2023-2024学年福建省莆田二中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田二中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题．，多选题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知椭圆，则该椭圆的离心率
A．B．C．D．
2．（5分）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为
A．B．C．D．
3．（5分）若圆与圆有3条公切线，则
A．B．3C．5D．3或
4．（5分）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的焦距为
A．8B．10C．12D．16
5．（5分）已知圆，圆，动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为
A．B．C．D．
6．（5分）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别、，当最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
7．（5分）如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
8．（5分）长方体中，，，上底面的中心为，当点在线段上从移动到时，点在平面上的射影的轨迹长度为
A．B．C．D．
二、多选题．
9．（5分）已知直线，，则下列结论正确的是
A．若，则B．若，则或
C．若，则D．若，则
10．（5分）下列结论不正确的有
A．如果，，那么直线不经过第三象限
B．过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为
C．直线在轴的截距为
D．直线的倾斜角为
11．（5分）已知直线与圆相交于，两点，为坐标原点，下列说法正确的是
A．的最小值为
B．若圆关于直线对称，则
C．若，则或
D．若，，，四点共圆，则
12．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．椭圆离心率为D．面积最大值为
三、填空题．
13．（5分）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 ．
14．（5分）设m∈R，过定点A的动直线2x+my+6＝0和过定点B的动直线mx﹣2y﹣m+6＝0交于点P（x，y），则|PA|2+|PB|2的值是 ．
15．（5分）已知四面体棱长均为2，点，分别是，的中点，则 ．
16．（5分）直线与曲线恰有2个公共点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题．
17．（10分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，．
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线的方程．
18．（12分）如图，菱形中，，，为平面外一点，且平面平面，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若△为等边三角形，求点到平面的距离．
19．（12分）已知点，点在双曲线上．
（1）求的最小值，并求出此时求点的坐标；
（2）直线与交于点（异于点，若原点在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围．
20．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
21．（12分）某沿海城市市气象观测站测定，在市正南方向公里的海面上生成台风，并且台风中心正以20公里小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里．
（1）经过多少小时市受到台风影响？影响时间多长？
（2）若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里小时的速度缩小，则台风影响市的持续时间为多少小时？
22．（12分）已知椭圆且四个点、、、中恰好有三个点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且，证明：直线与定圆相切，并求出的值．
参考答案
一、单选题．
1．（5分）已知椭圆，则该椭圆的离心率
A．B．C．D．
解：因为椭圆的方程为，
即，故，又，
故．
故选：．
2．（5分）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为
A．B．C．D．
解：因为，故，
因此，故即，
故即，故，
而，
故，的夹角为．
故选：．
3．（5分）若圆与圆有3条公切线，则
A．B．3C．5D．3或
解：因为两圆有3条公切线，所以两圆的位置关系为外切，
则圆心距等于两圆半径之和，
即，解得或，
故选：．
4．（5分）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的焦距为
A．8B．10C．12D．16
解：由，则该双曲线的渐近线方程为，
不妨设直线被圆所截得的弦长为，
则，解得，所以，所以．
故该双曲线的焦距为．
故选：．
5．（5分）已知圆，圆，动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为
A．B．C．D．
解：由已知可得圆的圆心为，半径为5，圆的圆心为，半径为1，
如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心的轨迹为以，为焦点的椭圆，设，
则，，解得，，
故动圆圆心的轨迹方程为．
故选：．
6．（5分）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别、，当最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由切线性质得，，，，四点共圆，且．
所以，
而，则当直线时，最小，即最小，即最小，
所以此时直线的方程为，即，
故选：．
7．（5分）如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
解：依题意，平面截球得球面大圆，如图，△是球大圆的外切三角形，其中，切圆于点，，
显然，而，则，又，有，
由圆的切线性质知，，
在△中，，则，于是得椭圆长轴长，即，
又为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为，即有，因此，
所以椭圆的离心率．
故选：．
8．（5分）长方体中，，，上底面的中心为，当点在线段上从移动到时，点在平面上的射影的轨迹长度为
A．B．C．D．
解：如图所示，以，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，
易证明平面，则面面，
且有：，，，设，
由，可得：，
整理可得：，
点在平面上的射影的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，
，
三角形是等边三角形，即，
圆弧的长．
故选：．
二、多选题．
9．（5分）已知直线，，则下列结论正确的是
A．若，则B．若，则或
C．若，则D．若，则
解：令，解得或，
当时，与重合，当时，，故正确，错误，
若，则，解得，故正确，错误．
故选：．
10．（5分）下列结论不正确的有
A．如果，，那么直线不经过第三象限
B．过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为
C．直线在轴的截距为
D．直线的倾斜角为
解：对于，易得，直线方程可化为，，，与符号相反，与符号相反，
则与符号相同，直线的斜率，在轴上的截距，直线不经过第三象限，选项正确；
对于，当在轴上的截距不为0时，由题可设直线方程为，
因为点在直线上，则，
所以直线方程为，即，
当在轴上的截距为0时，直线过原点，可设直线方程为，
因为点在直线上，，
所以直线方程为，即，选项错误；
对于，已知直线，
当时，，
直线在轴的截距为1，选项错误；
对于，直线可化为，
设倾斜角为，则，
而，，所以，选项错误．
故选：．
11．（5分）已知直线与圆相交于，两点，为坐标原点，下列说法正确的是
A．的最小值为
B．若圆关于直线对称，则
C．若，则或
D．若，，，四点共圆，则
解：直线过点，
圆，即①，
圆心为，半径为，
由于，所以在圆内．，
所以，此时，所以选项正确．
若圆关于直线对称，则直线过，两点，斜率为，所以选项错误．
设，则，此时三角形是等腰直角三角形，
到直线的距离为，即，
解得或，所以选项正确．
对于选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
，的中点为，，
所以的垂直平分线为，，则②，
圆的方程为，
整理得③，
直线是圆和圆的交线，
由①②并整理得，
将代入上式得，④，
由②④解得，，
所以直线即直线的斜率为，选项正确．
故选：．
12．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．椭圆离心率为D．面积最大值为
解：由题意，可得，
根据椭圆的定义，可知
，则的最大值为5，
根据椭圆的性质，可知当轴时，最小，此时最大，如图：
将代入椭圆方程，得，
则．
所以短轴长为，错误；此时，正确；，正确；
对，设，，，，
，代入椭圆方程，得，
则，所以，
记，
于是，
因为函数在，上是增函数，
所以函数在，上是减函数．
所以当，即时，面积最大值为3，故错误．
故选：．
三、填空题．
13．（5分）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 ．
解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
14．（5分）设m∈R，过定点A的动直线2x+my+6＝0和过定点B的动直线mx﹣2y﹣m+6＝0交于点P（x，y），则|PA|2+|PB|2的值是 25 ．
解：直线2x+my+6＝0，整理成my＝﹣2x﹣6，则，即A（﹣3，0），
直线mx﹣2y﹣m+6＝0，整理成m（x﹣1）＝2y﹣6，则，即B（1，3），
又m∈R，过定点A的动直线2x+my+6＝0和过定点B的动直线mx﹣2y﹣m+6＝0始终垂直，P（x，y）为两条垂直直线的交点，
则有PA⊥PB，
所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝42+32＝25．
故答案为：25．
15．（5分）已知四面体棱长均为2，点，分别是，的中点，则 1 ．
解：四面体棱长均为2，
四面体为正四面体，
点，分别是，的中点，
，，
，
故答案为：1．
16．（5分）直线与曲线恰有2个公共点，则实数的取值范围为 ．
解：对于曲线而言，
当时，曲线为，
当时，曲线为，
因为直线为过定点斜率为的直线，
当曲线取上半部分时，曲线方程为：，
此时要让直线与上半部分有两个交点，故直线的斜率需小于渐近线斜率，
对于双曲线而言，，，故渐近线斜率为1，
故，
当曲线取下半部分时，曲线方程为，
此时要让直线与下半部分有两个交点，
故圆心到直线的距离小于半径，
可得：，
解得，
综上所述：的取值范围是，
故答案为：．
四、解答题．
17．（10分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，．
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线的方程．
解：（1）设圆的半径为，因为圆与直线相切，
，圆的方程为．
（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意；
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
连接，则，，，
则由得，直线为：，
故直线的方程为或．
18．（12分）如图，菱形中，，，为平面外一点，且平面平面，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若△为等边三角形，求点到平面的距离．
解：（1）取的中点，连结，，，
因为、为、的中点，
所以且，
又因为菱形，为中点，
所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）连结、，又因为菱形，，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为△为正三角形，
所以且，
如图建立以为原点，、、所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，取且，
所以到平面的距离，
即点到平面的距离为．
19．（12分）已知点，点在双曲线上．
（1）求的最小值，并求出此时求点的坐标；
（2）直线与交于点（异于点，若原点在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围．
解：（1）设，，则有，
则，
当时，，此时点的坐标为；
（2）由题知直线的斜率存在，故可设，，，，，
与双曲线方程联立得，，
则，
解得且，，，
，
依题意得，解得，
所以．
20．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
解：（1）证明：连接，
因为，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系：
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，
设，则，0，，
所以，2，，，1，，
所以，
所以．
（2）因为平面，
所以平面的一个法向量，0，，
由（1）知，，1，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，
令，则，，
所以，，，
所以，，
所以当，即时，面与面所成成的二面角得余弦值最大为，此时正弦值最小为．
21．（12分）某沿海城市市气象观测站测定，在市正南方向公里的海面上生成台风，并且台风中心正以20公里小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里．
（1）经过多少小时市受到台风影响？影响时间多长？
（2）若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里小时的速度缩小，则台风影响市的持续时间为多少小时？
解：（1）如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里小时的速度沿直线移动，
设经过小时台风到达点，则，，
依题意得：即，
整理得：，
所以（小时），所以经过20小时市受到台风影响，影响时间为20小时；
（2）依题意得：，
整理得：，解得，
所以（小时），所以台风影响市的时间为小时．
22．（12分）已知椭圆且四个点、、、中恰好有三个点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且，证明：直线与定圆相切，并求出的值．
解：（1）由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，则不在椭圆上，有在椭圆上，
因此，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，则点，
因，则，解得，即原点到直线的距离为，
当直线的斜率存在时，设直线，，，，，
由，消去并整理得：，
有△，，，
因，则，
整理得，满足△，
原点到直线的距离，
综上得：原点到直线的距离恒为，即直线与圆相切，
所以直线与定圆相切，．