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苏科版八年级数学上册专题2.6直角三角形斜边的中线五大题型同步特训(学生版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册专题2.6直角三角形斜边的中线五大题型同步特训(学生版+解析)，共75页。
专题2.6 直角三角形斜边的中线五大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对直角三角形斜边的中线五大题型的理解！【题型1 直角三角形斜边的中线的证明】1．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）如图，已知△ABC的两条高为BE、CF，M、N分别为BC、EF的中点．判断：MN与EF的位置关系并证明．2．（2023春·湖南·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD和CE分别是斜边AB上的中线和高线，F是CD的中点． (1)求CD的长；(2)证明：△EDF为等边三角形．3．（2021秋·浙江温州·八年级校联考期中）证明命题“30°所对直角边等于斜边的一半”是真命题并应用．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求证：BC=12AB．(2)点P，Q分别是Rt△ABC边AB，BC上的动点．点P以每秒2个单位的速度从A向B运动，点Q以每秒1个单位的速度从B向C运动．P，Q同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点立即停止运动．连接PQ，若AB＝4，当t为多少秒时，△PQB是直角三角形．4．（2023春·山西太原·八年级统考期中）我们知道，研究图形性质就是研究其要素以及相关要素之间的关系.按照这一思路，小颖发现了等腰直角三角形有如下性质；等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请根据图形补全已知、求证中空缺的内容，并证明这一性质．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，______ ．求证：______ ． 5．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．6．（2023春·四川达州·七年级校考期末）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=12AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；(1)求证：PM=PN；(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；(3)如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为AB上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．7．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度数；(2)如图（2）延长BD，EC交于点M，①证明：A，M，H在同一条直线上；②若BC=2CM，证明：BD=HD．【题型2 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】1．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E是BD的中点，若AD=4，则CE的长为（ ） A．3 B．52 C．2 D．32．（2023春·陕西西安·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）A．1 B．32 C．3 D．63．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB=11，AC=10，则四边形AEDF的周长为（ ）A．10.5 B．21 C．30 D．424．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 5．（2023春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB=4，则线段FG的长为 ．6．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长． 7．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F 分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长．8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．(1)求证：MN⊥BD；(2)当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．【题型3 利用直角三角形斜边的中线求角度】1．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（ ） A．30° B．45° C．22.5° D．60°2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a0∘<α<90∘至OP，若CB=CP，则α的值为（ ）A．80∘ B．65∘ C．50∘ D．40∘3．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知：如图所示，CD是△ABC的中线，∠A=30°，∠BDC=45°，则∠B= ．4．（2023春·宁夏固原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，DE⊥AB，DE与CB交于点E．若∠B=25°，则∠CDE的度数为 ． 5．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，直线m∥n，Rt△ABC中，∠B=60°，直线m经过斜边AB的中点D和直角顶点C，则∠CEF的度数是 ． 6．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 7．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，则∠DCB= ． 8．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q分别为边BC，AC上的点，∠QPC=40°，M为PQ的中点，∠AMC=100°，则∠PCM= °；∠BAM= °． 9．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．(1)求证：HF=HG；(2)∠FHA与∠ABC间有何关系，并说明理由；(3)∠D=40°，请直接写出∠FHG的度数 ．【题型4 直角三角形斜边的中线与折叠的综合运用】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一张长方形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=CD，则∠DAF的度数为（ ）A．15° B．16° C．18° D．20°2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，点E在AC边上，将△DCE沿DE折叠至△DFE，AB与FE，FD分别交于G，H两点．若已知AB的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ） A．△AGE B．△FHG C．四边形DHGE D．四边形BDEG3．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）A．60° B．45° C．30° D．25°4．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B=α，则∠EAC等于（ ）A．α B．90°−α C．12α D．90°−2α5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么折痕CD的长为 ． 6．（2021春·北京海淀·八年级北理工附中期中）如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 ．7．（2015春·湖南娄底·八年级统考期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状，并说明理由．8．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．【题型5 利用直角三角形斜边的中线探究线段之间的关系】1．（2020春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．2．（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M为BC边上的中点．(1)如图1，若点D、点E分别为线段AC、AB上的点，且DC=EA，连接MD、ME，求证：ME⊥MD；(2)如图2，若点D为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且DC=EB，∠AED=30°，连接ED，交BC于点N，EF是∠AED的角平分线，交AM于点F，连接AN、FD，探究线段AN、FD、AC之间的数量关系，并给出证明．3．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）【探究发现】（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．【类比应用】（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．4．（2019秋·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考期中）已知△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠CFE＝90°，连接AE，点G是AE中点，连接BG和GF．（1）如图1，当△CEF中E、F落在BC、AC边上时，探究FG与BG的关系；（2）如图2，当△CEF中F落在BC边上时，探究FG与BG的关系．5．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）（1）已知，如图1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求证：CD=12AB；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：已知：点P是任意△ABC的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边AB的中点，分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．①如图2，当点P与点Q重合时，探究QE和QF的数量关系；②如图3，当点P与点Q不重合时，探究QE和QF的数量关系． 6．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知△ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出△ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)如图2，若∠ACB=90°,CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若∠ACB=45°,AC=BC,CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF=4，求DE的长．7．（2023春·江苏苏州·七年级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．8．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB =90°，D为 AB 的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段 AC、线段 BC交于点 E、F（点 F与点 B、C不重合），写出线段 CF、CE、BC 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D 为 AB 的中点，∠MDN=60°，将∠MDN 绕点 D 旋转，旋转过程中，∠MDN 的两边分别与线段 AC、线段 BC 交于点 E、F（点 F 与点 B、C 不重合）， 专题2.6 直角三角形斜边的中线五大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对直角三角形斜边的中线五大题型的理解！【题型1 直角三角形斜边的中线的证明】1．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）如图，已知△ABC的两条高为BE、CF，M、N分别为BC、EF的中点．判断：MN与EF的位置关系并证明．【答案】MN⊥EF，理由见解析【分析】（1）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝12BC，再根据等腰三角形三线合一证明即可．【详解】解：MN⊥EF．理由：连接ME，MF．∵CF是AB边的高，∴CF⊥AB，∴∠BFC=90°．∵点M是BC的中点，MF=12BC．同理， ME=12BC．∴ME=MF．又∵点N为EF的中点，∴MN⊥EF．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键．2．（2023春·湖南·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD和CE分别是斜边AB上的中线和高线，F是CD的中点． (1)求CD的长；(2)证明：△EDF为等边三角形．【答案】(1)2(2)见解析【分析】（1）根据含30度的直角三角形的性质可得AB=4，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=DB=AD=12AB，根据等边三角形的判定和性质可得∠CDA=60°，含30度的直角三角形的性质可得DE=12DC，根据中点的性质可得EF=12CD，即可推得EF=DF，根据等边三角形的判定即可求证．【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴AB=2AC=2×2=4，∵CD是斜边上的中线，∴CD=12AB=12×4=2．（2）证明：∵CD是斜边上的中线，∴CD=DB=AD=12AB，∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CDA=60°，∵CE⊥AD，∴AE=DE，∠ECD=30°，∴DE=12DC， ∵F是CD的中点，∴EF=12CD，∴EF=DF， ∴△EDF为等边三角形．【点睛】本题考查了含30度的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，中点的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．3．（2021秋·浙江温州·八年级校联考期中）证明命题“30°所对直角边等于斜边的一半”是真命题并应用．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求证：BC=12AB．(2)点P，Q分别是Rt△ABC边AB，BC上的动点．点P以每秒2个单位的速度从A向B运动，点Q以每秒1个单位的速度从B向C运动．P，Q同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点立即停止运动．连接PQ，若AB＝4，当t为多少秒时，△PQB是直角三角形．【答案】(1)见解析(2)1秒或者85秒【分析】（1）证明取AB中点D并连接CD．证明△BCD是等边三角形，即可得证；（2）根据题意有：AP=2t，BQ＝t，AB=4，即BP＝AB-AP=4－2t，分当∠PQB＝90°，∠BPQ＝30°时，和当∠QPB＝90°，∠PQB＝30°时，两种情况讨论，运用（1）的结论即可作答．（1）证明：取AB中点D并连接CD．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵CD是斜边AB的中线，∴在Rt△ABC中，CD=BD=12AB，∴△BCD是等边三角形，∴BC=CD=12AB；（2）根据题意有：AP=2t，BQ＝t，AB=4，即BP＝AB-AP=4－2t，当∠PQB＝90°，∠BPQ＝30°时，如图，即BP＝2BQ，4－2t＝2t，解得t＝1；当∠QPB＝90°，∠PQB＝30°时，2BP＝BQ，24−2t=t，解得t=85，综上：当t为1秒或者85秒时，△PBQ是直角三角形．【点睛】本题考查了直角三角形的性质及斜边的中线等于斜边的一半的知识以及动点几何的问题，题目不难，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．4．（2023春·山西太原·八年级统考期中）我们知道，研究图形性质就是研究其要素以及相关要素之间的关系.按照这一思路，小颖发现了等腰直角三角形有如下性质；等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请根据图形补全已知、求证中空缺的内容，并证明这一性质．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，______ ．求证：______ ． 【答案】点D是BC的中点，AD=12BC，见解析【分析】由等腰直角三角形的性质得到，∠B=45°，由等腰三角形的性质得到∠BAD=12∠BAC=45°，因此∠B=∠BAD，得到AD=BD，而BD=12BC，即可证明AD=12BC．【详解】解：已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，求证：AD=12BC．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AB=AC，点D是BC的中点，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=45°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∵BD=12BC，∴AD=12BC，∴等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．故答案为：点D是BC的中点，AD=12BC．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，关键是由等腰直角三角形的性质推出AD=BD．5．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．【答案】(1)①CD=12AB，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)25【分析】（1）通过折叠△ABC,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠△BDC使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=12AB，倍长CD至点E，连接BE，先证△CDA≌△EDB，由全等的性质得到∠DCA=∠DEB,BE=AC，再进一步证明△ACB≌△EBC，证得CE=AB,从而证得CD=12AB（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5，又AB=2CE，所以AB≥10，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =12AB，下面证明下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE，在△BDE和△ADC中，BD=AD∠BDE=∠ADCCD=DE∴△CDA≌△EDB∴∠DCA=∠DEB,BE=AC∵∠DCA+∠BCE=90°∴∠BCE+∠BEC=90°∴∠EBC=∠BCA=90°在△BCA和△CBE中，BE=CA∠EBC=∠BCABC=CB∴△ACB≌△EBC∴CE=AB∴CD=12AB；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5∵AB=2CE∴AB≥10,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时，面积最小为：12×5×10=25．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力．6．（2023春·四川达州·七年级校考期末）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=12AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；(1)求证：PM=PN；(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；(3)如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为AB上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．【答案】(1)证明见解析(2)成立；证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）如图2中，延长NP交BM的延长线于G.只要证明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根据直角三角形斜边中线定理即可证明；（2）结论：PM=PN.延长NP交BM于G，证明方法类似（1）；（3）如图4中，延长NP交BM于G.先证明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再证明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因为AN=CM，所以MG=MN，即可证明PM⊥PN．【详解】（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，∠PCN=∠PBG∠CPN=∠GPBPC=PB，∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（2）解：结论：PM=PN．如图3中，延长NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，∠PCN=∠PBG∠CPN=∠GPBPC=PB，∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（3）解：如图4中，延长NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，∴∠EAN=∠ACM，在△EAN和△CAM中，∠ENA=∠AMC=90°∠EAN=∠ACMAE=AC，∴△EAN≌△CAM，∴EN=AM，AN=CM，∵EN⊥AM，CM⊥AM，∴EN∥CG，∴∠ENP=∠CGP，在△ENP和△CGP中，∠ENP=∠CGP∠EPN=∠CPGEP=PC，∴△ENP≌△CGP，∴EN=CG=AM，PN=PG，∵AN=CM，∴MG=MN，∵PN=PG，∴PM⊥PN．【点睛】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度数；(2)如图（2）延长BD，EC交于点M，①证明：A，M，H在同一条直线上；②若BC=2CM，证明：BD=HD．【答案】(1)40°(2)①见解析；②见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（2）①连接BE，根据等腰三角形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质分别证明△ABC≌△ADE、△ABD≌△AEC、△DBH≌△CEH、△MDE≌△MCB得到ME=MB，BH=EH，根据线段垂直平分线的判定即可证的结论；②根据邻补角定义和四边形的内角和为360°证得∠BMC=90°，取BC中点O，连接MO，根据直角三角形斜边中线性质和等边三角形的判定与性质得到∠MCB=60°=∠MDE， ∠MBC=30°，再利用三角形的外角性质得到∠DBH=∠DHB，根据等腰三角形的判定即可证得结论正确．【详解】（1）解：∵AB=AD，∠BDA=65°，∴∠ABD=∠BDA=65°，∴∠BAD=180°−2×65°=50°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=90°−50°=40°；（2）解：连接BE，在△ABC和△ADE中，∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=EA，∴△ABC≌△ADESAS，∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，BC=DE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又AB=AC=AD=EA，∴△ABD≌△AECSAS，∴BD=CE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，∴∠DBH=∠CEH，又∠DHB=∠CHE，∴△DBH≌△CEHAAS，∴BH=EH，∵∠MDE+∠ADB+∠ADE=180，∠MCB+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠MDE=∠MCB，又DE=BC，∠MED=∠MBC，∴△MDE≌△MCBASA，∴ME=MB，又AB=AE，BH=EH，∴A，M，H在线段BE的垂直平分线上，∴A，M，H在同一条直线上；②由①知，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ACM=180°，∴∠ABD+∠ACM=180°，∵∠ABM+∠ACM+∠BAC+∠BMC=360°，∠BAC=90°，∴∠BMC=90°，取BC中点O，连接MO，则MO=OC=OB=12BC，∵BC=2CM，∴MO=OC=CM，∴△MOC是等边三角形，∴∠MCB=60°=∠MDE，则∠MBC=30°，∵∠MDE=∠DBH+∠DHB，∴∠DHB=60°−30°=30°，∴∠DBH=∠DHB，∴BD=HD．【点睛】本题是三角形的综合题，主要涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、四边形的内角和性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键【题型2 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】1．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E是BD的中点，若AD=4，则CE的长为（ ） A．3 B．52 C．2 D．3【答案】C【分析】先证明∠ABD=∠A，根据等角对等边得到BD=AD=4，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=90°−∠ABC=30°，∵BD平分∠ABC交边AC于点D，∴∠ABD=12∠ABC=30°，∴∠ABD=∠A，∴BD=AD=4，在△ABC中，∠ACB=90°，E是BD的中点，∴CE=12BD=2．故选：C【点睛】此题考查了直角三角形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．2．（2023春·陕西西安·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）A．1 B．32 C．3 D．6【答案】B【分析】先求出AB，再根据中线求出AD、BD，然后利用等腰三角形性质即可得出．【详解】解：在Rt△ABC中，∵ ∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，∴ AB=12BC=12×6=3，∵点D为BC的中点，∴ AD=BD=12BC=3，∴ △ABD为等边三角形，∵ AE⊥BC，∴ DE=12BD=32．故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质定理、等腰三角形三线合一等知识点，直角三角形性质定理的运用是解题关键．3．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB=11，AC=10，则四边形AEDF的周长为（ ）A．10.5 B．21 C．30 D．42【答案】B【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=12AB，DF=12AC，再由AB=11，AC=10，即可求解．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴DE=12AB=112，DF=12AC=5，AE=12AB=112，AF=12AC=5，∴四边形的周长=AE+DE+DF+AF=21，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．4．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 【答案】25°【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三线合一可得DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，进而根据三角形的外角的性质得出∠BED=∠ECD+∠EDC=40°，再根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，连接DE， ∵点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，AB=AC，∴DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，则DE=AE，∴∠EAD=∠EDA，∠EDC=∠ECD∵∠BCD=20°，∴∠BED=∠ECD+∠EDC=40°∴∠AED=∠AEB+∠BED=130°∴∠DAE=12180°−∠AED=12180°−130°=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB=4，则线段FG的长为 ．【答案】2【分析】延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，根据全等三角形的性质得到AE=AB=4，根据平行线的性质得到∠BAF=∠AFG，得到AG=FG，推出FG=12AE=2．【详解】解：延长BF交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BF⊥AD，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵AF=AF，∴△ABF≅△AEF（ASA），∴AE=AB=4，∵FG∥AB，∴∠BAF=∠AFG，∴∠GAF=∠GFA，∴AG=FG，∵∠FAG+∠AEF=∠AFG+∠EFG=90°，∴∠GFE=∠GEF，∴FG=GE，∴FG=GE=AG，∴FG=12AE=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，继而正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长． 【答案】14．【分析】连接AF，证明∠AFC=90°，可得EF是Rt△AFC的中线，从而可得答案．【详解】连接AF， ∵AB=AD，F为BD中点，∴AF⊥BD，∴∠AFB=∠AFD=90°，在Rt△AFC中，E为AC中点，∴EF=12AC=7，∴AC=14．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记以上概念并灵活应用是解题的关键．7．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F 分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长．【答案】14【分析】连接AF，证明∠AFC=90°，可得EF是Rt△AFC的中线，从而可得答案．【详解】解：连接AF，∵AD=AB，∴△ABD是等腰三角形，又F是BD的中点，∴AF是△ABD的中线，∴AF也是△ABD的高，即∠AFC=90°又∵E是AC的中点，∴EF是Rt△AFC的中线，∴EF=12AC，又EF=7，∴AC=2EF=2×7=14．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记以上概念并灵活应用是解本题的关键．8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．(1)求证：MN⊥BD；(2)当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．【答案】(1)见解析(2)2.5cm【分析】（1）连接BM、DM．由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=DM=12AC，由线段垂直平分线的判定即可证明结果；（2）由∠BCA=15°及BM=CM=12AC可得∠BMA=30°，再由OB=OM得∠OBM=∠BMA=30°，在Rt△BMN中由含30度角直角三角形的性质即可求得MN的长．【详解】（1）证明：如图，连接BM、DM．∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、BD的中点，∴BM=12AC，DM=12AC，∴BM=DM=12AC，∵N是BD的中点，∴MN是BD的垂直平分线，∴MN⊥BD．（2）解：∵∠BCA=15°，BM=CM=12AC，∴∠BCA=∠CBM=15°，∴∠BMA=30°，∵OB=OM，∴∠OBM=∠BMA=30°，∵AC=10cm，BM=12AC，∴BM=5cm，在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，∴MN=12BM=2.5cm，答：MN的长是2.5cm．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接BM、DM是解题的关键．【题型3 利用直角三角形斜边的中线求角度】1．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（ ） A．30° B．45° C．22.5° D．60°【答案】B【分析】由题意可求出∠ACD=34∠ACB=67.5°，即∠ACE+∠ECD=67.5°．根据直角三角形斜边中线的性质可得出CE=AE，从而可证∠ACE=∠A．再根据CD⊥AB，即得出∠ACD+∠A=90°，即∠ECD+∠ACE+∠A=90°，进而可求出∠ACE=∠A=22.5°，最后即可求出∠ECD=67.5°−∠ACE=45°．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，∴∠ACD=34∠ACB=67.5°，即∠ACE+∠ECD=67.5°．∵E是斜边AB的中点，∴CE=AE,∴∠ACE=∠A．∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，即∠ECD+∠ACE+∠A=90°，∴67.5°+∠A=90°，∴∠ACE=∠A=22.5°，∴∠ECD=67.5°−∠ACE=45°．故选B．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a0∘<α<90∘至OP，若CB=CP，则α的值为（ ）A．80∘ B．65∘ C．50∘ D．40∘【答案】A【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OC=OA=OB，再证明△BOC≌POC，得∠BOC=∠POC，便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，O为斜边中点，∴OC=OA=OB，∴∠OBC=∠OCB=25°，∴∠BOC=130°，由旋转知OA=OP，∴OB=OP，∵CB=CP，CO=CO，∴△BOC≌POC（SSS），∴∠BOC=∠POC=130°，∴α=∠BOC+∠POC−180°=80°，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，关键是证明三角形全等．3．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知：如图所示，CD是△ABC的中线，∠A=30°，∠BDC=45°，则∠B= ．【答案】105°【分析】过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，根据垂直定义可得∠AHB=∠CHB=90°，从而可得∠ABH=60°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得DH=BD，从而可得△BHD是等边三角形，进而可得HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，最后利用三角形外角的性质和角的和差关系求出∠ACD=∠HDC=15°，从而可得HD=HC，进而可得HB=HC，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HBC=∠HCB=45°，进行计算即可解答．【详解】解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，∴∠AHB=∠CHB=90°，∵∠A=30°，∴∠ABH=90°−∠A=60°，∵DH是斜边AB上的中线，∴DH=BD=12AB，∴△BHD是等边三角形，∴HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，∵∠BDC=45°，∴∠HDC=∠HDB−∠BDC=15°，∵∠ACD=∠BDC−∠A=15°，∴∠ACD=∠HDC=15°，∴HD=HC，∴HB=HC，∴∠HBC=∠HCB=45°，∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=105°，∴∠ABC的度数为105°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2023春·宁夏固原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，DE⊥AB，DE与CB交于点E．若∠B=25°，则∠CDE的度数为 ． 【答案】40°【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质可得CD=BD，由等腰三角形的性质可得∠DCB=∠B=25°，由垂线的定义可得∠EDB=90°，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，∴CD=BD，∵ ∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∵DE⊥AB，∴∠EDB=90°，∵∠DCB+∠B+∠CDE+∠EDB=180°，∴∠CDE=180°−∠DCB−∠B−∠EDB=180°−25°−25°−90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理，是解题的关键．5．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，直线m∥n，Rt△ABC中，∠B=60°，直线m经过斜边AB的中点D和直角顶点C，则∠CEF的度数是 ． 【答案】150°【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，根据等腰三角形的性质∠B=∠BCD=60°，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴BD=12AD=CD，∴∠B=∠BCD，又∠B=60°，∴∠BCD=60°，又∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，∵m∥n，∴∠ACD+∠CEF=180°，∴∠CEF=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．6．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 【答案】25°【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三线合一可得DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，进而根据三角形的外角的性质得出∠BED=∠ECD+∠EDC=40°，再根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，连接DE， ∵点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，AB=AC，∴DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，则DE=AE，∴∠EAD=∠EDA，∠EDC=∠ECD∵∠BCD=20°，∴∠BED=∠ECD+∠EDC=40°∴∠AED=∠AEB+∠BED=130°∴∠DAE=12180°−∠AED=12180°−130°=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．7．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，则∠DCB= ． 【答案】75°【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB=OC=OA=OD=12BC，再利用BC=2AD可得△OAD是等边三角形，从而得到∠AOD=60°，利用等腰三角形的性质三线合一可得∠AOB=90°，从而得到∠COD=30°，再利用OC=OD，得到∠DCB=75°．【详解】解：∵O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°∴OB=OC=OA=OD=12BC，又∵BC=2AD，即AD=12BC，∴OA=OD=AD，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵O是BC中点，AB=AC∴∠AOB=90°，(三线合一)∴∠COD=180°−∠AOB−∠AOD=30°，又∵OC=OD，∴∠DCB=180°−∠COD2=75°，故答案是：75°．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关定理求出∠COD是解题的关键．8．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q分别为边BC，AC上的点，∠QPC=40°，M为PQ的中点，∠AMC=100°，则∠PCM= °；∠BAM= °． 【答案】 40 15【分析】根据中点的定义和直角三角形的性质可得MC=12PQ=MP=QM，根据等边对等角可得∠PCM=∠QPC=40°；由余角的性质可得∠ACM=∠ACB−∠MCP=50°，进而说明∠QMC=80°，则∠QMA=20°；再根据三角形外角的性质可得∠AQM=130°，运用三角形内角和可得∠QAM=30°，再说明∠CAB=45°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：∵M为PQ的中点，∴MQ=MP，∵∠ACB=90°，∴MC=12PQ=MP=QM，∴∠PCM=∠QPC=40°；∴∠ACM=∠ACB−∠MCP=50°，∵MC=QM，∴∠CQM=∠MCQ=50°，∴∠QMC=180°−∠CQM−∠MCQ=80°，∵∠AMC=100°，∴∠QMA=∠AMC−∠CMQ=20°，∵∠AQM=∠ACB+∠QPC=130°，∴∠QAM=180°−∠AQM−∠AMQ=30°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∴∠BAM=∠CAB−∠QAM=15°．故答案为①40；②15．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识定，灵活运用等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．9．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．(1)求证：HF=HG；(2)∠FHA与∠ABC间有何关系，并说明理由；(3)∠D=40°，请直接写出∠FHG的度数 ．【答案】(1)见解析(2)∠FHA=2∠ABC，理由见解析(3)100°【分析】（1）连接AF、BG，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结论；（3）由等腰三角形的性质和三角形的外角性质求出∠FHA+∠GHB=80°，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）证明：连接AF、BG，∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，∴AF⊥BD，BG⊥AE，∴∠AFB=∠BGA=90°，∵H是AB的中点，∴HF=12AB，HG=12AB，∴HF=HG．（2）解：∠FHA=2∠ABC，理由如下：由（1）可知，HF=BH，∴∠HFB=∠ABC，∵∠FHA是△BHF的外角，∴∠FHA=∠HFB+∠ABC=2∠ABC．（3）解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠D=40°，∴∠ABC+∠BAC=∠ACD=40°，由（2）可知，∠FHA=2∠ABC，同理：∠GHB=2∠BAC，∴∠FHA+∠GHB=2∠ABC+2∠BAC=2∠ABC+∠BAC=2×40°=80°，∴∠FHG=180°−∠FHA+∠GHB=180°−80°=100°，故答案为：100°．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．【题型4 直角三角形斜边的中线与折叠的综合运用】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一张长方形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=CD，则∠DAF的度数为（ ）A．15° B．16° C．18° D．20°【答案】C【分析】连接DM，根据直角三角形的性质可得AM=DM=CM，从而得到∠FAD=∠MDA,∠MDC=∠MCD，再由折叠的性质可得DF=CD，从而得到∠DFC=∠DCF，进而得到MF=FD，继而得到∠FMD=∠FDM，再由三角形外角的性质可得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，从而得到∠DFC=4∠FAD，设∠DAF=x，则∠ADM=x，∠CDM=∠DCF=∠DFC=4x，再由∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°，即可求解．【详解】解：如图，连接DM， 在长方形ABCD中，∠ADC=90°，∵点M是对角线AC的中点，∴AM=DM=CM，∴∠FAD=∠MDA,∠MDC=∠MCD，∵△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，∴DF=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵MF=CD，∴MF=FD，∴∠FMD=∠FDM，∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，∴∠DFC=2∠FMD，∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，∴∠DMC=2∠FAD，∴∠DFC=4∠FAD，设∠DAF=x，则∠ADM=x，∠CDM=∠DCF=∠DFC=4x，∵∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°，∴x+4x=90°，解得：x=18°，即∠DAF=18°．故选：C【点睛】本题主要考查了折叠问题，三角形的内角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°列出方程是解题的关键．2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，点E在AC边上，将△DCE沿DE折叠至△DFE，AB与FE，FD分别交于G，H两点．若已知AB的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ） A．△AGE B．△FHG C．四边形DHGE D．四边形BDEG【答案】A【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出GA=GF即可求解．【详解】如图，连接AD，AF，∵三角形ABC是等腰直角三角形，且D为斜边的中点， ∴DA=DC=DB，∠DAG=∠DAC=∠B=∠C=45°，由折叠可得DA=DC=DB=DF，∴∠DAF=∠DFA，∵∠DAG=∠DFG=∠C=45°，∴∠GFA=∠GAF，∴GA=GF，∴C△AEG=AG+GE+AE=FG+GE+AE=FE+AE=CE+AE=AC=AB，故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是45°和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等．3．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）A．60° B．45° C．30° D．25°【答案】C【分析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质即可得出结论．【详解】解：∵△BCD沿CD折叠，∴BC=CE，∵E为AB中点，∠ACB=90°，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠A=90°−60°=30°，故选：C．【点睛】此题考查了翻折的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．4．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B=α，则∠EAC等于（ ）A．α B．90°−α C．12α D．90°−2α【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=α，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后∠EAC=∠EAD-∠CAD即可求出．【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形，∴CD=BD=AD，∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到，∴△CDE≌△CDB，则CD=BD=AD=ED，∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=α，∴∠EDC=180°-2α，∵AE∥DC，∴∠AED=∠EDC=180°-2α，∵ED=AD，∴∠EAD=∠AED=180°-2α，∵∠B=α，△ABC为直角三角形，∴∠CAD=90°-α，∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=180°-2α-（90°-α）=90°-α，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么折痕CD的长为 ． 【答案】1【分析】如图，设CE交AB于点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，∠A=∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD=∠DCE，再根据CE⊥AB，可证明∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，可得∠B=60°，从而得到△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可得结论．【详解】解：如图，设CE交AB于点O，∵∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD=∠DCE，∵CE⊥AB，∴∠BCE+∠B=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠BCE=∠A，∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，∴∠B=90°−∠BCE=90°−30°=60°，∵CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∵CB=1，∴CD=CB=1，∴折痕CD的长为1．故答案为：1． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质．6．（2021春·北京海淀·八年级北理工附中期中）如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 ．【答案】24【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE=12AB＝6，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为6×4＝24．【详解】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE=BE=12AB=6，由折叠可得：CB=BE，CD=ED，∴四边形BCDE的周长为6×4=24．故答案为：24．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2015春·湖南娄底·八年级统考期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状，并说明理由．【答案】△EBF为等边三角形．【详解】试题分析：（1）把矩形ABCD对折，可得M、N分别是AB、DC的中点，（2）把A折向MN，可得BE=2AP，再由（3）沿线段EA折叠，可得BF=2AP，从而可得出BE=BF，因此∠1=∠2，由角的关系求出∠1=60°，即可证出△EBF为等边三角形． 试题解析：△EBF是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作（1）得：M、N分别是AB、DC的中点，∴在Rt△ABE中，P为BE的中点，AP是斜边上的中线，∴AP=BP=12BE，即BE=2AP，在△EBF中，A是EF的中点，∴AP=12BF，即BF=2AP，∴BE=BF，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，2∠1+∠3=180°，∴3∠1=180°，∴∠1=60°，∴△EBF为等边三角形．考点：翻折变换（折叠问题）．8．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．【答案】(1)①CD=12AB，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)25【分析】（1）通过折叠△ABC,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠△BDC使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=12AB，倍长CD至点E，连接BE，先证△CDA≌△EDB，由全等的性质得到∠DCA=∠DEB,BE=AC，再进一步证明△ACB≌△EBC，证得CE=AB,从而证得CD=12AB（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5，又AB=2CE，所以AB≥10，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =12AB，下面证明下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE，在△BDE和△ADC中，BD=AD∠BDE=∠ADCCD=DE∴△CDA≌△EDB∴∠DCA=∠DEB,BE=AC∵∠DCA+∠BCE=90°∴∠BCE+∠BEC=90°∴∠EBC=∠BCA=90°在△BCA和△CBE中，BE=CA∠EBC=∠BCABC=CB∴△ACB≌△EBC∴CE=AB∴CD=12AB；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5∵AB=2CE∴AB≥10,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时，面积最小为：12×5×10=25．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力．【题型5 利用直角三角形斜边的中线探究线段之间的关系】1．（2020春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由见解析【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCDSAS，即可解决问题；（2）由△ACE≌△BCD，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCDSAS，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为：AE=BD，AE⊥BD．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°−∠CED=135°，由（1）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC−∠CDE=135°−45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M为BC边上的中点．(1)如图1，若点D、点E分别为线段AC、AB上的点，且DC=EA，连接MD、ME，求证：ME⊥MD；(2)如图2，若点D为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且DC=EB，∠AED=30°，连接ED，交BC于点N，EF是∠AED的角平分线，交AM于点F，连接AN、FD，探究线段AN、FD、AC之间的数量关系，并给出证明．【答案】(1)见解析(2)2AC=2AN+FD，见解析【分析】（1）连接AM，证明△MEA≅△MDCSAS，根据等角的余角相等即可证明∠EMD=∠AMC=90°，进而可得ME⊥MD；（2）过D作DG⊥AC，交BC于点G，过F分别作FP⊥AD，FH⊥ED，FQ⊥AB，垂足分别为P、H、Q，证明△EBN≅△DGNAAS，进而证明DF是∠ADE的角平分线，EF是∠AED的角平分线，可得FH=FP=FQ，结合含30度角的直角三角形的性质，可得2AC=AB+AC=AE+AD=QE+QA+AP+PD，进而可得2AC=2AN+FD(1)证明：连接AM，∵点M为等腰直角△ABC为斜边BC上的中点，∴AM⊥BC，AM=MC，∠MAE=∠MCD=45°，∵DC=EA，∴ △MEA≅△MDCSAS∴∠EMA=∠DMC∴∠EMA+∠AMD=∠DMC+∠AMD即∠EMD=∠AMC=90°，∴ME⊥MD(2)过D作DG⊥AC，交BC于点G，过F分别作FP⊥AD，FH⊥ED，FQ⊥AB，垂足分别为P、H、Q∵在等腰直角△ABC中，∠C=45°，且DG⊥AC，∴△GDC为等腰直角三角形，∴GD=CD，∵DC=EB，∴GD=EB，∵∠BAC=90°∴BA⊥AC∴DG∥EA∴∠BEN=∠GDN又∠ENB=∠DNG∴ △EBN≅△DGNAAS∴EN=DN，∴ED=2AN， ∵EF是∠AED的角平分线，而∠MAB=∠MAD=45°，∴DF是∠ADE的角平分线， 在Rt△ADE中，∠EAD=90°，∠AED=30° ∴∠ADE=60°∴∠FDH=30°∵FP⊥AD，FH⊥ED，FQ⊥AB，∴FH=FP=FQ，EH=EQ，AP=AQ，DP=DH，∴2AC=AB+AC=AE+AD=QE+QA+AP+PD=HE+HF+HF+HD=DE+2HF=2AN+FD.即2AC=2AN+FD.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．3．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）【探究发现】（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．【类比应用】（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．【答案】（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝12AB，理由见解析；（3）32或72【分析】（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF；（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．【详解】（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDF＝∠ADE，∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE，∴AB＝AF+BF＝AF+AE；故答案为：AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝12AB．理由是：如图2，取AB中点G，连接DG，∵点G是Rt△ADB斜边中点，∴DG＝AG＝BG＝12AB，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠GDF＝∠ADE，∵DG＝AG，∠BAD＝60°，∴△ADG为等边三角形，∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，∴△GDF≌△ADE（ASA），∴GF＝AE，∴AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF，∴AE+AF＝12AB；（3）当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，AE＝4，此时F在BA的延长线上，同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），∴AF＝HE，∵AH＝CH＝12AC＝52，CE＝1，∴AF=HE=CH−CE=52−1=32，当点E在AC延长线上时，如图4，同理可得：AF=HE=CH+CE=52+1=72；综上：AF的长为32或72．【点睛】本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键4．（2019秋·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考期中）已知△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠CFE＝90°，连接AE，点G是AE中点，连接BG和GF．（1）如图1，当△CEF中E、F落在BC、AC边上时，探究FG与BG的关系；（2）如图2，当△CEF中F落在BC边上时，探究FG与BG的关系．【答案】(1) FG=BG，FG⊥BG；证明见详解；（2）FG=BG，FG⊥BG；证明见详解；【分析】（1）由∠AFE=∠ABE=90°，点G是AE中点，则GF=AG=12AE，BG=AG=12AE，则得到FG=BG，∠FGE=2∠FAG，∠BGE=2∠BAG，由∠FAG+∠BAG=45°，即可得到∠BGF=90°；（2）过点E作ED⊥AB，交AB延长线于点D，连接DG，CG，根据题意，找出相应的条件证明△GFE≌△GBD（SAS），得到FG=BG，与（1）证法一样，证明∠CGD=90°，通过等量代换即可得到∠FGB=90°.【详解】解：（1）FG=BG，FG⊥BG；如图1，∵∠ABC＝∠CFE＝90°，∴△ABE和△AFE是直角三角形，∵点G是AE的中点，∴GF=AG=12AE，BG=AG=12AE，∴GF=BG.，∠GAF=∠GFA，∠GAB=∠GBA，∴∠FGE=2∠FAG，∠BGE=2∠BAG，∵∠BAC=∠FAG+∠BAG=45°∴∠BGF=∠FGE+∠BGE=2（∠FAG+∠BAG）=90°，即FG⊥BG；（2）GF=BG，GF⊥BG；过点E作ED⊥AB，交AB延长线于点D，连接DG，CG，∵△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，ED⊥AB，∴∠FBD=∠BFE=∠EDB=90°，∴四边形BFED是矩形，∴BD=EF，在直角三角形ADE和直角三角形ACE中，G是AE中点，∴DG=GE=AG=CG=12AE， ∴∠GED=∠GDE，∴∠FEG=∠BDG，∴△GFE≌△GBD（SAS），∴GF=GB，CF=BD，∵DG=AG=CG，∴△CGF≌△DGB，∠CAG=∠ACG，∠DAG=∠ADG，∴∠CGF=∠DGB，∵∠CAG+∠DAG=45°，∠CGE+∠DGE=2（∠CAG+∠DAG）=90°，即∠CGD=90°，∴∠CGD-∠CGF+∠DGB=∠FGB=90°，即FG⊥BG.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，矩形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，寻找条件证明三角形全等.5．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）（1）已知，如图1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求证：CD=12AB；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：已知：点P是任意△ABC的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边AB的中点，分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．①如图2，当点P与点Q重合时，探究QE和QF的数量关系；②如图3，当点P与点Q不重合时，探究QE和QF的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①QE=QF；②QE=QF【分析】（1）延长CD至E，使DE=CD，连接AE，证明△ADE≌△BDCSAS，再证明Rt△CAE≌Rt△ACBSAS，可得CE=AB，从而可得结论；（2）①Q是AB的中点，过Q分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F，可得AQ=BQ，∠AQE=∠BQF=90°，证明Rt△AEQ≌Rt△BFQAAS，可得QE=QF，②延长EQ交BF于G，证明△AEQ≌△BGQASA，可得QE=12EG，结合Rt△EFG，Q是EG的中点，可得QF=12EG，即QE=QF．【详解】证明：（1）延长CD至E，使DE=CD，连接AE， ∵在△ADE和△BDC中AD=BD∠ADE=∠BDCCD=ED∴△ADE≌△BDCSAS∴∠DAE=∠B，AE=BC∵在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°∴∠DAE+∠BAC=90°，即∠CAE=90°∵在Rt△CAE和Rt△ACB中，AE=CB∠CAE=∠ACB=90°AC=CA∴Rt△CAE≌Rt△ACBSAS∴CE=AB又∵DE=CD=12CE，∴CD=12AB．（2）①∵Q是AB的中点，过Q分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．∴AQ=BQ，∠AQE=∠BQF=90°，在Rt△AEQ和Rt△BFQ中，∠AEQ=∠BFQ=90°∠AQE=∠BQFAQ=BQ∴Rt△AEQ≌Rt△BFQAAS∴QE=QF ②延长EQ交BF于G ∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴∠AEP=∠BFP=90°，∴AE∥BF，∴∠QAE=∠QBG，在△AEQ和△BGQ中，∠QAE=∠QBGAQ=BQ∠AQE=∠BQG∴△AEQ≌△BGQASA∴QE=QG，∴QE=12EG，∵在Rt△EFG中，Q是EG的中点，∴QF=12EG，即QE=QF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练的证明直角三角形斜边上的中线的性质并灵活运用是解本题的关键．6．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知△ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出△ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)如图2，若∠ACB=90°,CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若∠ACB=45°,AC=BC,CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF=4，求DE的长．【答案】(1)作图见详解(2)AB=2CD．证明见详解(3)2【分析】（1）①根据三角形的中线的定义作出图形即可．②根据要求作出图形即可；（2）结论：AB=2CD．利用全等三角形的判定和性质证明即可；（3）利用全等三角形的性质证明AB=CF，再利用（3）中结论解决问题．【详解】（1）解：①如图1所示，线段CD即为所求．作法：1．分别以A,B为圆心，大于12AB为半径画弧，交于两点，2．连接这两点与AB交于点D，3．连接CD，线段CD即为所求．②如图1中，线段DE，AE即为所求． 作法：1．延长线段CD至点E，使DE=CD，2．连接AE，线段DE，AE即为所求；（2）解：AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：如图，延长CD至E，使DE=DC，连接BE， ∵CD是中线，∴AD=BD，在△ADC和△BDE中，AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，∴△ADC≌△BDE(SAS)，∴∠E=∠ACD，AC=BE，∴AC∥BE，∴∠ACB+∠EBC=180°，∵∠ACB=90°，∴∠EBC=90°，在△ACB和△EBC中，AC=BE∠ACB=∠EBCCB=BC，∴△ACB≌△EBC(SAS)，∴AB=CE，∵CE=2CD，∴AB=2CD．（3）解：如图3中， ∵BE⊥AC，∠ACB=45°，∴∠CEB=∠BEA=90°，∠ECB=∠EBC=45°，∴EC=EB，∵AC=BC，CD是中线，∴CD⊥AB，∵∠CEF=∠BDF=90°，∠CFE=∠BFD，∴∠ECF=∠ABE，在△CEF和△BEA中，∠ECF=∠EBACE=BE∠CEF=∠BEA，∴△CEF≌△BEA(ASA)，∴CF=AB=4，∵AD=BD，∠AEB=90°，∴DE=12AB=2．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线的定义，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（2023春·江苏苏州·七年级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．【答案】(1)BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD(2)不发生变化，证明见解析(3)BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD，图见解析【分析】（1）由于BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，即可证得BM＝DM＝12CE；易知BM＝MC＝DM，结合三角形的外角性质可知∠EMB＝2∠MCB，∠DME＝2∠DCM，两式相加即可得到∠BMD＝2∠BCD．（2）同（1）易证得DM＝BM；由于BM＝MC＝DM＝EM，结合三角形的外角性质可得：∠BME＝2∠BCM，∠DME＝2∠MCD，两式相减即可得到∠BMD＝2∠BCD．（3）此题应分三种情况：①D点在线段AC上时，易证得BM＝MD，同（2）可证得∠BMD＝2∠BCD；②D、C重合，此时BM＝MD，而∠BCD不存在；③D点在AC的延长线上，同（2）可得到∠BMD＝∠BME+∠EMD＝2∠BCD，所以钝角∠BMD＝360°﹣2∠BCD．【详解】（1）解：结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD．理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，∴BM＝DM＝12CE；又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；同理可得∠DME＝2∠DCM；∴∠BME+∠DME＝2(∠BCM+∠DCM)，即∠BMD＝2∠BCD．（2）解：在（1）中得到的结论仍然成立．即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝MC，又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB﹣∠EMD＝2∠BCM﹣2∠DCM＝2(∠BCM﹣∠DCM)＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝ME；又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝ME，DM＝MC，∴∠BEC＝∠EBM，∠MCD＝∠MDC，∴∠BEM+∠MCD＝∠BAC＝90°﹣∠BCD，∴∠BMD＝180°﹣(∠BMC+∠DME)，＝180°﹣2(∠BEM+∠MCD)＝180°﹣2(90°﹣∠BCD)＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．（3）解：分三种情况：①D点在线段AC上时，如图1，有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；理由：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝MC，又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠CMB﹣∠CMD=180°-2∠BCM-（180°-2∠DCM）＝-2∠BCM+2∠DCM=-2∠BCM+2(∠BCD+∠BCM)＝-∠BCM+2∠BCD+2∠NCM＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD；②D、C重合，如图2，此时BM＝MD，而∠BCD不存在；理由：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝MC，∵D、C重合，∴∠BCD不存在；③D点在AC的延长线上，如图3，BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD．理由：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝ME，∴∠MBE=∠MEB，又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝ME，∴∠MED=∠MDE，∴BM＝DM∵∠BMC=∠MBE+∠MEB=2∠MEB，∠DMC=∠MDE+∠MED=2∠MED，∴∠BMD=∠BMC+∠DMC=2∠MEB+2∠MED=2∠BED，∵∠BED=360°-∠CBE-∠CDE-∠BCD==360°-90°-90-∠BCD=180°-∠BCD∴∠BMD＝2(180°-∠BCD)=360°﹣2∠BCD．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质以及三角形的外角性质，要注意（3）题中，点D的位置有三种，不要遗漏任何一种情况．8．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB =90°，D为 AB 的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段 AC、线段 BC交于点 E、F（点 F与点 B、C不重合），写出线段 CF、CE、BC 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D 为 AB 的中点，∠MDN=60°，将∠MDN 绕点 D 旋转，旋转过程中，∠MDN 的两边分别与线段 AC、线段 BC 交于点 E、F（点 F 与点 B、C 不重合），直接写出线段 CF、CE、 BC 之间的数量关系为______；（3）【拓展延伸】如图③，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，过点 A 作 AE⊥AC， 交 CB 的延长线于点 E，若 CB=6，DC=2，则 BE 的长为 ．【答案】（1）CF+CE=BC；证明见解析；（2）CF+CE=12BC；（3）10【分析】（1）利用ASA证明ΔEDC ≅ΔFDB，推出CE=BF，则BC=BF+CF=CE+CF；（2）取BC中点G，连接DG，利用已知条件和直角三角形斜边中线的性质先证ΔDCG是等边三角形，再证ΔEDC ≅ΔFDG，推出CE=GF，进而得到BC=2CG=2GF+CF=2CE+CF；（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，同（2）证明ΔACB ≅ΔAGD，得出GD=BC=6，进而求出FC，再证CE=CF，即可得出BE=CE−BC=16−6=10．【详解】解：（1）CF+CE=BC．证明如下：∵等腰△ACB中∠ACB =90°，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°，∠A=∠B=45°，∴∠CDB=90°， ∴∠B=∠BCD，∴DC=DB．又∵∠MDN=90°，∴∠EDC=∠BDF．在ΔEDC和ΔFDB中，∠EDC=∠FDBDC=DB∠ECD=∠B，∴ΔEDC ≅ΔFDB，∴CE=BF，∴BC=BF+CF=CE+CF；（2）CF+CE=12BC．证明如下：取BC中点G，连接DG，∵等腰△ACB中∠ACB=120°，D为AB 的中点，∴CD⊥AB，即∠CDB=90°，∠ACD=∠BCD=12∠ACB=60°，∵在RtΔCDB中，点G是BC中点，∴DG=12BC=CG，∴ΔDCG是等边三角形，∴∠CDG=∠CGD=60°，DG=DC，又∵∠CDG=∠MDN=60°，∴∠EDC=∠FDG，又∵∠ECD=∠FGD=60°，DG=DC，∴ΔEDC ≅ΔFDG，∴CE=GF，∴BC=2CG=2GF+CF=2CE+CF，∴CE+CF=12BC．故答案为：CE+CF=12BC；（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，∵AE⊥AC，∴∠CAF=90°，在RtΔCAF中，点G是CF中点，∴AG=GC=GF，∵AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，∴∠ACG=∠ACE=12∠BCD=60°，∴ΔACG是等边三角形，∴∠GAC=∠AGD=60°，AG=AC，又∵∠DAB=60°，∴∠GAD=∠CAB，又∵∠ACB=∠AGD=60°，AG=AC，∴ΔACB ≅ΔAGD，∴GD=BC=6，∴FC=2CG=2GD+DC=2×6+2=16，∵∠F=90°−∠ACD=90°−60°=30°，∠E=90°−∠ACE=90°−60°=30°，∴∠F=∠E，∴CE=CF=16，∴BE=CE−BC=16−6=10．
专题2.6 直角三角形斜边的中线五大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对直角三角形斜边的中线五大题型的理解！【题型1 直角三角形斜边的中线的证明】1．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）如图，已知△ABC的两条高为BE、CF，M、N分别为BC、EF的中点．判断：MN与EF的位置关系并证明．2．（2023春·湖南·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD和CE分别是斜边AB上的中线和高线，F是CD的中点． (1)求CD的长；(2)证明：△EDF为等边三角形．3．（2021秋·浙江温州·八年级校联考期中）证明命题“30°所对直角边等于斜边的一半”是真命题并应用．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求证：BC=12AB．(2)点P，Q分别是Rt△ABC边AB，BC上的动点．点P以每秒2个单位的速度从A向B运动，点Q以每秒1个单位的速度从B向C运动．P，Q同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点立即停止运动．连接PQ，若AB＝4，当t为多少秒时，△PQB是直角三角形．4．（2023春·山西太原·八年级统考期中）我们知道，研究图形性质就是研究其要素以及相关要素之间的关系.按照这一思路，小颖发现了等腰直角三角形有如下性质；等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请根据图形补全已知、求证中空缺的内容，并证明这一性质．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，______ ．求证：______ ． 5．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．6．（2023春·四川达州·七年级校考期末）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=12AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；(1)求证：PM=PN；(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；(3)如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为AB上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．7．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度数；(2)如图（2）延长BD，EC交于点M，①证明：A，M，H在同一条直线上；②若BC=2CM，证明：BD=HD．【题型2 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】1．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E是BD的中点，若AD=4，则CE的长为（ ） A．3 B．52 C．2 D．32．（2023春·陕西西安·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）A．1 B．32 C．3 D．63．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB=11，AC=10，则四边形AEDF的周长为（ ）A．10.5 B．21 C．30 D．424．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 5．（2023春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB=4，则线段FG的长为 ．6．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长． 7．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F 分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长．8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．(1)求证：MN⊥BD；(2)当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．【题型3 利用直角三角形斜边的中线求角度】1．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（ ） A．30° B．45° C．22.5° D．60°2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a0∘<α<90∘至OP，若CB=CP，则α的值为（ ）A．80∘ B．65∘ C．50∘ D．40∘3．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知：如图所示，CD是△ABC的中线，∠A=30°，∠BDC=45°，则∠B= ．4．（2023春·宁夏固原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，DE⊥AB，DE与CB交于点E．若∠B=25°，则∠CDE的度数为 ． 5．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，直线m∥n，Rt△ABC中，∠B=60°，直线m经过斜边AB的中点D和直角顶点C，则∠CEF的度数是 ． 6．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 7．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，则∠DCB= ． 8．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q分别为边BC，AC上的点，∠QPC=40°，M为PQ的中点，∠AMC=100°，则∠PCM= °；∠BAM= °． 9．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．(1)求证：HF=HG；(2)∠FHA与∠ABC间有何关系，并说明理由；(3)∠D=40°，请直接写出∠FHG的度数 ．【题型4 直角三角形斜边的中线与折叠的综合运用】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一张长方形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=CD，则∠DAF的度数为（ ）A．15° B．16° C．18° D．20°2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，点E在AC边上，将△DCE沿DE折叠至△DFE，AB与FE，FD分别交于G，H两点．若已知AB的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ） A．△AGE B．△FHG C．四边形DHGE D．四边形BDEG3．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）A．60° B．45° C．30° D．25°4．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B=α，则∠EAC等于（ ）A．α B．90°−α C．12α D．90°−2α5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么折痕CD的长为 ． 6．（2021春·北京海淀·八年级北理工附中期中）如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 ．7．（2015春·湖南娄底·八年级统考期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状，并说明理由．8．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．【题型5 利用直角三角形斜边的中线探究线段之间的关系】1．（2020春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．2．（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M为BC边上的中点．(1)如图1，若点D、点E分别为线段AC、AB上的点，且DC=EA，连接MD、ME，求证：ME⊥MD；(2)如图2，若点D为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且DC=EB，∠AED=30°，连接ED，交BC于点N，EF是∠AED的角平分线，交AM于点F，连接AN、FD，探究线段AN、FD、AC之间的数量关系，并给出证明．3．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）【探究发现】（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．【类比应用】（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．4．（2019秋·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考期中）已知△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠CFE＝90°，连接AE，点G是AE中点，连接BG和GF．（1）如图1，当△CEF中E、F落在BC、AC边上时，探究FG与BG的关系；（2）如图2，当△CEF中F落在BC边上时，探究FG与BG的关系．5．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）（1）已知，如图1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求证：CD=12AB；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：已知：点P是任意△ABC的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边AB的中点，分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．①如图2，当点P与点Q重合时，探究QE和QF的数量关系；②如图3，当点P与点Q不重合时，探究QE和QF的数量关系． 6．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知△ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出△ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)如图2，若∠ACB=90°,CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若∠ACB=45°,AC=BC,CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF=4，求DE的长．7．（2023春·江苏苏州·七年级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．8．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB =90°，D为 AB 的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段 AC、线段 BC交于点 E、F（点 F与点 B、C不重合），写出线段 CF、CE、BC 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D 为 AB 的中点，∠MDN=60°，将∠MDN 绕点 D 旋转，旋转过程中，∠MDN 的两边分别与线段 AC、线段 BC 交于点 E、F（点 F 与点 B、C 不重合）， 专题2.6 直角三角形斜边的中线五大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对直角三角形斜边的中线五大题型的理解！【题型1 直角三角形斜边的中线的证明】1．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）如图，已知△ABC的两条高为BE、CF，M、N分别为BC、EF的中点．判断：MN与EF的位置关系并证明．【答案】MN⊥EF，理由见解析【分析】（1）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝12BC，再根据等腰三角形三线合一证明即可．【详解】解：MN⊥EF．理由：连接ME，MF．∵CF是AB边的高，∴CF⊥AB，∴∠BFC=90°．∵点M是BC的中点，MF=12BC．同理， ME=12BC．∴ME=MF．又∵点N为EF的中点，∴MN⊥EF．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键．2．（2023春·湖南·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD和CE分别是斜边AB上的中线和高线，F是CD的中点． (1)求CD的长；(2)证明：△EDF为等边三角形．【答案】(1)2(2)见解析【分析】（1）根据含30度的直角三角形的性质可得AB=4，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=DB=AD=12AB，根据等边三角形的判定和性质可得∠CDA=60°，含30度的直角三角形的性质可得DE=12DC，根据中点的性质可得EF=12CD，即可推得EF=DF，根据等边三角形的判定即可求证．【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴AB=2AC=2×2=4，∵CD是斜边上的中线，∴CD=12AB=12×4=2．（2）证明：∵CD是斜边上的中线，∴CD=DB=AD=12AB，∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CDA=60°，∵CE⊥AD，∴AE=DE，∠ECD=30°，∴DE=12DC， ∵F是CD的中点，∴EF=12CD，∴EF=DF， ∴△EDF为等边三角形．【点睛】本题考查了含30度的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，中点的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．3．（2021秋·浙江温州·八年级校联考期中）证明命题“30°所对直角边等于斜边的一半”是真命题并应用．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求证：BC=12AB．(2)点P，Q分别是Rt△ABC边AB，BC上的动点．点P以每秒2个单位的速度从A向B运动，点Q以每秒1个单位的速度从B向C运动．P，Q同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点立即停止运动．连接PQ，若AB＝4，当t为多少秒时，△PQB是直角三角形．【答案】(1)见解析(2)1秒或者85秒【分析】（1）证明取AB中点D并连接CD．证明△BCD是等边三角形，即可得证；（2）根据题意有：AP=2t，BQ＝t，AB=4，即BP＝AB-AP=4－2t，分当∠PQB＝90°，∠BPQ＝30°时，和当∠QPB＝90°，∠PQB＝30°时，两种情况讨论，运用（1）的结论即可作答．（1）证明：取AB中点D并连接CD．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵CD是斜边AB的中线，∴在Rt△ABC中，CD=BD=12AB，∴△BCD是等边三角形，∴BC=CD=12AB；（2）根据题意有：AP=2t，BQ＝t，AB=4，即BP＝AB-AP=4－2t，当∠PQB＝90°，∠BPQ＝30°时，如图，即BP＝2BQ，4－2t＝2t，解得t＝1；当∠QPB＝90°，∠PQB＝30°时，2BP＝BQ，24−2t=t，解得t=85，综上：当t为1秒或者85秒时，△PBQ是直角三角形．【点睛】本题考查了直角三角形的性质及斜边的中线等于斜边的一半的知识以及动点几何的问题，题目不难，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．4．（2023春·山西太原·八年级统考期中）我们知道，研究图形性质就是研究其要素以及相关要素之间的关系.按照这一思路，小颖发现了等腰直角三角形有如下性质；等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请根据图形补全已知、求证中空缺的内容，并证明这一性质．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，______ ．求证：______ ． 【答案】点D是BC的中点，AD=12BC，见解析【分析】由等腰直角三角形的性质得到，∠B=45°，由等腰三角形的性质得到∠BAD=12∠BAC=45°，因此∠B=∠BAD，得到AD=BD，而BD=12BC，即可证明AD=12BC．【详解】解：已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，求证：AD=12BC．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AB=AC，点D是BC的中点，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=45°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∵BD=12BC，∴AD=12BC，∴等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．故答案为：点D是BC的中点，AD=12BC．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，关键是由等腰直角三角形的性质推出AD=BD．5．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．【答案】(1)①CD=12AB，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)25【分析】（1）通过折叠△ABC,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠△BDC使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=12AB，倍长CD至点E，连接BE，先证△CDA≌△EDB，由全等的性质得到∠DCA=∠DEB,BE=AC，再进一步证明△ACB≌△EBC，证得CE=AB,从而证得CD=12AB（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5，又AB=2CE，所以AB≥10，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =12AB，下面证明下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE，在△BDE和△ADC中，BD=AD∠BDE=∠ADCCD=DE∴△CDA≌△EDB∴∠DCA=∠DEB,BE=AC∵∠DCA+∠BCE=90°∴∠BCE+∠BEC=90°∴∠EBC=∠BCA=90°在△BCA和△CBE中，BE=CA∠EBC=∠BCABC=CB∴△ACB≌△EBC∴CE=AB∴CD=12AB；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5∵AB=2CE∴AB≥10,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时，面积最小为：12×5×10=25．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力．6．（2023春·四川达州·七年级校考期末）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=12AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；(1)求证：PM=PN；(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；(3)如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为AB上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．【答案】(1)证明见解析(2)成立；证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）如图2中，延长NP交BM的延长线于G.只要证明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根据直角三角形斜边中线定理即可证明；（2）结论：PM=PN.延长NP交BM于G，证明方法类似（1）；（3）如图4中，延长NP交BM于G.先证明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再证明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因为AN=CM，所以MG=MN，即可证明PM⊥PN．【详解】（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，∠PCN=∠PBG∠CPN=∠GPBPC=PB，∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（2）解：结论：PM=PN．如图3中，延长NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，∠PCN=∠PBG∠CPN=∠GPBPC=PB，∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（3）解：如图4中，延长NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，∴∠EAN=∠ACM，在△EAN和△CAM中，∠ENA=∠AMC=90°∠EAN=∠ACMAE=AC，∴△EAN≌△CAM，∴EN=AM，AN=CM，∵EN⊥AM，CM⊥AM，∴EN∥CG，∴∠ENP=∠CGP，在△ENP和△CGP中，∠ENP=∠CGP∠EPN=∠CPGEP=PC，∴△ENP≌△CGP，∴EN=CG=AM，PN=PG，∵AN=CM，∴MG=MN，∵PN=PG，∴PM⊥PN．【点睛】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度数；(2)如图（2）延长BD，EC交于点M，①证明：A，M，H在同一条直线上；②若BC=2CM，证明：BD=HD．【答案】(1)40°(2)①见解析；②见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（2）①连接BE，根据等腰三角形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质分别证明△ABC≌△ADE、△ABD≌△AEC、△DBH≌△CEH、△MDE≌△MCB得到ME=MB，BH=EH，根据线段垂直平分线的判定即可证的结论；②根据邻补角定义和四边形的内角和为360°证得∠BMC=90°，取BC中点O，连接MO，根据直角三角形斜边中线性质和等边三角形的判定与性质得到∠MCB=60°=∠MDE， ∠MBC=30°，再利用三角形的外角性质得到∠DBH=∠DHB，根据等腰三角形的判定即可证得结论正确．【详解】（1）解：∵AB=AD，∠BDA=65°，∴∠ABD=∠BDA=65°，∴∠BAD=180°−2×65°=50°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=90°−50°=40°；（2）解：连接BE，在△ABC和△ADE中，∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=EA，∴△ABC≌△ADESAS，∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，BC=DE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又AB=AC=AD=EA，∴△ABD≌△AECSAS，∴BD=CE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，∴∠DBH=∠CEH，又∠DHB=∠CHE，∴△DBH≌△CEHAAS，∴BH=EH，∵∠MDE+∠ADB+∠ADE=180，∠MCB+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠MDE=∠MCB，又DE=BC，∠MED=∠MBC，∴△MDE≌△MCBASA，∴ME=MB，又AB=AE，BH=EH，∴A，M，H在线段BE的垂直平分线上，∴A，M，H在同一条直线上；②由①知，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ACM=180°，∴∠ABD+∠ACM=180°，∵∠ABM+∠ACM+∠BAC+∠BMC=360°，∠BAC=90°，∴∠BMC=90°，取BC中点O，连接MO，则MO=OC=OB=12BC，∵BC=2CM，∴MO=OC=CM，∴△MOC是等边三角形，∴∠MCB=60°=∠MDE，则∠MBC=30°，∵∠MDE=∠DBH+∠DHB，∴∠DHB=60°−30°=30°，∴∠DBH=∠DHB，∴BD=HD．【点睛】本题是三角形的综合题，主要涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、四边形的内角和性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键【题型2 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】1．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E是BD的中点，若AD=4，则CE的长为（ ） A．3 B．52 C．2 D．3【答案】C【分析】先证明∠ABD=∠A，根据等角对等边得到BD=AD=4，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=90°−∠ABC=30°，∵BD平分∠ABC交边AC于点D，∴∠ABD=12∠ABC=30°，∴∠ABD=∠A，∴BD=AD=4，在△ABC中，∠ACB=90°，E是BD的中点，∴CE=12BD=2．故选：C【点睛】此题考查了直角三角形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．2．（2023春·陕西西安·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）A．1 B．32 C．3 D．6【答案】B【分析】先求出AB，再根据中线求出AD、BD，然后利用等腰三角形性质即可得出．【详解】解：在Rt△ABC中，∵ ∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，∴ AB=12BC=12×6=3，∵点D为BC的中点，∴ AD=BD=12BC=3，∴ △ABD为等边三角形，∵ AE⊥BC，∴ DE=12BD=32．故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质定理、等腰三角形三线合一等知识点，直角三角形性质定理的运用是解题关键．3．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB=11，AC=10，则四边形AEDF的周长为（ ）A．10.5 B．21 C．30 D．42【答案】B【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=12AB，DF=12AC，再由AB=11，AC=10，即可求解．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴DE=12AB=112，DF=12AC=5，AE=12AB=112，AF=12AC=5，∴四边形的周长=AE+DE+DF+AF=21，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．4．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 【答案】25°【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三线合一可得DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，进而根据三角形的外角的性质得出∠BED=∠ECD+∠EDC=40°，再根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，连接DE， ∵点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，AB=AC，∴DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，则DE=AE，∴∠EAD=∠EDA，∠EDC=∠ECD∵∠BCD=20°，∴∠BED=∠ECD+∠EDC=40°∴∠AED=∠AEB+∠BED=130°∴∠DAE=12180°−∠AED=12180°−130°=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB=4，则线段FG的长为 ．【答案】2【分析】延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，根据全等三角形的性质得到AE=AB=4，根据平行线的性质得到∠BAF=∠AFG，得到AG=FG，推出FG=12AE=2．【详解】解：延长BF交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BF⊥AD，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵AF=AF，∴△ABF≅△AEF（ASA），∴AE=AB=4，∵FG∥AB，∴∠BAF=∠AFG，∴∠GAF=∠GFA，∴AG=FG，∵∠FAG+∠AEF=∠AFG+∠EFG=90°，∴∠GFE=∠GEF，∴FG=GE，∴FG=GE=AG，∴FG=12AE=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，继而正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长． 【答案】14．【分析】连接AF，证明∠AFC=90°，可得EF是Rt△AFC的中线，从而可得答案．【详解】连接AF， ∵AB=AD，F为BD中点，∴AF⊥BD，∴∠AFB=∠AFD=90°，在Rt△AFC中，E为AC中点，∴EF=12AC=7，∴AC=14．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记以上概念并灵活应用是解题的关键．7．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F 分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长．【答案】14【分析】连接AF，证明∠AFC=90°，可得EF是Rt△AFC的中线，从而可得答案．【详解】解：连接AF，∵AD=AB，∴△ABD是等腰三角形，又F是BD的中点，∴AF是△ABD的中线，∴AF也是△ABD的高，即∠AFC=90°又∵E是AC的中点，∴EF是Rt△AFC的中线，∴EF=12AC，又EF=7，∴AC=2EF=2×7=14．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记以上概念并灵活应用是解本题的关键．8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．(1)求证：MN⊥BD；(2)当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．【答案】(1)见解析(2)2.5cm【分析】（1）连接BM、DM．由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=DM=12AC，由线段垂直平分线的判定即可证明结果；（2）由∠BCA=15°及BM=CM=12AC可得∠BMA=30°，再由OB=OM得∠OBM=∠BMA=30°，在Rt△BMN中由含30度角直角三角形的性质即可求得MN的长．【详解】（1）证明：如图，连接BM、DM．∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、BD的中点，∴BM=12AC，DM=12AC，∴BM=DM=12AC，∵N是BD的中点，∴MN是BD的垂直平分线，∴MN⊥BD．（2）解：∵∠BCA=15°，BM=CM=12AC，∴∠BCA=∠CBM=15°，∴∠BMA=30°，∵OB=OM，∴∠OBM=∠BMA=30°，∵AC=10cm，BM=12AC，∴BM=5cm，在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，∴MN=12BM=2.5cm，答：MN的长是2.5cm．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接BM、DM是解题的关键．【题型3 利用直角三角形斜边的中线求角度】1．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（ ） A．30° B．45° C．22.5° D．60°【答案】B【分析】由题意可求出∠ACD=34∠ACB=67.5°，即∠ACE+∠ECD=67.5°．根据直角三角形斜边中线的性质可得出CE=AE，从而可证∠ACE=∠A．再根据CD⊥AB，即得出∠ACD+∠A=90°，即∠ECD+∠ACE+∠A=90°，进而可求出∠ACE=∠A=22.5°，最后即可求出∠ECD=67.5°−∠ACE=45°．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，∴∠ACD=34∠ACB=67.5°，即∠ACE+∠ECD=67.5°．∵E是斜边AB的中点，∴CE=AE,∴∠ACE=∠A．∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，即∠ECD+∠ACE+∠A=90°，∴67.5°+∠A=90°，∴∠ACE=∠A=22.5°，∴∠ECD=67.5°−∠ACE=45°．故选B．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a0∘<α<90∘至OP，若CB=CP，则α的值为（ ）A．80∘ B．65∘ C．50∘ D．40∘【答案】A【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OC=OA=OB，再证明△BOC≌POC，得∠BOC=∠POC，便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，O为斜边中点，∴OC=OA=OB，∴∠OBC=∠OCB=25°，∴∠BOC=130°，由旋转知OA=OP，∴OB=OP，∵CB=CP，CO=CO，∴△BOC≌POC（SSS），∴∠BOC=∠POC=130°，∴α=∠BOC+∠POC−180°=80°，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，关键是证明三角形全等．3．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知：如图所示，CD是△ABC的中线，∠A=30°，∠BDC=45°，则∠B= ．【答案】105°【分析】过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，根据垂直定义可得∠AHB=∠CHB=90°，从而可得∠ABH=60°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得DH=BD，从而可得△BHD是等边三角形，进而可得HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，最后利用三角形外角的性质和角的和差关系求出∠ACD=∠HDC=15°，从而可得HD=HC，进而可得HB=HC，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HBC=∠HCB=45°，进行计算即可解答．【详解】解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，∴∠AHB=∠CHB=90°，∵∠A=30°，∴∠ABH=90°−∠A=60°，∵DH是斜边AB上的中线，∴DH=BD=12AB，∴△BHD是等边三角形，∴HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，∵∠BDC=45°，∴∠HDC=∠HDB−∠BDC=15°，∵∠ACD=∠BDC−∠A=15°，∴∠ACD=∠HDC=15°，∴HD=HC，∴HB=HC，∴∠HBC=∠HCB=45°，∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=105°，∴∠ABC的度数为105°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2023春·宁夏固原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，DE⊥AB，DE与CB交于点E．若∠B=25°，则∠CDE的度数为 ． 【答案】40°【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质可得CD=BD，由等腰三角形的性质可得∠DCB=∠B=25°，由垂线的定义可得∠EDB=90°，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，∴CD=BD，∵ ∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∵DE⊥AB，∴∠EDB=90°，∵∠DCB+∠B+∠CDE+∠EDB=180°，∴∠CDE=180°−∠DCB−∠B−∠EDB=180°−25°−25°−90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理，是解题的关键．5．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，直线m∥n，Rt△ABC中，∠B=60°，直线m经过斜边AB的中点D和直角顶点C，则∠CEF的度数是 ． 【答案】150°【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，根据等腰三角形的性质∠B=∠BCD=60°，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴BD=12AD=CD，∴∠B=∠BCD，又∠B=60°，∴∠BCD=60°，又∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，∵m∥n，∴∠ACD+∠CEF=180°，∴∠CEF=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．6．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，且AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE 的度数是 ． 【答案】25°【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三线合一可得DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，进而根据三角形的外角的性质得出∠BED=∠ECD+∠EDC=40°，再根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，连接DE， ∵点E是 Rt△ABC、 Rt△BCD的斜边BC的中点，AB=AC，∴DE=EC，AE=EC且AE⊥BC，则DE=AE，∴∠EAD=∠EDA，∠EDC=∠ECD∵∠BCD=20°，∴∠BED=∠ECD+∠EDC=40°∴∠AED=∠AEB+∠BED=130°∴∠DAE=12180°−∠AED=12180°−130°=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．7．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，则∠DCB= ． 【答案】75°【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB=OC=OA=OD=12BC，再利用BC=2AD可得△OAD是等边三角形，从而得到∠AOD=60°，利用等腰三角形的性质三线合一可得∠AOB=90°，从而得到∠COD=30°，再利用OC=OD，得到∠DCB=75°．【详解】解：∵O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°∴OB=OC=OA=OD=12BC，又∵BC=2AD，即AD=12BC，∴OA=OD=AD，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵O是BC中点，AB=AC∴∠AOB=90°，(三线合一)∴∠COD=180°−∠AOB−∠AOD=30°，又∵OC=OD，∴∠DCB=180°−∠COD2=75°，故答案是：75°．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关定理求出∠COD是解题的关键．8．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q分别为边BC，AC上的点，∠QPC=40°，M为PQ的中点，∠AMC=100°，则∠PCM= °；∠BAM= °． 【答案】 40 15【分析】根据中点的定义和直角三角形的性质可得MC=12PQ=MP=QM，根据等边对等角可得∠PCM=∠QPC=40°；由余角的性质可得∠ACM=∠ACB−∠MCP=50°，进而说明∠QMC=80°，则∠QMA=20°；再根据三角形外角的性质可得∠AQM=130°，运用三角形内角和可得∠QAM=30°，再说明∠CAB=45°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：∵M为PQ的中点，∴MQ=MP，∵∠ACB=90°，∴MC=12PQ=MP=QM，∴∠PCM=∠QPC=40°；∴∠ACM=∠ACB−∠MCP=50°，∵MC=QM，∴∠CQM=∠MCQ=50°，∴∠QMC=180°−∠CQM−∠MCQ=80°，∵∠AMC=100°，∴∠QMA=∠AMC−∠CMQ=20°，∵∠AQM=∠ACB+∠QPC=130°，∴∠QAM=180°−∠AQM−∠AMQ=30°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∴∠BAM=∠CAB−∠QAM=15°．故答案为①40；②15．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识定，灵活运用等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．9．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．(1)求证：HF=HG；(2)∠FHA与∠ABC间有何关系，并说明理由；(3)∠D=40°，请直接写出∠FHG的度数 ．【答案】(1)见解析(2)∠FHA=2∠ABC，理由见解析(3)100°【分析】（1）连接AF、BG，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结论；（3）由等腰三角形的性质和三角形的外角性质求出∠FHA+∠GHB=80°，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）证明：连接AF、BG，∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，∴AF⊥BD，BG⊥AE，∴∠AFB=∠BGA=90°，∵H是AB的中点，∴HF=12AB，HG=12AB，∴HF=HG．（2）解：∠FHA=2∠ABC，理由如下：由（1）可知，HF=BH，∴∠HFB=∠ABC，∵∠FHA是△BHF的外角，∴∠FHA=∠HFB+∠ABC=2∠ABC．（3）解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠D=40°，∴∠ABC+∠BAC=∠ACD=40°，由（2）可知，∠FHA=2∠ABC，同理：∠GHB=2∠BAC，∴∠FHA+∠GHB=2∠ABC+2∠BAC=2∠ABC+∠BAC=2×40°=80°，∴∠FHG=180°−∠FHA+∠GHB=180°−80°=100°，故答案为：100°．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．【题型4 直角三角形斜边的中线与折叠的综合运用】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一张长方形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=CD，则∠DAF的度数为（ ）A．15° B．16° C．18° D．20°【答案】C【分析】连接DM，根据直角三角形的性质可得AM=DM=CM，从而得到∠FAD=∠MDA,∠MDC=∠MCD，再由折叠的性质可得DF=CD，从而得到∠DFC=∠DCF，进而得到MF=FD，继而得到∠FMD=∠FDM，再由三角形外角的性质可得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，从而得到∠DFC=4∠FAD，设∠DAF=x，则∠ADM=x，∠CDM=∠DCF=∠DFC=4x，再由∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°，即可求解．【详解】解：如图，连接DM， 在长方形ABCD中，∠ADC=90°，∵点M是对角线AC的中点，∴AM=DM=CM，∴∠FAD=∠MDA,∠MDC=∠MCD，∵△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，∴DF=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵MF=CD，∴MF=FD，∴∠FMD=∠FDM，∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，∴∠DFC=2∠FMD，∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，∴∠DMC=2∠FAD，∴∠DFC=4∠FAD，设∠DAF=x，则∠ADM=x，∠CDM=∠DCF=∠DFC=4x，∵∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°，∴x+4x=90°，解得：x=18°，即∠DAF=18°．故选：C【点睛】本题主要考查了折叠问题，三角形的内角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°列出方程是解题的关键．2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，点E在AC边上，将△DCE沿DE折叠至△DFE，AB与FE，FD分别交于G，H两点．若已知AB的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ） A．△AGE B．△FHG C．四边形DHGE D．四边形BDEG【答案】A【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出GA=GF即可求解．【详解】如图，连接AD，AF，∵三角形ABC是等腰直角三角形，且D为斜边的中点， ∴DA=DC=DB，∠DAG=∠DAC=∠B=∠C=45°，由折叠可得DA=DC=DB=DF，∴∠DAF=∠DFA，∵∠DAG=∠DFG=∠C=45°，∴∠GFA=∠GAF，∴GA=GF，∴C△AEG=AG+GE+AE=FG+GE+AE=FE+AE=CE+AE=AC=AB，故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是45°和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等．3．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）A．60° B．45° C．30° D．25°【答案】C【分析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质即可得出结论．【详解】解：∵△BCD沿CD折叠，∴BC=CE，∵E为AB中点，∠ACB=90°，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠A=90°−60°=30°，故选：C．【点睛】此题考查了翻折的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．4．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B=α，则∠EAC等于（ ）A．α B．90°−α C．12α D．90°−2α【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=α，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后∠EAC=∠EAD-∠CAD即可求出．【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形，∴CD=BD=AD，∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到，∴△CDE≌△CDB，则CD=BD=AD=ED，∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=α，∴∠EDC=180°-2α，∵AE∥DC，∴∠AED=∠EDC=180°-2α，∵ED=AD，∴∠EAD=∠AED=180°-2α，∵∠B=α，△ABC为直角三角形，∴∠CAD=90°-α，∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=180°-2α-（90°-α）=90°-α，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么折痕CD的长为 ． 【答案】1【分析】如图，设CE交AB于点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，∠A=∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD=∠DCE，再根据CE⊥AB，可证明∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，可得∠B=60°，从而得到△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可得结论．【详解】解：如图，设CE交AB于点O，∵∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD=∠DCE，∵CE⊥AB，∴∠BCE+∠B=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠BCE=∠A，∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，∴∠B=90°−∠BCE=90°−30°=60°，∵CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∵CB=1，∴CD=CB=1，∴折痕CD的长为1．故答案为：1． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质．6．（2021春·北京海淀·八年级北理工附中期中）如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 ．【答案】24【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE=12AB＝6，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为6×4＝24．【详解】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE=BE=12AB=6，由折叠可得：CB=BE，CD=ED，∴四边形BCDE的周长为6×4=24．故答案为：24．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2015春·湖南娄底·八年级统考期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状，并说明理由．【答案】△EBF为等边三角形．【详解】试题分析：（1）把矩形ABCD对折，可得M、N分别是AB、DC的中点，（2）把A折向MN，可得BE=2AP，再由（3）沿线段EA折叠，可得BF=2AP，从而可得出BE=BF，因此∠1=∠2，由角的关系求出∠1=60°，即可证出△EBF为等边三角形． 试题解析：△EBF是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作（1）得：M、N分别是AB、DC的中点，∴在Rt△ABE中，P为BE的中点，AP是斜边上的中线，∴AP=BP=12BE，即BE=2AP，在△EBF中，A是EF的中点，∴AP=12BF，即BF=2AP，∴BE=BF，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，2∠1+∠3=180°，∴3∠1=180°，∴∠1=60°，∴△EBF为等边三角形．考点：翻折变换（折叠问题）．8．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______．【答案】(1)①CD=12AB，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)25【分析】（1）通过折叠△ABC,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠△BDC使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=12AB，倍长CD至点E，连接BE，先证△CDA≌△EDB，由全等的性质得到∠DCA=∠DEB,BE=AC，再进一步证明△ACB≌△EBC，证得CE=AB,从而证得CD=12AB（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5，又AB=2CE，所以AB≥10，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =12AB，下面证明下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE，在△BDE和△ADC中，BD=AD∠BDE=∠ADCCD=DE∴△CDA≌△EDB∴∠DCA=∠DEB,BE=AC∵∠DCA+∠BCE=90°∴∠BCE+∠BEC=90°∴∠EBC=∠BCA=90°在△BCA和△CBE中，BE=CA∠EBC=∠BCABC=CB∴△ACB≌△EBC∴CE=AB∴CD=12AB；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5∵AB=2CE∴AB≥10,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时，面积最小为：12×5×10=25．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力．【题型5 利用直角三角形斜边的中线探究线段之间的关系】1．（2020春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由见解析【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCDSAS，即可解决问题；（2）由△ACE≌△BCD，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCDSAS，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为：AE=BD，AE⊥BD．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°−∠CED=135°，由（1）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC−∠CDE=135°−45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M为BC边上的中点．(1)如图1，若点D、点E分别为线段AC、AB上的点，且DC=EA，连接MD、ME，求证：ME⊥MD；(2)如图2，若点D为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且DC=EB，∠AED=30°，连接ED，交BC于点N，EF是∠AED的角平分线，交AM于点F，连接AN、FD，探究线段AN、FD、AC之间的数量关系，并给出证明．【答案】(1)见解析(2)2AC=2AN+FD，见解析【分析】（1）连接AM，证明△MEA≅△MDCSAS，根据等角的余角相等即可证明∠EMD=∠AMC=90°，进而可得ME⊥MD；（2）过D作DG⊥AC，交BC于点G，过F分别作FP⊥AD，FH⊥ED，FQ⊥AB，垂足分别为P、H、Q，证明△EBN≅△DGNAAS，进而证明DF是∠ADE的角平分线，EF是∠AED的角平分线，可得FH=FP=FQ，结合含30度角的直角三角形的性质，可得2AC=AB+AC=AE+AD=QE+QA+AP+PD，进而可得2AC=2AN+FD(1)证明：连接AM，∵点M为等腰直角△ABC为斜边BC上的中点，∴AM⊥BC，AM=MC，∠MAE=∠MCD=45°，∵DC=EA，∴ △MEA≅△MDCSAS∴∠EMA=∠DMC∴∠EMA+∠AMD=∠DMC+∠AMD即∠EMD=∠AMC=90°，∴ME⊥MD(2)过D作DG⊥AC，交BC于点G，过F分别作FP⊥AD，FH⊥ED，FQ⊥AB，垂足分别为P、H、Q∵在等腰直角△ABC中，∠C=45°，且DG⊥AC，∴△GDC为等腰直角三角形，∴GD=CD，∵DC=EB，∴GD=EB，∵∠BAC=90°∴BA⊥AC∴DG∥EA∴∠BEN=∠GDN又∠ENB=∠DNG∴ △EBN≅△DGNAAS∴EN=DN，∴ED=2AN， ∵EF是∠AED的角平分线，而∠MAB=∠MAD=45°，∴DF是∠ADE的角平分线， 在Rt△ADE中，∠EAD=90°，∠AED=30° ∴∠ADE=60°∴∠FDH=30°∵FP⊥AD，FH⊥ED，FQ⊥AB，∴FH=FP=FQ，EH=EQ，AP=AQ，DP=DH，∴2AC=AB+AC=AE+AD=QE+QA+AP+PD=HE+HF+HF+HD=DE+2HF=2AN+FD.即2AC=2AN+FD.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．3．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）【探究发现】（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．【类比应用】（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．【答案】（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝12AB，理由见解析；（3）32或72【分析】（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF；（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．【详解】（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDF＝∠ADE，∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE，∴AB＝AF+BF＝AF+AE；故答案为：AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝12AB．理由是：如图2，取AB中点G，连接DG，∵点G是Rt△ADB斜边中点，∴DG＝AG＝BG＝12AB，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠GDF＝∠ADE，∵DG＝AG，∠BAD＝60°，∴△ADG为等边三角形，∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，∴△GDF≌△ADE（ASA），∴GF＝AE，∴AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF，∴AE+AF＝12AB；（3）当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，AE＝4，此时F在BA的延长线上，同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），∴AF＝HE，∵AH＝CH＝12AC＝52，CE＝1，∴AF=HE=CH−CE=52−1=32，当点E在AC延长线上时，如图4，同理可得：AF=HE=CH+CE=52+1=72；综上：AF的长为32或72．【点睛】本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键4．（2019秋·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考期中）已知△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠CFE＝90°，连接AE，点G是AE中点，连接BG和GF．（1）如图1，当△CEF中E、F落在BC、AC边上时，探究FG与BG的关系；（2）如图2，当△CEF中F落在BC边上时，探究FG与BG的关系．【答案】(1) FG=BG，FG⊥BG；证明见详解；（2）FG=BG，FG⊥BG；证明见详解；【分析】（1）由∠AFE=∠ABE=90°，点G是AE中点，则GF=AG=12AE，BG=AG=12AE，则得到FG=BG，∠FGE=2∠FAG，∠BGE=2∠BAG，由∠FAG+∠BAG=45°，即可得到∠BGF=90°；（2）过点E作ED⊥AB，交AB延长线于点D，连接DG，CG，根据题意，找出相应的条件证明△GFE≌△GBD（SAS），得到FG=BG，与（1）证法一样，证明∠CGD=90°，通过等量代换即可得到∠FGB=90°.【详解】解：（1）FG=BG，FG⊥BG；如图1，∵∠ABC＝∠CFE＝90°，∴△ABE和△AFE是直角三角形，∵点G是AE的中点，∴GF=AG=12AE，BG=AG=12AE，∴GF=BG.，∠GAF=∠GFA，∠GAB=∠GBA，∴∠FGE=2∠FAG，∠BGE=2∠BAG，∵∠BAC=∠FAG+∠BAG=45°∴∠BGF=∠FGE+∠BGE=2（∠FAG+∠BAG）=90°，即FG⊥BG；（2）GF=BG，GF⊥BG；过点E作ED⊥AB，交AB延长线于点D，连接DG，CG，∵△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，ED⊥AB，∴∠FBD=∠BFE=∠EDB=90°，∴四边形BFED是矩形，∴BD=EF，在直角三角形ADE和直角三角形ACE中，G是AE中点，∴DG=GE=AG=CG=12AE， ∴∠GED=∠GDE，∴∠FEG=∠BDG，∴△GFE≌△GBD（SAS），∴GF=GB，CF=BD，∵DG=AG=CG，∴△CGF≌△DGB，∠CAG=∠ACG，∠DAG=∠ADG，∴∠CGF=∠DGB，∵∠CAG+∠DAG=45°，∠CGE+∠DGE=2（∠CAG+∠DAG）=90°，即∠CGD=90°，∴∠CGD-∠CGF+∠DGB=∠FGB=90°，即FG⊥BG.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，矩形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，寻找条件证明三角形全等.5．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）（1）已知，如图1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求证：CD=12AB；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：已知：点P是任意△ABC的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边AB的中点，分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．①如图2，当点P与点Q重合时，探究QE和QF的数量关系；②如图3，当点P与点Q不重合时，探究QE和QF的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①QE=QF；②QE=QF【分析】（1）延长CD至E，使DE=CD，连接AE，证明△ADE≌△BDCSAS，再证明Rt△CAE≌Rt△ACBSAS，可得CE=AB，从而可得结论；（2）①Q是AB的中点，过Q分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F，可得AQ=BQ，∠AQE=∠BQF=90°，证明Rt△AEQ≌Rt△BFQAAS，可得QE=QF，②延长EQ交BF于G，证明△AEQ≌△BGQASA，可得QE=12EG，结合Rt△EFG，Q是EG的中点，可得QF=12EG，即QE=QF．【详解】证明：（1）延长CD至E，使DE=CD，连接AE， ∵在△ADE和△BDC中AD=BD∠ADE=∠BDCCD=ED∴△ADE≌△BDCSAS∴∠DAE=∠B，AE=BC∵在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°∴∠DAE+∠BAC=90°，即∠CAE=90°∵在Rt△CAE和Rt△ACB中，AE=CB∠CAE=∠ACB=90°AC=CA∴Rt△CAE≌Rt△ACBSAS∴CE=AB又∵DE=CD=12CE，∴CD=12AB．（2）①∵Q是AB的中点，过Q分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．∴AQ=BQ，∠AQE=∠BQF=90°，在Rt△AEQ和Rt△BFQ中，∠AEQ=∠BFQ=90°∠AQE=∠BQFAQ=BQ∴Rt△AEQ≌Rt△BFQAAS∴QE=QF ②延长EQ交BF于G ∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴∠AEP=∠BFP=90°，∴AE∥BF，∴∠QAE=∠QBG，在△AEQ和△BGQ中，∠QAE=∠QBGAQ=BQ∠AQE=∠BQG∴△AEQ≌△BGQASA∴QE=QG，∴QE=12EG，∵在Rt△EFG中，Q是EG的中点，∴QF=12EG，即QE=QF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练的证明直角三角形斜边上的中线的性质并灵活运用是解本题的关键．6．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知△ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出△ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)如图2，若∠ACB=90°,CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若∠ACB=45°,AC=BC,CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF=4，求DE的长．【答案】(1)作图见详解(2)AB=2CD．证明见详解(3)2【分析】（1）①根据三角形的中线的定义作出图形即可．②根据要求作出图形即可；（2）结论：AB=2CD．利用全等三角形的判定和性质证明即可；（3）利用全等三角形的性质证明AB=CF，再利用（3）中结论解决问题．【详解】（1）解：①如图1所示，线段CD即为所求．作法：1．分别以A,B为圆心，大于12AB为半径画弧，交于两点，2．连接这两点与AB交于点D，3．连接CD，线段CD即为所求．②如图1中，线段DE，AE即为所求． 作法：1．延长线段CD至点E，使DE=CD，2．连接AE，线段DE，AE即为所求；（2）解：AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：如图，延长CD至E，使DE=DC，连接BE， ∵CD是中线，∴AD=BD，在△ADC和△BDE中，AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，∴△ADC≌△BDE(SAS)，∴∠E=∠ACD，AC=BE，∴AC∥BE，∴∠ACB+∠EBC=180°，∵∠ACB=90°，∴∠EBC=90°，在△ACB和△EBC中，AC=BE∠ACB=∠EBCCB=BC，∴△ACB≌△EBC(SAS)，∴AB=CE，∵CE=2CD，∴AB=2CD．（3）解：如图3中， ∵BE⊥AC，∠ACB=45°，∴∠CEB=∠BEA=90°，∠ECB=∠EBC=45°，∴EC=EB，∵AC=BC，CD是中线，∴CD⊥AB，∵∠CEF=∠BDF=90°，∠CFE=∠BFD，∴∠ECF=∠ABE，在△CEF和△BEA中，∠ECF=∠EBACE=BE∠CEF=∠BEA，∴△CEF≌△BEA(ASA)，∴CF=AB=4，∵AD=BD，∠AEB=90°，∴DE=12AB=2．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线的定义，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（2023春·江苏苏州·七年级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．【答案】(1)BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD(2)不发生变化，证明见解析(3)BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD，图见解析【分析】（1）由于BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，即可证得BM＝DM＝12CE；易知BM＝MC＝DM，结合三角形的外角性质可知∠EMB＝2∠MCB，∠DME＝2∠DCM，两式相加即可得到∠BMD＝2∠BCD．（2）同（1）易证得DM＝BM；由于BM＝MC＝DM＝EM，结合三角形的外角性质可得：∠BME＝2∠BCM，∠DME＝2∠MCD，两式相减即可得到∠BMD＝2∠BCD．（3）此题应分三种情况：①D点在线段AC上时，易证得BM＝MD，同（2）可证得∠BMD＝2∠BCD；②D、C重合，此时BM＝MD，而∠BCD不存在；③D点在AC的延长线上，同（2）可得到∠BMD＝∠BME+∠EMD＝2∠BCD，所以钝角∠BMD＝360°﹣2∠BCD．【详解】（1）解：结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD．理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，∴BM＝DM＝12CE；又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；同理可得∠DME＝2∠DCM；∴∠BME+∠DME＝2(∠BCM+∠DCM)，即∠BMD＝2∠BCD．（2）解：在（1）中得到的结论仍然成立．即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝MC，又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB﹣∠EMD＝2∠BCM﹣2∠DCM＝2(∠BCM﹣∠DCM)＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝ME；又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝ME，DM＝MC，∴∠BEC＝∠EBM，∠MCD＝∠MDC，∴∠BEM+∠MCD＝∠BAC＝90°﹣∠BCD，∴∠BMD＝180°﹣(∠BMC+∠DME)，＝180°﹣2(∠BEM+∠MCD)＝180°﹣2(90°﹣∠BCD)＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．（3）解：分三种情况：①D点在线段AC上时，如图1，有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；理由：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝MC，又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠CMB﹣∠CMD=180°-2∠BCM-（180°-2∠DCM）＝-2∠BCM+2∠DCM=-2∠BCM+2(∠BCD+∠BCM)＝-∠BCM+2∠BCD+2∠NCM＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD；②D、C重合，如图2，此时BM＝MD，而∠BCD不存在；理由：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝MC，∵D、C重合，∴∠BCD不存在；③D点在AC的延长线上，如图3，BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD．理由：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝12EC＝ME，∴∠MBE=∠MEB，又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝12EC＝ME，∴∠MED=∠MDE，∴BM＝DM∵∠BMC=∠MBE+∠MEB=2∠MEB，∠DMC=∠MDE+∠MED=2∠MED，∴∠BMD=∠BMC+∠DMC=2∠MEB+2∠MED=2∠BED，∵∠BED=360°-∠CBE-∠CDE-∠BCD==360°-90°-90-∠BCD=180°-∠BCD∴∠BMD＝2(180°-∠BCD)=360°﹣2∠BCD．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质以及三角形的外角性质，要注意（3）题中，点D的位置有三种，不要遗漏任何一种情况．8．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB =90°，D为 AB 的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段 AC、线段 BC交于点 E、F（点 F与点 B、C不重合），写出线段 CF、CE、BC 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D 为 AB 的中点，∠MDN=60°，将∠MDN 绕点 D 旋转，旋转过程中，∠MDN 的两边分别与线段 AC、线段 BC 交于点 E、F（点 F 与点 B、C 不重合），直接写出线段 CF、CE、 BC 之间的数量关系为______；（3）【拓展延伸】如图③，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，过点 A 作 AE⊥AC， 交 CB 的延长线于点 E，若 CB=6，DC=2，则 BE 的长为 ．【答案】（1）CF+CE=BC；证明见解析；（2）CF+CE=12BC；（3）10【分析】（1）利用ASA证明ΔEDC ≅ΔFDB，推出CE=BF，则BC=BF+CF=CE+CF；（2）取BC中点G，连接DG，利用已知条件和直角三角形斜边中线的性质先证ΔDCG是等边三角形，再证ΔEDC ≅ΔFDG，推出CE=GF，进而得到BC=2CG=2GF+CF=2CE+CF；（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，同（2）证明ΔACB ≅ΔAGD，得出GD=BC=6，进而求出FC，再证CE=CF，即可得出BE=CE−BC=16−6=10．【详解】解：（1）CF+CE=BC．证明如下：∵等腰△ACB中∠ACB =90°，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°，∠A=∠B=45°，∴∠CDB=90°， ∴∠B=∠BCD，∴DC=DB．又∵∠MDN=90°，∴∠EDC=∠BDF．在ΔEDC和ΔFDB中，∠EDC=∠FDBDC=DB∠ECD=∠B，∴ΔEDC ≅ΔFDB，∴CE=BF，∴BC=BF+CF=CE+CF；（2）CF+CE=12BC．证明如下：取BC中点G，连接DG，∵等腰△ACB中∠ACB=120°，D为AB 的中点，∴CD⊥AB，即∠CDB=90°，∠ACD=∠BCD=12∠ACB=60°，∵在RtΔCDB中，点G是BC中点，∴DG=12BC=CG，∴ΔDCG是等边三角形，∴∠CDG=∠CGD=60°，DG=DC，又∵∠CDG=∠MDN=60°，∴∠EDC=∠FDG，又∵∠ECD=∠FGD=60°，DG=DC，∴ΔEDC ≅ΔFDG，∴CE=GF，∴BC=2CG=2GF+CF=2CE+CF，∴CE+CF=12BC．故答案为：CE+CF=12BC；（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，∵AE⊥AC，∴∠CAF=90°，在RtΔCAF中，点G是CF中点，∴AG=GC=GF，∵AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，∴∠ACG=∠ACE=12∠BCD=60°，∴ΔACG是等边三角形，∴∠GAC=∠AGD=60°，AG=AC，又∵∠DAB=60°，∴∠GAD=∠CAB，又∵∠ACB=∠AGD=60°，AG=AC，∴ΔACB ≅ΔAGD，∴GD=BC=6，∴FC=2CG=2GD+DC=2×6+2=16，∵∠F=90°−∠ACD=90°−60°=30°，∠E=90°−∠ACE=90°−60°=30°，∴∠F=∠E，∴CE=CF=16，∴BE=CE−BC=16−6=10．
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