高考数学复习全程规划(新高考地区专用)综合训练05三角函数(16种题型60题专练)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)综合训练05三角函数(16种题型60题专练)专项练习(原卷版+解析)，共59页。

A．B．C．D．
2．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝ ．
3．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，则扇形OAC的面积为 ．
二．任意角的三角函数的定义（共2小题）
4．（2023•重庆模拟）若点在角α的终边上，则cs2α＝ ．
5．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则点B的横坐标为 ．
三．三角函数线（共1小题）
6．（2022•甲卷）已知a＝，b＝cs，c＝4sin，则（ ）
A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b
四．三角函数的周期性（共4小题）
7．（2023•日照一模）已知函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则＝ ．
8．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T为f（x）的最小正周期，且满足．若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则ω的取值范围是 ．
9．（2023•河南模拟）已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则ω的值为 ．
10．（2023•浙江模拟）写出一个满足下列条件的正弦型函数，f（x）＝ ．
①最小正周期为π；
②f（x）在上单调递增；
③∀x∈R，|f（x）|≤2成立．
五．运用诱导公式化简求值（共1小题）
11．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
六．正弦函数的图象（共12小题）
12．（2023•咸阳模拟）已知函数．对于下列四种说法：
①函数f（x）的图像关于点成中心对称；
②函数f（x）在（﹣π，π）上有8个极值点；
③函数f（x）在区间上的最大值为；
④函数f（x）在区间上单调递增．
其中正确的序号是 ．
13．（2023•北海模拟）已知函数的图象关于点对称，则φ＝ ．
14．（2023•新疆模拟）以函数y＝sinωx（ω＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，则ω＝ ．
15．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 ．（写出符合条件的一个值即可）
16．（2023•攀枝花一模）若函数（ω＞0）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围为 ．
17．（2023•株洲一模）已知f（x）＝sinωx（ω∈N+），若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，则ω可以为 ．（填一个值即可）
18．（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，则φ＝（ ）
A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ+（k∈Z）
C．2kπ﹣（k∈Z）D．2kπ﹣（k∈Z）
19．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
20．（2022•甲卷）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]
21．（2023•金昌二模）若函数，又A（α，2），B（β，0）是函数f（x）的图象上的两点，且|AB|的最小值为，则的值为 ．
22．（2023•榆林三模）已知函数f（x）＝tan2x与的图象在区间[﹣π，π]上的交点个数为m，直线x+y＝2与f（x）的图象在区间[0，π]上的交点的个数为n，则m+n＝ ．
23．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的．
（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
（2）若f（x）在上有且仅有一个零点，求ω的取值范围．
七．正弦函数的单调性（共7小题）
24．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
25．（2023•湖南模拟）已知函数，x∈R，若，且f（x）在上单调递增，则ω的值为 ．
26．（2023•吉林模拟）规定：设函数f（x）＝Max{sinωx，csωx}（ω＞0），若函数f（x）在上单调递增，则实数ω的取值范围是 ．
27．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 （填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 ．
28．（2023•汕头二模）已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若，求函数f（x）的单调区间．
29．（2023•南京二模）已知f（x）＝sinωx﹣csωx，ω＞0．
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f（）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于（，0）对称，且函数f（x）在[0，]上单调，求ω的值．
30．（2023•全国）已知函数，则（ ）
A．上单调递增B．上单调递增
C．上单调递减D．上单调递增
八．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
31．（2023•四川模拟）写出曲线的一条对称轴的方程： ．
32．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），若是函数y＝f（x）的图像的一条对称轴，是函数y＝f（x）的图像的一个对称中心，则ω的最小值为 ．
九．余弦函数的图象（共5小题）
33．（2023•绵阳模拟）已知函数f（x）＝4cs（2x+）﹣3，则f（x）在（﹣，）上的零点个数为 ．
34．（2023•安康模拟）已知函数f（x）＝csωx（ω＞0）的图象关于点对称，且在区间单调，则ω的一个取值是 ．
35．（2023•山东模拟）若G（x，y）是函数y＝csx图象上的任意一点，则是函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上的相应的点，那么＝ ．
36．（2023•拉萨一模）已知函数在[﹣π，0]上有且仅有两个零点．若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），对任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，则满足条件的m的个数为 ．
37．（2023•承德模拟）已知ω＞1，函数．
（1）当ω＝2时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间上单调，求ω的取值范围．
一十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
38．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝（csx≠0）的一个对称中心为 （答案不唯一）．
一十一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共7小题）
39．（2023•咸阳模拟）已知函数f（x）＝sinωxcsωx﹣ωx（ω＞0）的最小正周期为π，对于下列说法：
①ω＝1；
②f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）；
③将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称；
④．
其中正确的序号是 ．
40．（2023•乌鲁木齐三模）已知函数的部分图象如图所示，若将函数f（x）图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则的值为 ．
41．（2023•龙岩模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），且a≠b．
（1）求c；
（2）把y＝sinx的图象向右平移个单位长度，再把所得图象向上平移c个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在x∈（0，π）上恰有两个极值点，求ω的取值范围．
42．（2023•济南三模）已知f（x）＝sinωx（ω＞0），其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象．
（1）求函数y＝g（x）的解析式及图象的对称中心；
（2）在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，求的取值范围．
43．（2023•济宁二模）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围．
44．（2022•甲卷）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．B．C．D．
45．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
一十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题）
46．（2023•威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．
（1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．
47．（2023•全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中f（x）的图像与x轴的一个交点的横坐标为﹣．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在区间上存在零点，求实数a的取值范围．
48．（2023•南昌二模）如图是函数的部分图象，已知．
（1）求ω；
（2）若，求φ．
一十三．三角函数的最值（共2小题）
49．（2023•佛山模拟）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为 ．
50．（2023•芜湖模拟）已知函数f（x）＝asin2x+cs2x，且．
（1）求f（x）的最大值；
（2）从①②中任选一个作答．若选择多个分别作答．按第一个解答计分．
①A为函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C为函数f（x）图象的最高点或者最低点，求△ABC面积的最小值．
②O为坐标原点，复数z1＝﹣2﹣4i，z2＝﹣2+f（t）i在复平面内对应的点分别为A，B，求△OAB面积的取值范围．
一十四．两角和与差的三角函数（共5小题）
51．（2023•天津一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝1，c＝2，sinB＝2sinA．
（1）求csC的值；
（2）求sinA的值；
（3）求sin（2C﹣A）的值．
52．（2023•天津模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a＞c），已知bcsC＝（3a﹣c）csB，．
（1）求csB；
（2）求a，c的值；
（3）求sin（B﹣C）的值．
（多选）53．（2023•海口模拟）已知锐角α，β，γ满足α+β+γ＝π，则（ ）
A．tanα，tanβ可能是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根
B．若α＞β，则sinα＞sinβ
C．
D．tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ
54．（2023•杭州模拟）已知锐角α，β满足，，则α+β＝ ．
55．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1
一十五．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
56（2023•安徽模拟）已知函数
为奇函数，且其图象相邻两对称轴间的距离为．
（1）求ω和φ；
（2）当时，记方程的根为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求的范围．
一十六．三角函数应用（共4小题）
57．（2023•宝鸡三模）我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝5，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次数最多为（ ）
A．19B．40C．20D．41
58．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
59．（2023•广东模拟）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为，在旋转圆面的右侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）记旋转角为θ，若θ∈（（2n+1）π，2（n+1）π）（n∈N），求t的取值范围及弦AB的长度；
（2）在（1）的条件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的长．
60．（2023•南昌一模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化人们可以利用潮汐进行港口货运．某港口具体时刻t（单位：小时）与对应水深y（单位：米）的函数关系式为y＝3sint+10（0≤t≤24）某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为 ．
综合训练05三角函数（16种题型60题专练）
一．扇形面积公式（共3小题）
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s＝AB+得答案．
【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，
∵C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，
∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，
∴s＝AB+＝2+＝2+＝．
故选：B．
【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝ （1﹣） ．
【分析】如图，设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．根据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列，由圆的面积公式可知{Sn}是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n项求和公式计算即可求解．
【解答】解：如图，设圆O1与弧AB相切于点D，
圆O1，圆O2与OA分别切于点C，E，则O1C⊥OA，O1C⊥OA，O2E⊥OA．
设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．
因为，所以．在Rt△OO1C中，OO1＝3﹣r1，
则，即，解得r1＝1．
在Rt△OO2E中，OO2＝3﹣r2﹣2r1，
则，即，解得．
同理可得，，
所以{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列．
又圆的面积为S＝πr2，
所以面积S1，S2，S3，…，Sn构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积公式，属于中档题．
3．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，则扇形OAC的面积为 ．
【分析】根据已知条件将R表示出来，直接打入扇形OAC的面积公式即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，设所在圆的半径为R，
则|AO|＝|OC|＝R，在Rt△ADC中，∠CAD＝α，|AC|＝m，
所以|AD|＝mcsα，|CD|＝msinα，
所以，|OD|＝R﹣mcsα．
在Rt△ODC中，有|CD|2+|OD|2＝|OC|2，
∴（msinα）2+（R﹣mcsα）2＝R2，
整理可得，R＝，
因为|AO|＝|OC|＝R，所以∠COA＝π﹣2α，
所以，扇形OAC的面积为S＝（π﹣2α）R2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积，属于中档题．
二．任意角的三角函数的定义（共2小题）
4．（2023•重庆模拟）若点在角α的终边上，则cs2α＝ ．
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得csα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cs2α的值．
【解答】解：因为点，即在角α的终边上，且|OM|＝1，
所以，则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
5．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则点B的横坐标为 ．
【分析】利用三角函数定义可知，射线OA对应的角α满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为．
【解答】解：易知在单位圆上，记终边在射线OA上的角为α，如下图所示：
根据三角函数定义可知，，
OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则终边在射线OB上的角为，
所以点B的横坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
三．三角函数线（共1小题）
6．（2022•甲卷）已知a＝，b＝cs，c＝4sin，则（ ）
A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b
【分析】构造函数f（x）＝csx+，（0＜x＜1），可得cs，即b＞a，利用三角函数线可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．
【解答】解：设f（x）＝csx+，（0＜x＜1），则f′（x）＝x﹣sinx，
设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣csx＞0，
故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，
即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，
所以f（）＞f（0）＝0，可得cs，故b＞a，
利用三角函数线可得x）时，tanx＞x，
∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．
综上：c＞b＞a，
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．
四．三角函数的周期性（共4小题）
7．（2023•日照一模）已知函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则＝ ．
【分析】根据已知条件，结合正弦函数的周期公式，以及对称轴的性质，求出f（x），再将x＝代入上式，即可求解．
【解答】解：函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称，
则，
∵，
∴ω＝2，，
故f（x）＝，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
8．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T为f（x）的最小正周期，且满足．若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则ω的取值范围是 ．
【分析】根据题意可得为f（x）的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案．
【解答】解：由题意可得：f（x）的最小正周期，
∵，且，则为f（x）的一条对称轴，
∴，解得，
又∵，则，
故，
∵x∈（0，π），则，
若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则，解得，
故ω的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦型函数y＝Asin（ωx+φ）的性质问题，属于中档题．
9．（2023•河南模拟）已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则ω的值为 ．
【分析】先化简f（x），然后由关于点中心对称可得到，结合即可求解．
【解答】解：，
因为图象关于点中心对称，所以，所以，
所以，
又因为最小正周期为T，且，所以可得，则，
所以当k＝1时，ω的值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定，考查余弦函数的性质，属于中档题．
10．（2023•浙江模拟）写出一个满足下列条件的正弦型函数，f（x）＝ （答案不唯一） ．
①最小正周期为π；
②f（x）在上单调递增；
③∀x∈R，|f（x）|≤2成立．
【分析】设f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，根据∀x∈R，|f（x）|≤2，则可设A＝2，根据最小正周期为π，可得ω＝2，通过整体换元法则可得到，取即可．
【解答】解：设f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，因为∀x∈R，|f（x）|≤2，
所以f（x）max≤2，f（x）min≥﹣2，
所以|A|≤2，不妨设A＝2，
因为f（x）最小正周期为π，所以，
因为f（x）在上单调递增，所以，
所以，
当k0＝0时，，不妨设，
所以满足条件之一的．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
五．运用诱导公式化简求值（共1小题）
11．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
【分析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，解方程可求tanα的值，利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为锐角α满足tan2α＝＝，整理可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，
所以tanα＝＝2或﹣（舍去），
可得csα＝sinα，
所以sin2α+cs2α＝sin2α+（sinα）2＝1，解得sinα＝，
则sin（π﹣α）＝sinα＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．
六．正弦函数的图象（共12小题）
12．（2023•咸阳模拟）已知函数．对于下列四种说法：
①函数f（x）的图像关于点成中心对称；
②函数f（x）在（﹣π，π）上有8个极值点；
③函数f（x）在区间上的最大值为；
④函数f（x）在区间上单调递增．
其中正确的序号是 ②③ ．
【分析】对于①，，则函数f（x）的图像不关于点成中心对称；对于②，由x的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置；对于③，由x的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最值；对于④，由x的范围，得出的范围，利用正弦函数的单调性判断即可．
【解答】解：对于①，∵，∴f（x）的图像不关于点成中心对称，错误；
对于②，x∈（﹣π，π），则，则当分别取时，函数f（x）取到极值，正确；
对于③，，则，，正确；
对于④，，则，由于正弦函数在上不单调，错误．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，考查转化能力，属于基础题．
13．（2023•北海模拟）已知函数的图象关于点对称，则φ＝ ．
【分析】根据的图象关于点对称，由，k∈Z求解．
【解答】解：因为函数的图象关于点对称，
所以，k∈Z，
所以，k∈Z，
因为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．
14．（2023•新疆模拟）以函数y＝sinωx（ω＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，则ω＝ ．
【分析】作出函数y＝sinωx（ω＞0）的大致图像，先由正弦函数的性质得AB＝T，CD＝2，再由正三角形的性质推得，从而利用三角函数的周期公式即可得解．
【解答】解：作出函数y＝sinωx（ω＞0）的大致图像，
不妨取如图的相邻三个最值点，
设其中两个最大值点为A，B，最小值点为C，过C作CD⊥AB交AB于D，
如图，
根据正弦函数y＝sinωx（ω＞0）的性质可知AB＝T，CD＝2，
因为△ABC是正三角形，所以，
故，
则，
又ω＞0，
则，
故，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，属于基础题．
15．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 （答案不唯一） ．（写出符合条件的一个值即可）
【分析】根据零点的距离求出周期T，从而求出ω的值，再利用正弦函数的性质求解即可．
【解答】解：由题意得：T＝2•＝π，故ω＝＝2，
故f（x）＝sin（2x+），
故x1＝﹣+＝，
x2＝+，
x3＝2•+，•••••．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．
16．（2023•攀枝花一模）若函数（ω＞0）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围为 ．
【分析】由题意利用正弦函数的图像和性质，正弦函数的零点与极值，列出不等式转化求解ω的取值范围．
【解答】解：时，，
函数在上存在极值点，
故该极值点满足 ，所以，
由于函数在上单调，故最小正周期，解得ω≤1，
所以 ，
当时，，则当x＝π时，，解得：，
综上所述：，
即ω的取值范围是 ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17．（2023•株洲一模）已知f（x）＝sinωx（ω∈N+），若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，则ω可以为 5（答案不唯一） ．（填一个值即可）
【分析】利用正弦函数的性质可得≥，解之可得答案．
【解答】解：f（x）＝sinωx≤1，ω∈N+，
若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，
则在区间上f（x）至少存在两个最大值，
∴≥，
∴ω≥5，又ω∈N+，
∴ω可以为5，
故答案为：5（答案不唯一）．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质的应用，考查理解能力与运算能力，属于中档题．
18．（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，则φ＝（ ）
A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ+（k∈Z）
C．2kπ﹣（k∈Z）D．2kπ﹣（k∈Z）
【分析】由题意，可得函数f（x）的一条对称轴为x＝0，即φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．再检验选项，可得结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ），f（）＝f（﹣）＝，
∴函数f（x）的一条对称轴为x＝0，即sinφ＝1或sinφ＝﹣1，故φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．
∴sin（+φ）＝sin（﹣+φ）＝①．不妨k＝0时，
φ＝时，①不成立；当φ＝﹣时，①成立，
故φ＝2kπ﹣（k∈Z），
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
19．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
20．（2022•甲卷）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]
【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得ω的取值范围．
【解答】解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；
函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，
ωx+∈（，ωπ+），
∴＜ωπ+≤3π，
求得＜ω≤，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．
21．（2023•金昌二模）若函数，又A（α，2），B（β，0）是函数f（x）的图象上的两点，且|AB|的最小值为，则的值为 ﹣1 ．
【分析】先根据最大值点和对称中心的最小距离求出周期，再求出函数解析式，代入解析式结合诱导公式及特殊角的函数值求解即可．
【解答】解：因为A（α，2），B（β，0），所以|AB|＝，则，
所以，此时点A、B为函数上相邻的最高点和对称中心，
所以，所以，解得ω＝1，所以，
所以．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，属于中档题．
22．（2023•榆林三模）已知函数f（x）＝tan2x与的图象在区间[﹣π，π]上的交点个数为m，直线x+y＝2与f（x）的图象在区间[0，π]上的交点的个数为n，则m+n＝ 6 ．
【分析】直接利用正弦型函数和正切型函数的图象和性质求出交点的个数．
【解答】解：函数f（x）＝tan2x与的图象在区间[﹣π，π]上的图象，
如图所示：
故函数f（x）＝tan2x与函数g（x）＝sin（x﹣）在区间[﹣π，π]上的图象上交点的个数为3，即m＝3，
直线x+y＝2与f（x）的图象在区间[0，π]上的交点的个数为3，即n＝3，
故m+n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数和正切型函数的图象，主要考查学生的理解能力和画图能力，属于中档题．
23．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的．
（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
（2）若f（x）在上有且仅有一个零点，求ω的取值范围．
【分析】（1）由三角函数的图象变换及对称性质即可判定；
（2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可．
【解答】解：（1）若f（x）的最小正周期为π，则，得ω＝2，
所以，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
取k＝0，得，取k＝﹣1，得，
因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为．
（2）由已知得，
令，k∈Z，解得，k∈Z．
因为f（x）在上有且仅有一个零点，所以（k∈Z），
所以，
因为ω＞0，所以，解得，k∈Z，所以k＝1，
解得，
即ω的取值范围为．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
七．正弦函数的单调性（共7小题）
24．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
【分析】根据正弦函数的性质和对称轴的几何意义求解．
【解答】解：函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））一条对称轴为，
∴，∴，
y＝sin（ωx+φ）的对称轴可以表示为，
令k＝k2﹣k1，则在上单调，
则∃k∈Z，使得解得，由，得k≤3，
当k＝3时，ω取得最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦函数的性质，属于中档题．
25．（2023•湖南模拟）已知函数，x∈R，若，且f（x）在上单调递增，则ω的值为 2 ．
【分析】将f（x）的解析式化为正弦型函数，然后根据求出ω的值，根据f（x）在上单调递增求出ω的范围，即可得答案．
【解答】解：，
由，得，
故，∴ω＝12k+2，k∈Z，
又f（x）在上单调递增，∴，又ω＞0，
∴，故当k＝0时，ω＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查正弦函数的单调性，属于中档题．
26．（2023•吉林模拟）规定：设函数f（x）＝Max{sinωx，csωx}（ω＞0），若函数f（x）在上单调递增，则实数ω的取值范围是 ．
【分析】讨论f（x）＝csωx（ω＞0）和f（x）＝sinωx（ω＞0）的条件，时，，根据正余弦函数的单调区间解不等式即可．
【解答】解：函数f（x）＝Max{sinωx，csωx}（ω＞0），
当时，f（x）＝csωx（ω＞0），
当时，f（x）＝sinωx（ω＞0），时，，f（x）在上单调递增，
则有或，
解得，当k＝0时，有解；
或，当k＝1时，有解．
实数ω的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．
27．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 增 （填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 9个 ．
【分析】利用已知可得﹣（﹣）≤T，即≤，进而由f（）＝sin（ω+）＝0，确定ω的值，进而可判断f（x）在上单调递增，利用函数的图象的交点个数可得函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数．
【解答】解：∵函数在上具有单调性，
∴﹣（﹣）≤T，即≤，∴0＜ω≤，又∵f（）＝sin（ω+）＝0，∴ω+＝kπ（k∈Z），
即ω＝﹣，k∈Z，只有k＝1时，ω＝3符合要求，此时f（x）＝sin（3x+），
当x∈时，3x+∈（﹣，），∴f（x）在上单调递增，
作出函数y＝f（x）与y＝lgx的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，
∴函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个．
故答案为：增；9个．
【点评】本题考查求函数的解析式，判断函数的单调性，方程函数的零点的个数，属中档题．
28．（2023•汕头二模）已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若，求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数f（x）的定义域；
（2）先化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）tan2x﹣tanx≠0，即，则tanx≠0，即x≠kπ，k∈Z，
又tan2x，tanx有意义，则，k∈Z，
综上可得，，k∈Z，则函数f（x）的定义域为；
（2）＝＝＝＝＝＝＝＝；
∵，则，
由，解得，
由，解得，
即f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．
29．（2023•南京二模）已知f（x）＝sinωx﹣csωx，ω＞0．
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f（）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于（，0）对称，且函数f（x）在[0，]上单调，求ω的值．
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据条件求出函数的周期和ω即可．
（2）根据函数的对称性和单调性建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝sinωx﹣csωx＝2（sinωx﹣csωx）＝2sin（ωx﹣），
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
则，即T＝π，则，得ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x﹣），
则f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin（3π﹣）＝2sin（π﹣）＝2sin＝．
（2）函数f（x）的图象关于（，0）对称，
则ω﹣＝kπ，k∈Z，
即ω＝3k+1，k≥0，
∵函数f（x）在[0，]上单调，
∴ωx﹣∈[﹣，ω﹣]，则满足ω﹣≤，即ω≤，得ω≤，
则当k＝0时，ω＝1满足条件，k＝1时，ω＝4，不满足条件．
即ω＝1．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，利用周期和单调性，奇偶性建立方程是解决本题的关键，是中档题．
30．（2023•全国）已知函数，则（ ）
A．上单调递增B．上单调递增
C．上单调递减D．上单调递增
【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．
【解答】解：，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
当k＝0时，，
故f（x）在（﹣，）上单调递增．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
八．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
31．（2023•四川模拟）写出曲线的一条对称轴的方程： x＝ ．
【分析】由题意，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于曲线，令﹣＝kπ+，k∈Z，求得x＝2kπ+，k∈Z，
令k＝0，可得它的一条对称轴的方程为x＝．
故答案为：x＝．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
32．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），若是函数y＝f（x）的图像的一条对称轴，是函数y＝f（x）的图像的一个对称中心，则ω的最小值为 ．
【分析】根据题意，由正弦型函数的对称性列出方程，即可得到ω，从而得到结果．
【解答】解：根据题意可得，ω×+φ＝，ω×（﹣）+φ＝k2π，k1，k2∈Z，
＝，k∈Z，
又ω＞0，故ωmin＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．
九．余弦函数的图象（共5小题）
33．（2023•绵阳模拟）已知函数f（x）＝4cs（2x+）﹣3，则f（x）在（﹣，）上的零点个数为 2 ．
【分析】由题意，本题即求函数y＝cst，t∈（ 0，）和直线y＝交点的个数，数形结合，可得结论．
【解答】解：∵函数
的零点个数，即方程cs（2x+）＝的
实数根的个数．
当x∈时，
t＝2x+∈（ 0，），
本题即求函数y＝cst，t∈（ 0，）和直线y＝交点的个数．
由于cs＝＞，
故函数y＝cst，t∈（ 0，）图中蓝色曲线和直线y＝交点的个数为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
34．（2023•安康模拟）已知函数f（x）＝csωx（ω＞0）的图象关于点对称，且在区间单调，则ω的一个取值是 1或3或5或7（写出其中一个即可） ．
【分析】由f（x）的图象关于对称，求得ω＝1+2k，k∈Z，再结合三角函数的性质，求得ω的范围，即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）＝csωx的图象关于对称，可得，
解得，所以ω＝1+2k，k∈Z，
又因为f（x）在区间上单调，可得，
结合余弦函数的性质，可得，
解得0＜ω≤8，
所以ω＝1或3或5或7．
故答案为：1或3或5或7（写出其中一个即可）．
【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
35．（2023•山东模拟）若G（x，y）是函数y＝csx图象上的任意一点，则是函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上的相应的点，那么＝ 0 ．
【分析】由条件求出A，ω，φ，由此确定函数f（x）的解析式，再求．
【解答】解：因为点G（x，y）在y＝csx的图象上，
则在f（x）＝Acs（ωx+φ）的图象上，
所以y＝csx，，
所以，
由已知恒成立，又A＞0，ω＞0，
所以A＝2，ω＝1，即恒成立，
所以，又0＜φ＜π，
所以
所以，
于是．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
36．（2023•拉萨一模）已知函数在[﹣π，0]上有且仅有两个零点．若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），对任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，则满足条件的m的个数为 1或2 ．
【分析】已知条件求出ω的取值范围，由题意f（m）为f（x）在[0，π]上的最小值，由的范围，确定函数取最小值时点的个数．
【解答】解：函数在[﹣π，0]上有且仅有两个零点，
ωx+∈[﹣ωπ，]，
∴由余弦函数的图象得﹣＜﹣ωπ≤﹣，求得．
若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），
对任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，
即f（m）≤f（x）≤f（n）恒成立，f（m）为f（x）在[0，π]上的最小值，
x∈[0，π]，ωx+∈[，ωπ+]，由，，
由余弦函数的性质可得，时，f（x）在[0，π]上有1个最小值点，即m的个数为1；
时，f（x）在[0，π]上有2个最小值点，即m的个数为2．
则满足条件的m的个数为1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了余弦函数的图像和性质，重点在函数的零点个数和最值个数，属中档题．
37．（2023•承德模拟）已知ω＞1，函数．
（1）当ω＝2时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间上单调，求ω的取值范围．
【分析】（1）由题意，利用余弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（2）由题意，分类讨论函数的单调性，分别求出ω的范围，综合可得结论．
【解答】解：（1）当ω＝2时，f（x）＝cs（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，
求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）若f（x）＝cs（ωx﹣） 在区间上单调递增，ωx﹣∈[﹣，﹣]，
则﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z，
求得12k﹣4≤ω≤6k+1，
再结合ω＞1，可得ω无解．
若f（x）＝cs（ωx﹣） 在区间上单调递增减，ωx﹣∈[﹣，﹣]，
则﹣≥2kπ，﹣≤2kπ+π，k∈Z，
求得12k+2≤ω≤6k+4，k∈Z．
令k＝0，可得2≤ω≤4．
综上可得，ω的范围为[2，4]．
【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于中档题．
一十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
38．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝（csx≠0）的一个对称中心为 （﹣，0） （答案不唯一）．
【分析】法一：根据题意得定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，且csx≠0，f（x）＝＝﹣tan（x+），根据正切函数的图象与性质可得答案；
法二：根据题意得定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，利用辅助角公式可得f（x）＝＝﹣tan（x+），根据正切函数的图象与性质可得答案．
【解答】解：法一：定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，且csx≠0，
∴f（x）＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z，
∴当k＝0时，则x＝﹣，故其中一个对称中心为（﹣，0）；
法二：定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，
f（x）＝＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z，
∴当k＝0时，则x＝﹣，
故其中一个对称中心为（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查三角函数的化简及性质，考查数学运算、直观想象等核心素养，属于中档题．
一十一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共7小题）
39．（2023•咸阳模拟）已知函数f（x）＝sinωxcsωx﹣ωx（ω＞0）的最小正周期为π，对于下列说法：
①ω＝1；
②f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）；
③将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称；
④．
其中正确的序号是 ①③④ ．
【分析】先化简为，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可．
【解答】解：，
对于①：因为T＝π，
∴，解得ω＝1，故①正确；
对于②：，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以单调递增区间为，k∈Z，故②错误；
对于③：将f（x）图象向左平移个单位得到，
关于y轴对称，故③正确；
对于④：
＝，所以④正确．
故选：①③④．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
40．（2023•乌鲁木齐三模）已知函数的部分图象如图所示，若将函数f（x）图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则的值为 ．
【分析】由函数图象求得参数A，ω，φ，可得f（x）的解析式，根据图象的平移变换求出g（x）的解析式，即可求得答案．
【解答】解：由f（x）的图象可知，
∴T＝π，∴，
∴f（x）＝sin（2x+φ），又，
则∴，
'∴，而，故，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的图象性质，三角函数的图象变换，属中档题．
41．（2023•龙岩模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），且a≠b．
（1）求c；
（2）把y＝sinx的图象向右平移个单位长度，再把所得图象向上平移c个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在x∈（0，π）上恰有两个极值点，求ω的取值范围．
【分析】（1）先用正弦定理将角化成边，再用余弦定理即可求解；
（2）先由函数的图象变换得出函数y＝f（x）的解析式，再结合函数y＝f（ωx）的图象特点即可求解．
【解答】解：（1）因为asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），
所以asinA﹣bsinB＝2sinAcsB﹣2csAsinB，
由正弦定理得a2﹣b2＝2acsB﹣2bcsA，
由余弦定理得．
即，因为a≠b，所以c＝2，
（2））由（1）知c＝2，y＝sinx的图象向右平移个单位得的图象，
再把所得图象向上平移c个单位长度，得到的图象，
所以．
令，则f（ωx）＝g（t）＝sint+2，
∵x∈（0，π），∴
在x∈（0，π）上恰有两个极值点，
由g（t）＝sint+2的图象可知，，∴，
所以ω的取值范围是．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
42．（2023•济南三模）已知f（x）＝sinωx（ω＞0），其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象．
（1）求函数y＝g（x）的解析式及图象的对称中心；
（2）在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，求的取值范围．
【分析】（1）根据f（x）的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出ω，再根据图像平移得到y＝g（x），由对称中心公式求得结果；
（2）由 得出A，B，C三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简，再利用导数求函数单调区间得出结果．
【解答】解：（1）已知f（x）的图象相邻对称轴间的距离为，则T＝π．
由周期公式得，T＝＝π，ω＞0，所以 ω＝2，f（x）＝sin2x，
，令 ，
所以，故函数y＝g（x）的对称中心为；
（2）由题意得，，，
所以，所以 或 （舍），
所以，因为在钝角△ABC中，所以0＜A＜，0＜C＜，
所以0＜A＜，则＝+
＝＝4csA+，
令t＝csA，φ（t）＝4t+，t∈（，1），φ'（t）＝4﹣，
当＜x＜，时φ'（t）＜0；当＜x＜1时，φ'（t）＞0，
可得φ（t）在 单调递减，在 单调递增．
所以当，即 时，φ（t ）有最小值4，
φ（）＝5，φ（1）＝7，所以 ，
故．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
43．（2023•济宁二模）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围．
【分析】（1）先化简f（x），根据正弦函数的周期性，即可得出答案；
（2）根据三角函数图象的平移变换和对称性求出φ、g（x），再由三角函数的性质求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）＝，
∵，∴，
∴当，即时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间为；
（2）由题意得，
∵函数g（x）的图象关于点成中心对称，
∴，解得，
∵，∴，
∴，
∴当时，，
又g（x）在上的值域为，
则．解得，
故α的取值范围为．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
44．（2022•甲卷）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．
【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，
则C对应函数为y＝sin（ωx++），
∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，k∈Z，
即ω＝2k+，k∈Z，
则令k＝0，可得ω的最小值是，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
45．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移个单位可得y＝2sin[3（x﹣）+]＝2sin3x的图象．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．
一十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题）
46．（2023•威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．
（1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．
【分析】（1）在△ABD、△CBD中分别利用正弦定理可得，再结合BC＝2AB即可证明；
（2）依题意求出sin∠ADB，即可得到cs∠ADC，利用余弦定理求出AC，即可求出周期，从而求出ω，利用勾股定理求出BD，即可求出D点坐标即可求出M，再根据函数图象及偶函数求出φ，即可得解．
【解答】证明：（1）在△ABD中，由正弦定理可得，
在△CBD中，由正弦定理可得，
又∠ABD+∠DBC＝π，所以sin∠ABD＝sin∠DBC，
所以，又BC＝2AB，
所以2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC．
（2）解：因为，CD＝2，，且2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC，
所以，所以，
在△ACD中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在Rt△BCD中，
又，则∠CBD＝30°，所以，
则xD＝BDcs30°﹣1＝2，
所以，则，
，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
47．（2023•全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中f（x）的图像与x轴的一个交点的横坐标为﹣．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在区间上存在零点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用图像分别求出A，ω，φ；
（2）利用分离常数法得到a＝f（x），求出f（x）在区间上的值域，即可求解．
【解答】解：（1）由图知：A＝2.，所以T＝π，所以，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
由，且0＜φ＜，
所以，
所以；
（2）令g（x）＝0得：f（x）＝a，
对于，，
则，
由y＝2sint的图像和性质可得：在区间上的值域为，
所以函数g（x）＝f（x）﹣a在区间上存在零点，有．
【点评】本题主要考查了由正弦函数的性质求解函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
48．（2023•南昌二模）如图是函数的部分图象，已知．
（1）求ω；
（2）若，求φ．
【分析】（1）设A（x0，0），则，再根据求得周期T，即解；
（2）根据结合三角恒等变换化简计算即可得解．
【解答】解：（1）设A（x0，0），函数的最小正周期为T，则，
则，
故，解得T＝4（负值舍去），
所以，所以；
（2）由（1）得，
，得，
即，
所以，
又因，则，
所以，所以．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
一十三．三角函数的最值（共2小题）
49．（2023•佛山模拟）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为 （，+∞） ．
【分析】根据辅助角公式以及二倍角公式对解析式进行整理，再借助于余弦函数的性质即可求解结论．
【解答】解：∵函数＝4sin2（x+）﹣2＝﹣2cs（2x+），
当x∈时，
2x+∈[，2a+），
∵函数在区间上存在最大值，
∴2a+＞π，可得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查转化思想以及计算能力．
50．（2023•芜湖模拟）已知函数f（x）＝asin2x+cs2x，且．
（1）求f（x）的最大值；
（2）从①②中任选一个作答．若选择多个分别作答．按第一个解答计分．
①A为函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C为函数f（x）图象的最高点或者最低点，求△ABC面积的最小值．
②O为坐标原点，复数z1＝﹣2﹣4i，z2＝﹣2+f（t）i在复平面内对应的点分别为A，B，求△OAB面积的取值范围．
【分析】（1）由已知可得，当x＝时函数f（x）取到最值，列方程解出a，代入f（x），进而可得f（x）的最大值；
（2）若选①：分B，C对应的f（x）同为最大值或最小值和B，C对应的f（x）一个为最大值，另一个为最小值两种情况讨论，分别利用三角形的面积公式求解，可得△ABC面积的最小值；若选②：由复数的几何意义，得出A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），再由三角形的面积公式结合正弦函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵f（x）≤|f（﹣）|，即当x＝时函数f（x）取到最值，
又f（x）＝asin2x+cs2x＝，其中tanφ＝（a≠0），
∴[f（﹣）]2＝a2+1，代入得[asin2（﹣）+cs2（）]2＝a2+1，
即（）2＝a2+1，解得（a+）2＝0，∴a＝﹣，
f（x）＝﹣sin2x+cs2x＝﹣2sin（2x﹣），
当2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值2；
（2）由（1）可得：f（x）＝﹣2sin（2x﹣），
选①：可得T＝＝π，
当B，C对应的f（x）同为最大值或最小值时，
得S△ABC＝A•kT≥＝；
当B，C对应的f（x）一个为最大值，另一个为最小值时，
得S△ABC＝≥＝π；
综上：△ABC面积的最小值为π；
选②：由复数的几何意义知：A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），
∴S△ABC＝＝|f（t）+4|＝﹣2sin（2x﹣）+4，
当2x﹣＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z时，S△OAB有最大值6；
当2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z时，S△OAB有最小值2；
∴S△OAB∈[2，6]．
【点评】本题考查三角函数的最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
一十四．两角和与差的三角函数（共5小题）
51．（2023•天津一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝1，c＝2，sinB＝2sinA．
（1）求csC的值；
（2）求sinA的值；
（3）求sin（2C﹣A）的值．
【分析】（1）利用正弦边角关系及余弦定理求值即可；
（2）由同角三角函数关系及正弦定理求值即可；
（3）应用二倍角公式求2C对应函数值，再由差角正弦公式求值即可．
【解答】解：（1）由sinB＝2sinA及正弦定理得：b＝2a，
∴b＝2，
由余弦定理得；
（2）由（1）知：，
由正弦定理，得；
（3）由，且，
∵a＜b，即A＜B，∴，
∴．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．
52．（2023•天津模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a＞c），已知bcsC＝（3a﹣c）csB，．
（1）求csB；
（2）求a，c的值；
（3）求sin（B﹣C）的值．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，得解
（2）由csB＝，可得sinB的值，再结合三角形的面积公式与余弦定理，得关于a和c的方程组，解之即可；
（3）将（1）（2）所得结果代入已知条件中，求得csC的值，从而知sinC的值，再由两角差的正弦公式，展开运算，得解．
【解答】解：（1）由正弦定理及bcsC＝（3a﹣c）csB知，sinBcsC＝（3sinA﹣sinC）csB，
所以3sinAcsB＝sinBcsC+csBsinC＝sin（B+C）＝sinA，
因为sinA≠0，所以csB＝．
（2）由（1）知，csB＝，
因为B∈（0，π），所以sinB＝＝，
所以S△ABC＝acsinB＝ac•＝4，即ac＝12①，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accsB，
所以32＝a2+c2﹣2•12•，即a2+c2＝40②，
又a＞c，所以由①②解得，a＝6，c＝2．
（3）因为bcsC＝（3a﹣c）csB，
所以4csC＝（3×6﹣2）×，即csC＝，
因为C∈（0，π），所以sinC＝＝，
所以sin（B﹣C）＝sinBcsC﹣csBsinC＝×﹣×＝．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）53．（2023•海口模拟）已知锐角α，β，γ满足α+β+γ＝π，则（ ）
A．tanα，tanβ可能是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根
B．若α＞β，则sinα＞sinβ
C．
D．tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ
【分析】由tanα，tanβ的符号即可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C；用两角和的正切公式的变形可判断D．
【解答】解：因为α，β为锐角，所以tanα＞0，tanβ＞0，若tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，
由韦达定理得tanα•tanβ＝﹣4＜0，故A错误；
因为α，β为锐角，且α＞β，函数y＝sinx在上单调递增，则sinα＞sinβ，故B正确；
因为α，β为锐角，所以csα＞0，csβ＞0，
故，C错误；
因为，所以tan α+tanβ＝tan（α+β）（1﹣tanα•tanβ），
又α+β+y＝π，所以 tan（α+β）＝tan（π﹣γ）＝﹣tanγ，
所以tan α+tanβ+tanγ＝tan（α+β）（1﹣tanα•tanβ）+tany＝﹣tanγ（1﹣tanα•tanβ）+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查三角函数的性质，两角和差公式，属于中档题．
54．（2023•杭州模拟）已知锐角α，β满足，，则α+β＝ ．
【分析】利用两角和差的正切公式进行转化求解即可．
【解答】解：∵，∴+β＝，
则tan（+β）＝tan，即＝，
∵，∴tan+tanβ＝3﹣，
则tan，tanβ是x2﹣（3﹣）x+2﹣＝0两个根，
得方程的两个根为x＝1或x＝2﹣，
若tan＝1，则＝，即α＝，不满足条件．
则tanβ＝1，tan＝2﹣，
即tanα＝＝＝，
∵锐角α，β，∴α＝，β＝，∴α+β＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．
55．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1
【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求α﹣β，进而可求．
解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cs（α+）sinβ，
即sin（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ+sinβcs（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ﹣sinβcs（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由题意可得，sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ﹣sinαsinβ＝2（csα﹣sinα）sinβ，
即sinαcsβ﹣csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cs（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
一十五．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
56．（2023•安徽模拟）已知函数为奇函数，且其图象相邻两对称轴间的距离为．
（1）求ω和φ；
（2）当时，记方程的根为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求的范围．
【分析】（1）根据三角恒等变换得，再利用相邻对称轴的距离求出ω，根据其为奇函数，利用f（0）＝0即可求出φ；
（2）由（1）得，利用整体换元法和三角函数图象知m∈[0，1]，再根据三角函数的对称性和周期性得，x3﹣x1＝π，最后即可得其范围．
【解答】解：（1）
＝
＝，
∵函数f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为，
∴T＝π，可得．
又∵函数为奇函数，
∴，则，k∈Z，解得．
由，得．
此时f（x）＝sin2x，易知其为奇函数．
（2）由（1）知，，即．
因为，所以，
结合正弦函数图象知，，即m∈[0，1]．
且，，
则，x3﹣x1＝π，
故．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
一十六．三角函数应用（共4小题）
57．（2023•宝鸡三模）我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝5，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次数最多为（ ）
A．19B．40C．20D．41
【分析】根据已知条件确定ω，根据t的范围，确定t+φ的范围，则 分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的最多次数，等价于1分钟内y＝sin（t+φ）＝0的最多次数，由此即可求．
【解答】解：因为t1+t2＝2，t2+t3＝5，t3﹣t1＝T，所以T＝3．
又T＝，所以ω＝，则y＝sin（t+φ），
由0≤t≤60，则φ≤t+φ≤40π+φ，
所以 1 分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的最多次数，
等价于1分钟内y＝sin（t+φ）＝0的最多次数，
等价于区间[φ，40π+φ]里包含kπ（k∈Z）的最多次数，
又|φ|＜π，则区间[φ，40π+φ]里包含了0，π，2π，3π，…，39π或π，2π，3π，…，40π，
所以区间[φ，40π+φ]里包含kπ（k∈Z）的最多次数为40．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
58．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意求得以OM为终边的角，得出M的纵坐标，再求得盛水筒M距离水面的高度H与时间t之间的函数关系式，由此得出函数的图象．
【解答】解：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t（s） 内转过的角为t＝t，
所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t﹣，
则点M的纵坐标为4sin（t﹣），
所以点M距水面的高度H（m）表示为时间 t（s） 的函数是H＝4sin（t﹣）+2，
所以高度H与时间t之间的函数关系式图象可能是选项D中所画图象．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
59．（2023•广东模拟）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为，在旋转圆面的右侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）记旋转角为θ，若θ∈（（2n+1）π，2（n+1）π）（n∈N），求t的取值范围及弦AB的长度；
（2）在（1）的条件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的长．
【分析】（1）延长AO，交⊙O于点D，计算旋转一周所需时间，第一次到达D处时的时间和第二次到达D处的时间，由此求出t的取值范围，在△AOB中，利用余弦定理求出AB的值．
（2）求出t＝100时AB的值，再由余弦定理求得∠ABC，从而求出∠OBC，利用余弦定理即可求得OC的长．
【解答】解：（1）延长AO，交⊙O于点D，由题意知，B在下半圆上，旋转一周所需时间为T＝＝60（s），
第一次到达D处时t＝30s，30＜t＜60时，O、C在AB的异侧，
第二次到达D处时，t＝（30+60）s，所以t∈（30+60n，60+60n），n∈N；
又因为t+∠AOB＝2（n+1）π，所以∠AOB＝2（n+1）π﹣t，
在△AOB中，由余弦定理得，
AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cs∠AOB＝52+52﹣2×5×5×cs[（2n+2）π﹣t]＝50﹣50cst＝50[1﹣（1﹣2sin2t）]＝100sin2t，
所以AB＝10|sint|．
（2）t＝100s，BC＝8时，AB＝10|sin（×110）|＝5，
在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC＝＝＝，
因为0＜∠ABC＜π，所以∠ABC＝，
又因为∠OBC＝∠ABC+∠OBA＝，
在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2+BC2﹣2OB•BC•cs∠OBC＝52+82﹣2×5×8×（﹣）＝129，
所以OC＝，即OC＝m．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．
60．（2023•南昌一模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化人们可以利用潮汐进行港口货运．某港口具体时刻t（单位：小时）与对应水深y（单位：米）的函数关系式为y＝3sint+10（0≤t≤24）某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为 6 ．
【分析】设距离为f（t），由题意可求f（t）＝3sint+t+，t∈[2，10]，求导可得f′（t）＝cst+，可得f（t）在（2，t1），（t2，10）单调递增，（t1，t2）单调递减，又f（2）＝+3＞4.5，f（6）＝4.5，f（10）＝6﹣＜4.5，即可求解该船第一次停止卸货的时刻为6点．
【解答】解：船底与海底距离等于水深减去吃水深度，设距离为f（t），
则f（t）＝3sint+10﹣[7﹣0.375（t﹣2）]＝3sint+t+，t∈[2，10]，
可得f′（t）＝cst+，
所以f′（3）＝＞0，f′（6）＝﹣＜0，f′（9）＝＞0，
所以∃t1∈（2，6），t2∈（6，10），使得f′（t1）＝f′（t2）＝0，t∈（2，t1）∪（t2，10），f′（t）＞0，t∈（t1，t2），f′（t）＜0，
所以f（t）在（2，t1），（t2，10）单调递增，（t1，t2）单调递减，
又f（2）＝+3＞4.5，f（6）＝4.5，f（10）＝6﹣＜4.5，
所以2≤t≤6时，f（t）≥4.5，则该船第一次停止卸货的时刻为6点．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题，解决本题的关键在于求出函数解析式，考查了函数思想，属于中档题．