广东省雷州市第八中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题（原卷版+解析版）

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试卷总分150分 考试时长120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题的4个选项中，只有1个选择是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 3和B. 3和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义判断即可.
【详解】对于A项，和互为倒数；
对于B项，和互为相反数；
对于C项，因为，所以和相等；
对于D项，因为，所以和相等.
故选：B.
2. 某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是（ ）

A. 一B. 定C. 满D. 意
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“数”字两端是对面，即可解答．
【详解】如图所示：

原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是“意”.
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助乘法公式与幂的运算逐项计算即可得.
详解】对A：，故A错误；
对B：，故B错误；
对C：，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：D.
4. 体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A. 中位数，众数B. 中位数，方差
C. 平均数，方差D. 平均数，众数
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、中位数平均数和方差的定义求解可得．
【详解】解：这组数据中成绩为46、47的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50，
第25、26个数据都是50，则中位数为50，
即中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关，
故平均数，方差与被遮盖数据有关.
故选：A．
5. 若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程组得，即可得到集合.
【详解】由解得所以.
故选：B
【点睛】此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式.
6. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式后由交集运算得解.
【详解】因为，
所以
故选：B
7. 按一定规律得到的单项式；，按照上述规律，第n个单项式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意从系数和指数两个角度分析求解.
【详解】观察各个单项式可得，系数是连续的奇数：1，3，5，7，9，…，故第n个单项式的系数是；
字母部分是的乘方，a的指数是1，2，3，4，5，…，故第n个单项式的字母部分是，
所以第n个单项式是．
故选：B.
8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象特征进行判断即可.
【详解】函数与轴交于正半轴，排除D；
若，则函数的图象在第一、三象限，函数的图象呈上升趋势，排除B；
若，则函数的图象在第二、四象限，函数的图象呈下降趋势，排除C.
故选：A
二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( )
A. ，B. 有的矩形不是平行四边形
C. ，D. ，
【答案】AB
【解析】
【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解.
【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D错误，
选项A：因为，所以命题为假命题；
选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；
选项C：，故命题为真命题，故C错误，
故选:AB．
10. 若，则下列不等式成立是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对A、B、C：利用作差法分析判断；对D：根据不等式性质分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
又因为，则，可得，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，
又因为，则，可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，
又因为，则，可得，
所以，故C错误；
对于选项D：因为，所以，故D正确；
故选：BD.
11. 且，则的可能取值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】BCD
【解析】
【分析】将展开，利用基本不等式求的最小值，再比较选项可得正确答案.
【详解】，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，
所以的不可能为，可能取值为，
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一：女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是________
【答案】##
【解析】
【分析】先列表求出所有等可能结果数和两个人选择每个项目一样的结果数，然后运用概率公式求解即可.
【详解】记事件“小明选择200米项目”为，事件“小明选择1000米项目”为，事件“小花选择200米项目”为，事件“小花选择800米项目”为，
故所有基本事件有，，，，共有4种情况，
小明、小花所选的必考项目不同的基本事件有，，，共有3种情况，
所以小明、小花所选的必考项目不同的概率为.
故答案为：.
13. 设是方程的两个实数根，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理代入求解计算即可.
【详解】因为是方程的两个实数根，所以，
所以.
故答案为：
14. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况，结合判别式求出的取值范围.
【详解】因为关于x的方程有实数根，
当时，一元一次方程的根为，符合题意；
当时，则，解得且；
综上所述：.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）2
（2）或
【解析】
【分析】（1）由根式、特殊角的三角函数值，负整数指数次幂计算即可；（2）由一元二次方程中因式分解求出根即可；
【详解】（1）原式；
（2）展开移项可得，即，
解得或，
16. 春节是我国传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的学生有_____________人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统图中C所对圆心角的度数________；
（4）若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率．
【答案】（1）600 （2）作图见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由图可知D类型有240人，占比，据此求解即可；
（2）求出C类的人数，进而知道C类的占比及A类的占比，由此补充完整图形；
（3）用C类的占比乘以360°即可；
（4）列出树状图，写出满足条件的所有等可能结果，根据概率公式求解即可.
【小问1详解】
本次参加抽样调查的学生有(人).
【小问2详解】
类的人数为(人).
扇形统计图中的百分比为
的百分比为.
补全条形统计图和扇形统计图如图所示.
【小问3详解】
扇形统计图中所对圆心角的度数为.
【小问4详解】
画树状图如下:

共有12种等可能的结果,其中恰好抽到的同学都来自广东省的结果有，共2种，
恰好抽到的同学都来自广东省的概率为.
17. 已知，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并运算求解；
（2）求出，根据列出应满足的条件.
【小问1详解】
当时，，，；
【小问2详解】
，，，
∴.
18. 某学校为给贫困山区对口帮扶的学生送一批学习用品，需在某超市购买10个书包及10个以上的文具盒．已知一个书包和六个文具盒总价120元，两个书包和一个文具盒总价108元．
（1）求书包与文具盒的售价分别是多少？
（2）为迎接开学，该超市制定了两种优惠方案：
方案一：买一个书包送一个文具盒；
方案二：按总价的九折付款．
购买时，顾客只能选用其中的一种方案．
设购买文具盒的个数为x（个），付款金额为y（元）．分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（3）根据以上信息，说明学校选择哪种优惠方案更实惠？
【答案】（1）书包为元、文具盒为元
（2）选择方案一时：；选择方案二时：
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设出二元一次方程组计算即可得；
（2）分别计算出两种方案中y与x之间的关系式即可得；
（3）结合（2）中所得关系式，比较大小即可得.
【小问1详解】
设书包与文具盒的售价分别是元、元，
则由题意可得，解得，
故书包与文具盒的售价分别是元、元；
【小问2详解】
由题意可得，
若选择方案一：则，
若选择方案二：则，
【小问3详解】
令，解得，
令，解得，
令，解得，
故购买的文具盒超过个时，选择方案二，
购买的文具盒等于个时，选择方案一或方案二都可以，
购买的文具盒超过10个，少于个时，选择方案一.
19. （1）探究问题1：若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是________．
等价转化：若二次函数____（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是_________
（3）探究问题2：若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；；；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用判别式可得；
（2）根据有两个不相等的实数根，利用判别式求解即可；分离参数，转化为两个函数图象交点问题可得；
（3）利用韦达定理列不等式组求解即可.
【详解】（1）由题知，，解得；
（2）由题知，有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，
所以，解得.
等价于有两个不相等的实数根，
即等价于二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，
则m的取值范围是.
故答案为：；；.
（3）将问题转化为有两个小于或等于4且不相等的实数根，
令两根为，则，即，
由韦达定理得，解得，
所以的取值范围是.
分数
43
44
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
1
3
4
30