝（4，﹣1），且（﹣）⊥（+），则实数m＝（ ）
A．2B．C．8D．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：（﹣）⊥（+），
则，即，
∵＝（2，m），＝（4，﹣1），
∴22+m2＝42+（﹣1）2，解得m＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
33．（2023•平定县校级模拟）已知向量，，，且，则实数m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．任意实数
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，
【解答】解：∵向量，，，且，
∴（﹣2）•＝（3，0）•（m，2）＝3m+0＝0，
则实数m＝0，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．
七．正弦定理（共5小题）
34．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为（ ）
A．30°或150°B．60°C．30°D．60°或120°
【分析】根据正弦定理即可求出sinB的值，并可知0＜B＜45°，这样即可求出角B的值．
【解答】解：在△ABC中，，
∴根据正弦定理得：，解得，
∵b＜c，∴0°＜B＜45°，∴B＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理，大边对大角定理，已知三角函数值求角的方法，考查了计算能力，属于基础题．
35．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若csA＝，a＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用余弦定理化简已知即可证明；
（2）由题意，利用余弦定理可求得bc的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为，可得2a﹣acsB＝b+bcsA，
所以由余弦定理可得2a＝b+b•+a•，
整理可得2a＝b+c，得证；
（2）因为csA＝，a＝2，2a＝b+c，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得24＝b2+c2﹣2×bc×＝（b+c）2﹣2bc﹣2×bc×＝96﹣2bc﹣2×bc×，
解得bc＝20，
又sinA＝＝，
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＝6．
【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
36．（2023•榆林二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2csin（B﹣A）＝2asinAcsB+bsin2A，则的取值范围是 （1，2） ．
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为sin（B﹣A）＝sinA，根据△ABC为锐角三角形可得B＝2A，C＝π﹣3A以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和csA的范围可得答案．
【解答】解：由正弦定理和正弦二倍角公式可得2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinAcsB+sinBsin2A＝2sinAsinAcsB+2sinBsinAcsA＝2sinA（sinAcsB+sinBcsA）＝2sinAsin（A+B），
因为，所以sin（π﹣C）＝sin（A+B）＝sinC≠0，
可得sin（B﹣A）＝sinA，
因为，所以，
所以B＝2A，C＝π﹣3A，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得＝2cs2A+cs2A＝4cs2A﹣1∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了三角函数的恒等变换，属于中档题．
37．（2023•邢台一模）已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得，即可得范围；
法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围．
【解答】解：（1）由余弦定理得，即，
所以，又B∈（0，π），则．
（2）法一：△ABC为锐角三角形，，则，
所以，可得，
又a＝4，则，故
由，即，而tanA＞1，
所以S△ABC∈（4，8），故△ABC面积的取值范围为（4，8）．
法二：由，画出如图所示三角形，
∵△ABC为锐角三角形，∴点A落在线段A1A2（端点A1，A2除外）上，
当CA1⊥A1B时，，
当CA2⊥BC时，，
∴S∈（4，8）．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
38．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝，AB边上的高为．
（1）若S△ABC＝2，求△ABC的周长；
（2）求的最大值．
【分析】（1）由S＝ab•sinC＝c•＝2，可得c和ab的值，再由余弦定理，求得a+b的值，即可得解；
（2）结合（1）中结论、正弦定理、两角差的正弦公式与辅助角公式，可推出＝，再由正弦函数的图象与性质，求出的最大值．
【解答】解：（1）∵S△ABC＝ab•sinC＝c•＝2，∴c＝4，
∵C＝，∴ab＝8，
由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•csC＝（a+b）2﹣3ab，
∴16＝（a+b）2﹣3×8，∴a+b＝2，
∴△ABC的周长为a+b+c＝2+4．
（2）由正弦定理知，＝＝，
＝＝＝
＝＝
＝（其中θ为锐角，且tanθ＝）
∵0＜A＜，∴当A+θ＝时，取得最大值．
【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、两角差的正弦公式与辅助角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
八．余弦定理（共8小题）
39．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2﹣b2＝﹣ac，则角B＝（ ）
A．120°B．60°C．135°D．150°
【分析】由条件利用余弦定理求得csB＝﹣，从而求得B的值．
【解答】解：△ABC中，∵a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理可得 csB＝＝＝﹣，
∴B＝120°，
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．
40．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cs2C﹣cs2A＝sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
【分析】（1）先把cs2C﹣cs2A＝sinA•sinB﹣sin2B化为a2+b2﹣c2＝ab，用余弦定理即可求解．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可．
【解答】解：（1）∵cs2C﹣cs2A＝sinA•sinB﹣sin2B，
∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝sinA•sinB﹣sin2B，
∴sin2A﹣sin2C＝sinA•sinB﹣sin2B，
∴a2+b2﹣c2＝ab，
∴csC＝＝＝，
∵C∈（0，π），∴∠C＝．
（2）∵a+b≥2，∴4≥2，∴ab≤4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，∴（ab）max＝4，
∴△ABC面积的最大值为 ×4×sin＝．
【点评】此题考查了余弦定理，以及利用基本不等式求三角形面积的最大值，熟练掌握余弦定理，基本不等式是解本题的关键．
41．（2023•崇州市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝ 2 ．
【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，
∴acsinB＝⇒ac×＝⇒ac＝4⇒a2+c2＝12，
又csB＝⇒＝⇒b＝2，（负值舍）
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
42．（2023•铜仁市模拟）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝a（a+b），则sinA的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得C＝2A，再求出A的范围即可．
【解答】解：由c2＝a（a+b），得c2＝a2+ab，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcsC，
∴a2+ab＝a2+b2﹣2abcsC，即b＝a+2acsC，
由正弦定理得sinA+2sinAcsC＝sinB，
∵，
∴sinA+2sinAcsC＝sinB＝sinA⋅csC+csAsinC，
即，
∵c2＝a2+ab，∴c＞a，∴C﹣A＞0，
又△ABC为锐角三角形，∴，
∴A＝C﹣A，解得C＝2A，
又，，，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
43．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【分析】（1）由正弦定理可将等式化简，再由三角形中的角的范围求出A的值；
（2）由（1）可得求出c边，进而由余弦定理可得csC的值，再由三角形AD⊥AC可求出D为CB的中点，可得三角形ABD的面积为三角形ABC的一半，求出三角形ABD的面积．
【解答】解：（1）因为csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0，
由正弦定理可得：csA（sinCcsB+sinBcsC）+sinAsinA＝0，
可得：csAsin（B+C）+sin2A＝0，
在△ABC中，sin（B+C）＝sinA≠0，
所以可得csA+sinA＝0，
即tanA＝﹣，而A为三角形的内角，
所以可得A＝π；
（2）在△ABC中由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，
因为a＝2，b＝2，
所以28＝4+c2﹣2×2c•（﹣），解得：c＝4或c＝﹣6（舍），
所以c＝4，
再由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2bacsC，可得csC＝，
在Rt△ABD中，CD＝＝＝，
所以可得CD＝，
S△ABD＝S△ABC＝•AB•ACsin∠BAC＝＝•4•2•＝；
所以△ABD的面积为．
【点评】本题考查了三角形正余弦定理，面积公式的知识点，属于中档题．
44．（2023•江西模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．
（1）求csC；
（2）若acsB+bsinA＝c，，求b．
【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求csC，
（2）由已知结合正弦定理及和差角公式可求A，然后结合诱导公式及和角正弦可求sinB，再由正弦定理即可求解b．
【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，
所以2abcsC＝absinC，即sinC＝2csC＞0，
sin2C+cs2C＝1，csC＞0，
解可得，csC＝，
（2）∵acsB+bsinA＝c，
由正弦定理可得，sinAcsB+sinBsinA＝sinC＝sin（A+B），
故sinAcsB+sinBsinA＝sinAcsB+sinBcsA，
所以sinA＝csA，
∵A∈（0，π），所以A＝，
所以sinB＝sin（A+C）＝sin（）＝＝，
由正弦定理可得，b＝＝＝3．
【点评】本题综合考查了三角形的基本运算，三角函数的性质，考查了利用正弦定理及余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力．
45．（2023•榆林二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是，则A＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值．
【解答】解：已知△ABC的面积是，利用余弦定理b2+c2﹣a2＝2bccsA，
整理得：，
所以，由于A∈（0，π）．
则．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
46．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccsB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
【分析】（1）选①由余弦定理化简已知等式可得csC＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
选②利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得tanC＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
选③利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C+）＝1，结合范围C+∈（，），即可求解C的值．
（2）由题意S△ABC＝S△ACD+S△BCD，利用三角形的面积公式可得a×CD+CD＝，a×CD＝，联立即可解得a的值．
【解答】解：（1）选①2a﹣b＝2ccsB，
则由余弦定理可得：2a﹣b＝2c•，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得csC＝＝，
因为C∈（0，π），
所以C＝．
选②S＝（a2+b2﹣c2），
可得absinC＝，即sinC＝＝csC，
所以tanC＝，
因为C∈（0，π），
可得C＝．
选③sin（A+B）＝1+2sin2，
可得：sinC＝2﹣csC，可得2sin（C+）＝2，
可得：sin（C+）＝1，
因为C∈（0，π），C+∈（，），
所以C+＝，可得C＝．
（2）在△ABC中，S△ABC＝S△ACD+S△BCD，
可得BC•CD•sin∠BCD+CA•CD•sin∠ACD＝CA•CB•sin∠ACB，可得a×CD+CD＝，①
又S△CDB＝a×CD＝，②
由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），
所以边长a的值为2．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
九．三角形中的几何计算（共4小题）
47．（2023•天门模拟）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，则sin∠PAC＝ ；若AC：AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 ．
【分析】设外接圆半径为R，则R＝2，由正弦定理得到，即可求；设∠CAB＝θ，∠CBA＝α，∠ACB＝β，则，根据正弦定理和余弦定理，得到．
【解答】解：设外接圆半径为R，则R＝2，
由正弦定理，可知，
即，
又由题意可知，，
所以，所以；
设∠CAB＝θ，∠CBA＝α，∠ACB＝β，则，
易知，
由题意可得∠APC＝π﹣∠ABC，所以，
同理可得，
所以．
故答案为：；．
【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
48．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设△ABC的面积为S，满足，求b的值．
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式、诱导公式化简变形，即可得出答案；
（2）利用三角形面积公式得ac，结合正弦定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，
在△ABC中，由正弦定理得，
∵sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴，
∴，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴，
又B∈（0，π），则；
（2）由（1）得，则，解得ac＝12，
又由正弦定理得，
∴，解得．
【点评】本题考查正弦定理和面积公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
49．（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】可设∠AOB＝θ，先根据条件求出，然后利用二倍角公式求出结果．
【解答】解：如图所示，设∠AOB＝θ，则＝，
所以tanθ＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查解三角形知识、三角恒等变换的方法在实际问题中的应用，属于基础题．
50．（2023•浑南区校级三模）如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）为△ABD的重心（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则tanB＝ ＝ ．
【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式f（x）＝2sin（x+），得到B（0，），结合tanB＝tan（∠ABO+∠CBO），即可求解．
【解答】解：因为O为△ABD的重心，且A（﹣π，0），可得OA＝AC＝π，
解得AC＝π，所以C（，0），
所以T＝﹣（﹣π）＝π，所以T＝3π，所以＝3π，解得ω＝，
可得f（x）＝2sin（x+φ），
由f（﹣π）＝0，即2sin[•（﹣π）+φ]＝0，可得•（﹣π）+φ＝kπ，
解得φ＝kπ+，k∈Z，又由0＜φ＜π，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（x+），
于是|OB|＝f（0）＝f0x）＝2sin（×0+）＝，所以B（0，）．
tanB＝tan（∠ABO+∠CBO）＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的几何计算，考查两角和的正切公式，属中档题．
一十．解三角形（共10小题）
51．（2023•宜春模拟）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10kmB．20kmC．30kmD．40km
【分析】直接利用正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用求出结果．
【解答】解：根据题意：在△ABC中，
∠C＝180°﹣12°﹣18°＝150°，
利用正弦定理：，
解得：AC＝500×0.31×2＝310，
BC＝500×0.21×2＝210，
故飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了520﹣500＝20km．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
52．（2023•衡水模拟）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知，根据正弦定理化简已知等式可得a2＝b2+c2+bc，由余弦定理可求csA＝﹣，由A∈（0，π），可得A的值．
（2）AD是△ABC的角平分线，，进而由S△ABC＝S△ABD+S△CAD可求b，可求面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理及2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC得：a2﹣b2﹣bc＝c2，
由余弦定理得，
又0＜A＜π，所以．
（2）AD是△ABC的角平分线，，
由S△ABC＝S△ABD+S△CAD可得，
因为b＝3，AD＝2，即有3c＝2c+6，c＝6，
故．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
53．（2023•重庆模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）设AB的中点为D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理可得sinB+sinC＝2sinAsin（C+），又sinB＝sin（A+C），所以csA+1＝sinA，从而求出A；
（2）在△ABC中，由余弦定理可得csA＝，化简可得a2＝bc+1，在△ACD中，由余弦定理可得cs A＝，化简可得（b+）2﹣bc﹣a2＝bc，结合b﹣c＝1即可求出b，c的值，进而求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵，
∴sinB+sinC＝2sinAsin（C+），
∴sinB+sinC＝2sinA（sinC+csC），
∴sinB+sinC＝sinAsinc+sinAcsC，
又∵B＝π﹣（A+C），∴sinB＝sin（A+C），
∴sin（A+C）+sinC＝sinAsinc+sinAcsC，
∴sinAcsC+csAsinC+sinC＝sinAsinC+sinAcsC，
∴csAsinC+sinC＝sinAsinC，
又∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴csA+1＝sinA，
∴﹣csA＝1，∴2sin（）＝1，
∴sin（A﹣）＝，
∵0＜A＜π，∴﹣，
∴A﹣＝，
∴A＝；
（2）在△ABC中，由余弦定理可得csA＝，
∴＝，
∴b2+c2﹣a2＝bc，
∴（b﹣c）2+2bc﹣a2＝bc，
又∵b﹣c＝1，
∴a2＝bc+1，
在△ACD中，由余弦定理可得cs A＝，
∴cs＝，
∴＝，
∴（b+）2﹣bc﹣a2＝bc，
又∵a2＝bc+1，
∴﹣bc﹣1＝0，
又∵b﹣c＝1，∴b＝c+1，
∴（c+1+）2﹣（c+1）c﹣1＝0，
解得c＝2，
∴b＝3，
∴S△ABC＝＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
54．（2023•桃城区校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（csB+csC）+（b+c）cs（B+C）＝0．
（1）求A；
（2）若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD＝3CD，求sin∠ACD．
【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），可得B+C＝2A，利用三角形内角和定理即可求解A的值．
（2）设∠ACB＝θ，在△ACD，△ABC中，由正弦定理，得，利用三角函数恒等变换的应用可求sinθ的值，进而可求sin∠ACD的值．
【解答】解：（1）由已知得a（csB+csC）＝（b+c）csA，
由正弦定理，得sinA（csB+csC）＝（sinB+sinC）csA，
则sinAcsB﹣csAsinB＝sinCcsA﹣csCsinA，
即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），
所以C﹣B＝π（舍去）或B+C＝2A，
故π﹣A＝2A，
所以A＝．
（2）设∠ACB＝θ，
在△ACD中，
由正弦定理，得①，
在△ABC中，
由正弦定理，得②，
所以，
所以＝＝，解得tanθ＝＝，
又sin2θ+cs2θ＝1，
所以，即sin∠ACD＝．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
55．（2023•晋江市校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理化简可得，由可得，结合余弦定理得，换元求出其值，由正弦定理即可得答案；
（2）由得2absinC＝c2，结合余弦定理得，变形为，换元，可得，结合三角函数的性质可得不等式，即可求得答案．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理得：，
即，即，
因为sinB≠0，所以，即，
由C∈（0，π）得：；
由得：，即，即，
由余弦定理可得：，
故，则，
令，则，解得，
由正弦定理得：，故的值为或；
（2）由得：，即2absinC＝c2，
由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcsC＝2absinC，
即，
故，
令，则，即，
由C∈（0，π）得，故，
故，即得，
故的取值范围是[．
【点评】本题考查了正余弦定理以及三角形面积的应用，注意换元法的使用，属于中档题．
56．（2023•黄石模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsC+csinA＝b．
（1）求A；
（2），BD＝3，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由acsC+csinA＝b，利用正弦定理结合两角和的正弦公式，得到sinAsinC＝csAsinC求解；
（2）利用余弦定理结合基本不等式得到AB，再利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）由正弦定理可得sinAcsC+sinAsinC＝sinB，
因为A+B+C＝π，
所以sinAcsC+sinAsinC＝sin（A+C），
即sinAcsC+sinAsinC＝sinAcsC+csAsinC，
整理得：sinAsinC＝csAsinC，
因为0＜C＜π，所以sinC≠0，
所以tanA＝1，
因为0＜A＜π，所以A＝．
（2）在△ABD中，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcsA，
即9＝，
整理得AB•AD，当且仅当AB＝AD时，等号成立，
所以S△ABD＝＝，
因为，
所以S△ABC＝，
所以△ABC面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
57．（2023•宁波一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，求csA．
【分析】（1）利用余弦定理角化边即可求解．
（2）根据弦化切将原等式变为，角化边即可得到a2+c2＝3b2，再结合a2+b2＝2c2可得，，利用余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）△ABC中，因为，
结合余弦定理，得＝4×，化简可得a2+b2＝2c2，
所以．
（2）由＝，
可得，即，
即a2+c2＝3b2，又a2+b2＝2c2，
所以，，
所以．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题．
58．（2023•宜春一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝2ccsB．
（1）求证：C＝2B；
（2）求的最小值．
【分析】（1）由正弦定理得sinA+sinB＝2sinCcsB，进而可得sin（C﹣B）＝sinB，可得结论；
（2）由（1）可得B∈（0，），进而可得＝，运算可得结论．
【解答】（1）证明：在△ABC中，a+b＝2ccsB，
由正弦定理得sinA+sinB＝2sinCcsB，
又A＝π﹣（B+c），
∴sin（B+C）+sinB＝2sinCcsB，
∴sinCcsB﹣sinBcsC＝sinB，
∴sin（C﹣B）＝sinB，又sinB＞0，
∴0＜C﹣B＜C＜π，且B+C﹣B＝C＜π，
∴B＝C﹣B，∴C＝2B；
（2）由（1）可得C＝2B得B+C＝3B∈（0，π），
∴B∈（0，），csB∈（，1），
∵a+b＝2ccsB，C＝2B，
∴＝＝＝＝4csB+≥4．
当且仅当4csB＝即csB＝，
且B∈（0，），当且仅当B＝时等号成立，
∴当B＝时，的最小值为4．
【点评】本题考查解三角形，考查正弦定理以及三角恒等变换，属中档题．
59．（2023•江西二模）在①；②a（3sinB+4csB）＝4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_____．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的面积为2，a＝4，求△ABC的周长．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求sinA的值；
（2）由面积公式求得bc＝5，再利用余弦定理求得b+c，可得△ABC的周长．
【解答】解：（1）若选①，，
则3absinC＝4bccsA，所以3asinC＝4ccsA，
由正弦定理得3sinAsinC＝4sinCcsA，
又C∈（0，π），
所以sinC＞0，所以3sinA＝4csA，又sin2A+cs2A＝1，
由A∈（0，π），sinA＞0，解得．
若选②，a（3sinB+4csB）＝4c，
由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcsB＝4sinC，
所以3sinAsinB+4sinAcsB＝4sin（A+B），
所以3sinAsinB+4sinAcsB＝4sinAcsB+4csAsinB，
所以3sinAsinB＝4csAsinB，
又B∈（0，π），所以sinB＞0，所以3sinA＝4csA，又sin2A+cs2A＝1，
由A∈（0，π），sinA＞0，解得．
（2）由△ABC的面积为2，得，所以bc＝5，
由（1）可得，
由余弦定理得，
所以b2+c2＝22，所以，
所以△ABC的周长为．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
60．（2023•开福区校级二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积．
（2）是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由2sinC＝3sinA结合正弦定理可得到2c＝3a，结合等差数列可求出a，b，c的值，然后用余弦定理求出csC，继而求出sinC，即可求得面积；
（2）先假设存在，由题意可得△ABC是钝角三角形，而通过c＞b＞a可得csC＜0，再结合两边之和大于第三边即求出4＜b＜8，即可求解．
【解答】解：（1）∵2sinC＝3sinA，∴由正弦定理得2c＝3a，
∵a，b，c是公差为2的等差数列，∴a＝b﹣2，c＝b+2，
∴2（b+2）＝3（b﹣2），∴b＝10，∴a＝8，c＝12，
∴，
∵C∈（0，π），且sin2C+cs2C＝1，∴，
故△ABC的面积为．
（2）假设存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部，则△ABC为钝角三角形，
依题意可知c＞b＞a，则C为钝角，则，
∴（b﹣8）（b﹣2）＜0，解得2＜b＜8，
∵b+b﹣2＞b+2，∴b＞4，
∴4＜b＜8，
∴存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部，此时整数b的取值集合为{5，6，7}．
【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．