湖北省部分学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份湖北省部分学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，其中正确的结论个数是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：人教版九上第21~22章（一元二次方程+二次函数）．
5．难度系数：0.65．
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，B. 0，C. 1，D. 1，0
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程中的一次项系数和常数项分别是1，−3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式及相关概念是解题的关键．
2. 解方程的最佳方法是（ ）
A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
即最好的方法是因式分解法，
故选D．
3. 抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令x=0代入求得y，即可得到抛物线与y轴的交点坐标.
【详解】当x=0时，y=-1，所以抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-1）.
故本题答案应为：B.
【点睛】二次函数与坐标轴的交点是本题的考点，令x=0，求得y是解题的关键.
4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求解即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
5. 若关于的方程的一个根是，则的值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把3代入方程求解可得k的值．
【详解】解：关于的方程的一个根是，
，
，
故选：B．
6. 关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. a＝0B. a＝0 或a＝4C. a＞4D. a＝0 或a＞4
【答案】D
【解析】
【分析】先将原绝对值方程转化为，然后作出y＝a和y＝的函数图象，找出两函数图象有两个交点时a的取值范围即可．
【详解】解：由|x2﹣2x﹣3|＝a得：，
作出y＝a和y＝的函数图象如图，
根据图示知，实数a取值范围是a＝0或a＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，采用“数形结合”的数学思想使解题更加直观．
7. 在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设参加活动的同学有x个，根据“参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条”列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设参加活动的同学有x个，根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8. 已知函数图象如图所示，则关于x的方程根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有两个相等实数根
C. 有两个异号实数根D. 有两个同号不等实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴交点的知识，此题涉及一元二次方程的根的情况，先看函数的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案，此题难度不大．根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时的值．
【详解】解：的图象与轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，
方程，
时，即是求的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选：D．
9. 二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（ ）
A. B. C. D. 、的大小无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.
【详解】解：∵，b20,
∴a>0.
又∵，
∴b<0.
∵，，
∴,x1<0.
∵点，在该二次函数的图象上
∴，.
∴y1-y2=2bx1>0.
∴y1>y2
故选：B.
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键.
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＜0；②b＞a+c；③2a-b=0；④b2-4ac＜0．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线开口向下可知a＜0，再结合对称轴可得b＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，则c＞0，即可判定①；当x=-1时，有a-b+c＜0，即b＞a+c，可判定②；由对称轴可得b=-2a，2a-b=2a-（-2a）=4a≠0，可判定③；由抛物线与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，然后根据根的判别式可判定④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴，即b=-2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，即①正确；
当x=-1时，有a-b+c＜0，即b＞a+c，故②正确；
∵抛物线对称轴，即b=-2a，
∴2a-b=2a-（-2a）=4a≠0，故③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△b2-4ac＞0，即④错误；
综上，正确的有2个．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质并灵活运用数形结合思想成为解答本题的关键．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 方程的根为________．
【答案】，
【解析】
【分析】由可得或，解两个一元一次方程即可．
【详解】解：，
或，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键．
12. 若二次函数的图象经过点，，则________（选填：，，）
【答案】
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴，即可根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：∵二次函数，
∴开口向上，对称轴为直线，
∴点，关于对称轴对称，
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
13. 二次函数的图象与一次函数的图象如图所示，当时，根据图象写出的取值范围_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出时，的取值范围．
【详解】解：当时，即一次函数的图象在二次函数的图象的上面，
可得的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．
14. 如图所示，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线l：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可．
【详解】解：设，，，
∵抛物线沿直线l：向上平移，
∴以为顶点的抛物线为，
∵与的交点为，
∴，即，
解得，，
∵为整数点，
∴，；
同理可求，；；
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键．
15. 若关于的方程有三个解，则实数的值是_____________．
【答案】9
【解析】
【分析】当时，方程，此时方程只有两个不相等的实数根，不符合题意；当时，原方程可化为：或，分别表示出两个方程的，再分两种情况：当有两个解，有一个解时；当有一个解，有两个解时，分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：当时，方程为，
此时，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
当时，原方程可化为：或，
当时，整理得：，
此时，
当时，整理得：，
此时，
关于的方程有三个解，
当有两个解，有一个解时，
得，
解得：，
当有一个解，有两个解时，
得，
解得：，
，
不符合题意，
，
若关于的方程有三个解，则实数的值是9，
故答案：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，采用分类讨论的思想，是解此题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
16. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过原点，求该函数的解析式．
【答案】y=-2(x－1)2+2
【解析】
【分析】设二次函数的解析式为y=a(x﹣1)2+2(a≠0)，然后把原点坐标代入求解即可．
【详解】设二次函数的解析式为y=a(x﹣1)2+2(a≠0)．
∵函数图象经过原点(0，0)，
∴a(0﹣1)2+2=0，
解得：a=-2，
∴该函数解析式为y=-2(x﹣1)2+2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便．
17. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若方程有一根为3，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）m＝﹣2或m＝﹣4．
【解析】
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，故△＞0，解不等式即可；
（2）将x=3代入方程求m即可.
【详解】解：（1）依题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）＞0，
解得：m＞﹣，
即当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．
（2）依题意得：32+3（2m+1）+m2﹣4＝0，
解得m＝﹣2或m＝﹣4．
【点睛】此题考查的是（1）根的情况与根的判别式取值之间的关系；（2）方程的根的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根.
18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k≤；（2）存在实数k，k＝﹣3．
【解析】
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．
【详解】解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤；
（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系.
19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及AB的长度，可分别得到A、B两个点的坐标，用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）根据平移后抛物线的特点可设抛物线的解析式，可得到抛物线的顶点坐标，再利用等腰直角三角形的性质可求得顶点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4
∴A、B两点到对称轴的距离相等，且为2
∴A点坐标为(-5，0)，B点坐标为(-1，0)
把A、B两点的坐标分别代入函数解析式中，得：
解得：
∴
（2）∵平移后过原点
∴设平移后过原点的抛物线为
令，解得：x=0，
∴C(b，0)且b>0
∵
∴顶点P的坐标为
∵△OCP是等腰直角三角形
∴
解得：b=2
∴顶点P的坐标为
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，平移的性质，顶点坐标的确定，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质．
20. 世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件．
（1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？
（2）第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调元，调整后，当天大摆件的销量下降了个，小摆件的销量增加了个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格．
【答案】（1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元
（2）降价后小摆件的价格为108元
【解析】
【分析】（1）设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为元，根据一个大摆件的价格一个小摆件的价格元，列出方程，解方程即可；
（2）先表示出调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，然后根据调整后，当天的销售额为20520元，列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
（元），
答：每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元．
【小问2详解】
解：调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（元），
答：降价后的小摆件的价格为108元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确解方程．
21. 某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
（1）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量（千克）与零售价（元/千克）为一次函数关系，其图象如图所示，求与之间的函数关系式；
（2）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，则零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当零售价定为5.5元/千克时，该经销商利润最大，最大利润为112.5元
【解析】
【分析】（1）设该一次函数关系式为．把点 代入，解方程组，求出k=-30，b=240，代回即得 ；
（2）根据，得，得到 x≤5.5，批发这种蔬菜全部打八折．设当日可获得利润为元，日零售价为元/千克，，根据，对称轴为，推出当时，的值随值的增大而增大，得到当时，．
【小问1详解】
解：设该一次函数关系式为．把点 代入，得，
解得 ，
故该一次函数关系式为，
【小问2详解】
解：由，得，
解得 x≤5.5，
，
∴此时批发的这种蔬菜全部打八折，
设当日可获得利润为元，日零售价为元/千克，
，
，对称轴为，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故当时， ．
即当零售价定为5.5元/千克时，该经销商利润最大，最大利润为112.5元．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用——营销问题，解决问题的关键是熟练运用一次函数图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握总利润与每千克利润和销售量的关系，熟练掌握配方法，熟练运用二次函数的增减性求二次函数的最值．
22. 如图，四边形是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，其中点E在边上（不与点B重合），点G在的延长线上，，设的长为x米，改造后花圃的面积为y平方米．
（1）当改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等时，求的长；
（2）当x为何值时，改造后的花圃的面积最大?并求出最大面积．
【答案】（1）BE＝4米；（2）当x＝2时，y的值最大为48平方米．
【解析】
【分析】（1）由题意易知AG=（6+3x）米，AE=（6-x）米，然后根据题意可列方程求解；
（2）由（1）可直接得出函数关系式，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
（6－x）（6+3x）＝62
解得x1＝0(不合题意，舍去),x2＝4；
则BE＝4（米）；
（2）根据题意得：
y＝（6－x）（6+3x）
＝-3(x－2)2+48；
∵ 0＜x≤6，－3＜0,
∴ 当x＝2时，y的值最大为48m2．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是找准题意中的等量关系．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点．

（1）求这条抛物线解析式：
（2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点的坐标和面积的最大值．
【答案】（1）
（2）或
（3）点P的坐标为时，面积最大，最大面积为8
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，求解二次函数解析式，勾股定理，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解当，或为斜边时，同理可解；
（3）由，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于两点，
设抛物线的表达式为：，
又，
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
存在，理由：
有抛物线的表达式可知，点，
设点，
则，
，
当是斜边时，

则，
解得：或4，
即点或（舍去），
当或是斜边时，

同理可得：或，
解得：或，
即点或，
综上，点或；
【小问3详解】
如图，过点P作轴交于点H

设直线的表达式为：，
，，
，解得：
则直线的表达式为：，
故当时，的最大值为8，此时，点．
24. 如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且tan∠OAC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQx轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若，求点P的坐标；
（3）将抛物线向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点 M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）由C（0，﹣1），tan∠OAC＝，可得A（﹣2，0），用待定系数法即得抛物线的解析式为；
（2）设，其中，由PQx轴，得PQ＝，由A（﹣2，0），C（0，﹣1）可得直线AC解析式为，故R（t，﹣1），PR＝，根据PQ+PR＝，有，可解得；
（3）原抛物线解析式为，可得新抛物线解析式是，设M，N，而A，C，分三种情况：①若MN，AC是对角线；②若MA，NC是对角线，③若MC，NA是对角线．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在形中，，
∴，
即，
将，代入抛物线解析式，
得，
解得：，
∴抛物线解式为；
【小问2详解】
解：由（1）可如，抛物线对称轴为，
设，其中，
∵轴，
，
由（1）得，
轴，
∴
∴，
∴，
解得或，
又，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：原抛物线解析式为，
根据题意可得新抛物线解析式是，
设M，N，而A，C，
①若MN，AC是对角线，则MN的中点即为AC的中点，
∴ ，
可解得 ，
∴M；
②若MA，NC是对角线，
，
解得，
∴M；
③若MC，NA是对角线，
，
解得，
∴M，
综上所述，M的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．