2023-2024学年福建省莆田二十五中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年福建省莆田二十五中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“实数a=−1”是“函数f(x)=x2+2ax−3在(1,+∞)上具有单调性”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.函数f(x)=(x+1)|lg2x|−1的零点个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数，则满足f(2x−1)A. (13,23)B. [13,23)C. (12,23)D. [12,23)
4.已知函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=f(x) 3x−1的定义域为( )
A. (13,4)B. (13,2)C. (13,6)D. (13,1)
5.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0,π2]时，f(x)=csx，则f(5π3)的值为( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
6.已知函数f(x)=(a−1)x+a,x≥2,lga(x−1),1A. [25,12)B. (0,12)C. (0,23]D. (0,15]
7.已知sin(α+π6)=13，则sin(2α+5π6)的值为( )
A. −79B. −4 29C. 4 29D. 79
8.已知函数其中ω>0.若f(x)= 2sin(ωx+π4)，f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,4]B. (0,13]C. [52,3]D. (0,13]∪[52,3]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.以下四个命题，其中是真命题的有( )
A. 命题“∀x∈R，sinx≥−1”的否定是“∃x∈R，sinx<−1”
B. 函数f(x)=cs2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是π
C. 函数f(x)=lga(x−1)+1(a>0且a≠1)的图象过定点(2,1)
D. 若某扇形的周长为6cm，面积为2cm2，圆心角为α(0<α<π)，则α=1
10.已知函数f(x)=3cs(π2−2x)，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)在[−π4,π4]上是增函数D. f(x)的图象关于点(7π8,0)对称
11.已知x>0，y>0，且x+2y=4，则( )
A. lnx+lny≤ln2B. 2x+4y<8C. 1x+2y≥94D. ex2≥e8−4y2
12.已知函数f(x)=2−x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1x2+2)，则关于函数y=h(x)说法正确的是( )
A. 函数y=h(x)的图象关于原点对称B. 函数y=h(x)的图象关于y轴对称
C. 函数y=h(x)的最小值为1D. 函数y=h(x)在(0,1)上为减函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若用二分法求方程2x3+3x−3=0在初始区间(0,1)内的近似解，则第三次取区间的中点x3=______.
14.函数f(x)=lg12(−x2−x+6)的单调递减区间是______.
15.cs20∘cs40∘cs80∘的值为______.
16.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且当x>0时，其表达式为f(x)=x2+2x，则当x<0时，其表达式为f(x)=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值：
(Ⅰ)2723− (−3)2+lg336−2lg32；
(Ⅱ)已知tanα=12，求13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)的值.
18.(本小题12分)
已知不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−10的解集为集合A.
(1)求集合A；
(2)设全集为R，集合B={x|x2−mx+2<0}，若x∈A是x∈B成立的必要条件，求实数m的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinx2csx2−2 3sin2x2+ 3，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)设g(x)=f(x2+π6)，求函数g(x)在[−π,π]的单调递减区间.
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆的交点为P(x0,2 55).
(1)求tanα，cs2α；
(2)在①tanβ=34，②sin2β=85sinβ，③csβ2=3 1010这三个条件中任选一个条件补充在下面(把序号填在答题卡对应位置的横线上)并解答问题.
问题：已知β∈(0,π2)，_____，求2α−β.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+b2x为奇函数．
(1)求实数b的值，并用定义证明f(x)在R上的单调性；
(2)若不等式f(4x−2x+1+2)+f(2m+1)≤0对一切x∈[−2,2]恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=−(2m2−m−4)xm+32.
(1)若f(x)不是奇函数，解不等式f(5−3x)>f(x−1)；
(2)若f(x)是奇函数，且函数g(x)满足g(x+1x)=f(x)+1f(x)，求函数g(x)的解析式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x2+2ax−3开口向上，对称轴方程为x=−a，
当a=−1时，对称轴方程为x=−a=1，所以函数在(1,+∞)上单调递增，
所以“实数a=−1”是“函数f(x)=x2+2ax−3在(1,+∞)上具有单调性”的充分条件；
当函数f(x)=x2+2ax−3在(1,+∞)上具有单调性，因为函数的对称轴方程为x=−a，则−a≤1，解得a≥−1，
所以“实数a=−1”是“函数f(x)=x2+2ax−3在(1,+∞)上具有单调性”不必要条件．
综上所述：“实数a=−1”是“函数f(x)=x2+2ax−3在(1,+∞)上具有单调性”充分不必要条件．
故选：A.
分别讨论a=−1时，函数在给定区间上是否单调，及函数的给定区间上单调时，求出a的范围，可以判断结论．
本题考查充分必要的判断方法，二次函数的单调性的求法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵函数的定义域为{x|x>0}，
∴由f(x)=0，得|lg2x|=1x+1，
在坐标系中分别作出函数y=|lg2x|，y=1x+1的图象如图：
由图象可知两个函数只有2个交点，
∴函数f(x)=(x+1)|lg2x|−1的零点个数为2个．
故选：B.
由f(x)=0，得|lg2x|=1x+1，然后在坐标系中分别作出函数y=|lg2x|，y=1x+1的图象，利用图象观察函数零点的个数．
本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．
由函数的单调性的性质可得0≤2x−1<13，由此求得x的取值范围．
【解答】
解：∵函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数，则满足f(2x−1)∴0≤2x−1<13，解得12≤x<23，
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，即−3∴x+2∈(−1,6)，即f(x)的定义域为(−1,6).
又3x−1>0，∴x>13，取交集可得函数g(x)的定义域为(13,6).
故选：C.
由已知求得f(x)的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g(x)的定义域．
本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，属于基础题.
要求f(5π3)，则必须用f(x)=csx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0,π2]上，再应用其解析式求解．
【解答】
解：∵f(x)的最小正周期是π∴f(5π3)=f(5π3−2π)=f(−π3).
∵函数f(x)是偶函数，∴f(5π3)=f(π3)=csπ3=12.
故选：B.
6.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=(a−1)x+a,x≥2,lga(x−1),1∴a−1<00解得：0∴实数a的取值范围是：(0,23].
故选：C.
由分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
7.【答案】D
【解析】解：sin(2α+5π6)=sin[2(α+π6)+π2]=cs2(α+π6)=1−2sin2(α+π6)=1−2×(13)2=79.
故选：D.
以α+π6为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解．
本题主要考查了三角函数的二倍角公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对于f(x)= 2sin(ωx+π4)，由−π2+2kπ≤ωx+π4≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−3π4ω+2kπω≤x≤π4ω+2kπω,k∈Z，
可得函数f(x)的单调递增区间为[−3π4ω+2kπω,π4ω+2kπω],k∈Z.
因为f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增，所以T=2πω≥2(3π4−π2)=π2，所以0<ω≤4.
当k=0时，由f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增，可知−3π4ω≤π2π4ω≥3π4，得0<ω≤13.
当k=1时，由f(x)在区间(5π4ω,9π4ω)上单调递增，可知5π4ω≤π29π4ω≥3π4，解得32≤ω≤3.
当k=2时，由f(x)在区间(13π4ω,17π4ω)上单调递增，可知13π4ω≤π217π4ω≥3π4，无实数解．
易知，当k≤−1或k≥2时不满足题意．
综上，ω的取值范围为(0,13]∪[52,3].
故选：D.
由题意，利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：命题“∀x∈R，sinx≥−1”的否定是“∃x∈R，sinx<−1”故A正确；
对于B：函数f(x)=cs2x的图象中，函数的最小正周期为π，相邻两条对称轴之间的距离是π2，故B错误；
对于C：函数f(x)=lga(x−1)+1(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，故函数的图象过定点(2,1)，故C正确；
对于D：若某扇形的周长为6cm，面积为2cm2，圆心角为α(0<α<π)，故：12r2α=22r+rα=6，解得r=2α=1或r=1α=4则α=1或4，故D错误．
故选：AC.
直接利用命题的否定，函数的性质，对数函数经过的定点，扇形的周长和面积判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：命题的否定，函数的性质，对数函数经过的定点，扇形的周长和面积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据函数f(x)=3cs(π2−2x)=3sin2x，可得该函数为奇函数且最小正周期为2π2=π，故AB成立；
当x∈[−π4,π4]，2x∈[−π2,π2]，故f(x)在[−π4,π4]上是增函数，故C正确；
令x=7π8，求得f(x)=3 22，故它的图象不关于点(7π8,0)对称，故D错误，
故选：ABC.
由题意，利用诱导公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查诱导公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为x>0，y>0，且x+2y=4，
所以4=x+2y≥2 2xy，当且仅当x=2y=2，即x=2，y=1时取等号，
所以xy≤2，
所以lnx+lny=lnxy≤ln2，A正确；
2x+4y≥2 2x⋅4y=2 2x+2y=8，当且仅当x=2y，即x=2，y=1时取等号，B错误；
1x+2y=x+2y4x+x+2y2y=54+y2x+x2y≥54+2 y2x⋅x2y=94，当且仅当x=y=43时取等号，C正确；
x2+4y22≥(x+2y2)2=4，当且仅当x=2y，即y=1，x=2时取等号，
所以x2+4y2≥8，即x2≥8−4y2，
所以ex2≥e8−4y2，D正确．
故选：ACD.
由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：因为函数f(x)=2−x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，
所以g(x)=lg12x，则h(x)=g(1x2+2)=lg12(1x2+2)=lg2(x2+2)，x∈R，
h(−x)=lg2[(−x)2+2]=lg2(x2+2)=h(x)，
则函数y=h(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以B正确，A错误；
函数y=x2+2在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，函数y=h(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(0)=1，所以C正确，D错误．
故选：BC.
求出h(x)的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项．
本题主要考查反函数的应用，属于中档题．
13.【答案】58
【解析】解：设f(x)=2x3+3x−3，
则f(0)=−3<0，f(1)=2>0，f(0)⋅f(1)<0，
∴第一次取区间(0,1)的中点x1=12，
f(12)=−54<0，
∴f(12)⋅f(1)<0，
故f(x)的零点所在的区间为(12,1)，
第二次取区间(12,1)的中点x2=34，
f(34)=332>0，
∴f(12)⋅f(34)<0，
故f(x)的零点所在的区间为(12,34)，
∴第三次取区间(12,34)的中点x3=12+342=58.
故答案为：58.
根据零点存在定理及二分法求解即可．
本题主要考查二分法的定义与应用，考查转化能力，属于中档题．
14.【答案】(−3,−12)
【解析】解：根据题意，设t=−x2−x+6，y=lg12t，
有−x2−x+6>0，解可得−3即函数的定义域为(−3,2)，
若函数f(x)=lg12(−x2−x+6)的单调递减，而y=lg12t为减函数，
而t=−x2−x+6为增函数且t>0恒成立，
又由t=−x2−x+6，为开口向下的二次函数，其对称轴为x=−12，
满足t>0且递增的区间为：(−3,−12).
故函数f(x)=lg12(−x2−x+6)的单调递减区间为(−3,−12).
故答案为：(−3,−12).
根据题意，设t=−x2−x+6，则y=lg12t，先分析函数的定义域，再结合对数函数、二次函数的性质分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】18
【解析】解：cs20∘cs40∘cs80∘=8sin20∘cs20∘cs40∘cs80∘8sin20∘=sin160∘8sin20∘=18.
故答案为18
先将三角函数式看成分母为1的分式，再分子、分母同乘以8sin20∘，凑出连续的二倍角正弦公式，从而化简三角函数式．
本题考查凑公式的能力及考查二倍角的正弦公式．
16.【答案】x2+2−x
【解析】解：因为函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x，
则当x<0时，−x>0，
所以f(−x)=x2+2−x=f(x).
故答案为：x2+2−x.
由已知结合偶函数的定义即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)原式=[(3)3]23−3+lg336−lg34
=9−3+lg39=6+2=8；
(Ⅱ)13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)=13csα−2sinαcsα−3sinα
=13−2tanα1−3tanα，
因为tanα=12，所以原式=13−2×121−3×12=−24.
【解析】(Ⅰ)利用对数以及有理数指数幂的运算性质化简即可求解；(Ⅱ)利用诱导公式以及弦化切化简即可求解．
本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质以及诱导公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−1则x=−1和x=2是方程x2+ax+b=0的两根，
所以1−a+b=04+2a+b=0，解得a=−1b=−2，
所以不等式ax2+bx+3>0为不等式−x2−2x+3>0，
解得−3(2)因为x∈A是x∈B成立的必要条件，所以B⊆A.
当B=⌀时，Δ=m2−8≤0，解得−2 2≤m≤2 2；
当B≠⌀时，m2−8>0−3综上，实数m的取值范围是[−113,2 2].
【解析】(1)由题意得x=−1和x=2是方程x2+ax+b=0的两根，代入求得a，b，化简所求不等式，求解即可；
(2)将x∈A是x∈B成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=2sinx2csx2−2 3sin2x2+ 3=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
所以f(x)的最小正周期T=2π1=2π，最大值为2；
(2)由(1)可知，f(x)=2sin(x+π3)，
令2kπ≤x2≤2kπ+π，k∈Z，解得4kπ≤x≤4kπ+2π，k∈Z，
∵x∈[−π,π]，
∴函数g(x)在[−π,π]的单调递减区间为[0,π].
【解析】(1)利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(x+π3)，利用正弦函数的性质即可求解．
(2)根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式以及正弦函数，余弦函数的性质，考查了整体思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵sinα=2 55,α为锐角，
∴csα= 1−sin2α= 1−45= 55，
∴tanα=sinαcsα=2 55 55=2，
cs2α=1−2sin2α=1−2×45=−35.
(2)选①：∵α∈(0,π2)∴2α∈(0,π)，
∵cs2α=−35，
∴sin2α= 1−cs22α=45.
∵tanβ=34，
∴sinβcsβ=34sin2β+cs2β=1，
∵β∈(0,π2)，
∴sinβ=35csβ=45；
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=(−35)×45+45×35=0，
∵0<2α<π，cs2α<0，
∴π2<2α<π，
∵0<β<π2，
∴−π2<−β<0，
∴0<2α−β<π，
∴2α−β=π2，
选②：∵α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，
∵cs2α=−35，∴sin2α=45，
∵sin2β=2sinβcsβ=85sinβ，
∵β∈(0,π2)，∴sinβ>0，∴csβ=45，
∴sinβ= 1−cs2β=35，
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=0，
0<2α<π，cs2α<0，
∵0<2α<π,cs2α<0∴π2<2α<π，∵0<β<π2，
∴−π2<−β<0∴0<2α−β<π，
∴2α−β=π2.∴π2<2α<π；
选③：∵α∈(0,π2)，
∴2α∈(0,π)，cs2α=−35；
∴sin2α= 1−cs22α=45
∵csβ2=3 1010，∴csβ=2cs2β2−1=45，
∵β∈(0,π2)，∴sinβ>0，∴sinβ= 1−cs2β=35，
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=0，
∵0<2α<π，cs2α<0，∴π2<2α<π，∵0<β<π2，∴−π2<−β<0
∴0<2α−β<π；
∴2α−β=π2.
【解析】(1)根据三角函数定义结合同角三角函数关系和二倍角公式即可求出答案；
(2)根据同角三角函数关系、二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，倍角公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵函数f(x)=4x+b2x的定义域为R，且为奇函数，
∴f(0)=1+b=0，解得b=−1.
证明：由题知f(x)=4x+b2x=4x−12x=2x−12x，设x1则f(x1)−f(x2)=(2x1−12x1)−(2x2−12x2)=2x1−2x2+2x1−2x22x1+x2=(2x1−2x2)(2x1+x2+1)2x1+x2
∵x10∴f(x1)−f(x2)<0
即f(x1)∴f(x)在R上是单调递增函数．
(2)∵y=f(x)是R上的奇函数且为严格增函数，
∴由f(4x−2x+1+2)+f(2m+1)≤0，
可得f(4x−2x+1+2)≤−f(2m+1)=f(−2m−1)，
即4x−2x+1+2≤−2m−1对一切x∈[−2,2]恒成立．
令2x=t，t∈[14,4]，设g(t)=t2−2t+2，
则g(t)max=g(4)=16−8+2=10，
即10≤−2m−1，解得m≤−112，
∴实数m的取值范围是(−∞,−112].
【解析】(1)由函数f(x)=4x+b2x的定义域为R，且为奇函数，得到f(0)=1+b=0，由此能求出b，利用定义法能证明f(x)在R上是单调递增函数．
(2)由f(4x−2x+1+2)+f(2m+1)≤0，得4x−2x+1+2≤−2m−1对一切x∈[−2,2]恒成立．令2x=t，t∈[14,4]，设g(t)=t2−2t+2，则g(t)max=g(4)=10，由此能求出结果．
本题考查函数的奇偶性、单调性、换元法、函数恒成立值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=−(2m2−m−4)xm+32为幂函数，所以−(2m2−m−4)=1，
整理得2m2−m−3=0，解得m=−1或m=32；
因为f(x)不是奇函数，所以m=−1，f(x)=x12= x，定义域为[0,+∞),且为增函数，
所以不等式f(5−3x)>f(x−1)可化为x−1≥05−3x>x−1，
解得1≤x<32，
所以不等式的解集为[1,32)；
(2)因为f(x)是奇函数，所以m=32，f(x)=x3，
又因为函数g(x)满足g(x+1x)=f(x)+1f(x)=x3+1x3=(x+1x)(x2−1+1x2)=(x+1x)[(x+1x)2−3]，
设t=x+1x，则x>0时，t=x+1x≥2 x⋅1x=2，当且仅当x=1时取“=”，
同理，x<0时，t≤−2；
所以函数g(x)的解析式为g(x)=x(x2−3)=x3−3x，x∈(−∞,−2]∪[2,+∞).
【解析】(1)根据幂函数的定义求出m的值，再根据f(x)不是奇函数确定m=−1，写出函数解析式，写出定义域和函数单调性，再求不等式的解集；
(2)根据f(x)是奇函数求出m的值，再写出函数g(x)的表达式，利用换元法求出函数g(x)的解析式．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了利用函数的单调性解不等式的应用问题，是中档题．