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2025年中考数学二轮专题复习讲义第08讲 反比例函数综合题专项练习
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这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第08讲 反比例函数综合题专项练习，共11页。
A. (1,6)
B. (2,3)
C.232
D. (3,2)
2.已知在同一直角坐标系中，一次函数 y₁=kx+b与反比例函数 y2=kx的图象在第二象限交于点. A−21,则当 kx>kx−b时,x的取值范围是 ( )
A. x<-2 或 0 C. -212 D.x<−2或 x>12
3.已知点 Ax₁y₁在反比例函数 y=2kx的图象上，点. Bx₂y₂在一次函数y=kx-k的图象上，当 k>0时，下列判断中正确的是( )
A. 当 x₁=x₂>2时, y₁>y₂
B. 当 x₁=x₂<2时, y₁>y₂,
C. 当 y₁=y₂>k时, x₁D. 当 y₁=y₂x₂
4.如图，已知反比例函数 y=3xx0)与一次函数 y=x+1的图象交于点M(a,b),则代数式 a²−b²的值为 ( )
A. -1
B. -2
C.−13
D.135.如图，点A是反比例函数 y=kxk0)图象上一点，点 C 在x轴上，过点A作BM∥x轴交y轴于点M，若 AB=AM=1,SABC=2,则k的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.如图，已知反比例函数 y=3x与正比例函数 y=kx的图象交于A，B两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C，则. △ABC的面积为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点C在x轴上，直线 y=k₁xk₁0)过点A，反比例函数 y=kxx0)的图象过点A和AC的中点D,连接BC,△ABC的面积为6,则k的值为 .
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点 B 在x轴上.若A(-1,3),B(2,0),C(4,2),且反比例函数 y=kxk0)的图象经过CD的中点E，则k的值为 .
9.如图，在平面直角坐标系中， Rt△OAB的边 OA 在 x 轴上, ∠OAB=90°,边OB，AB分别与反比例函数 y=6xx0)的图象交于C(2,3),D两点,点C恰好为OB的中点,连接CD,则CD的长为 .
设问进阶练
例1 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 y₁=−x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 y2=kxx0)的图象交于一点 C.
(1)若一次函数 y₁=−x+4与反比例函数 y2=kx的图象在第一象限内只有一个交点，则k的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)创新题·直线平移求距离如图②，在(1)的条件下，将一次函数 y₁=−x+4的图象沿y轴向上平移n个单位得到新的一次函数图象y₃，y₃与反比例函数 y₃,y₃ y2=kx的图象交于点 D,E.当y₃ y₃ >y₂时，x的取值范围为 3−5 A.12 B. 1 C. 2 D. 6
(3)如图③,分别过点A,B作. AF⊥x轴, BF⊥y轴,AF 与 BF相交于点 F，反比例函数 y2=kxx0)的图象分别与AF，BF 相交于点H,G,连接OG,OF,OH,GH.若点C(2,2),下列结论正确的是 ( )
A. BC=FH
B. OF平分 ∠GOH
C.SOGH=12S正方形OAFB
D.若设过点O，H的直线为：yH,则当 yOH, y2>yOH时，x的取值范围为 0如图④，若一次函数 y₄=−x+d与反比例函数 y2=kx的图象交于点K,L,与x轴交于点N,若KL=4LN,K(1,5),则KL的长为 .
例2 已知，在平面直角坐标系中，点C为反比例函数 y=kxk0)图象上的点.
(1)如图①,点C为 Rt△ABC的顶点，且. BC‖x轴, ∠ACB=90°,B(8,2),若k=4,BC=2AC,则△ABC的面积为 ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 18
(2)如图②，点C 为矩形MNPQ对角线的交点，且矩形的顶点 M，Q分别在x轴,y轴上,对角线QN∥x轴,若M(1,0),Q(0,3),则k的值为 ( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
(3)如图③，点C为菱形OABC的顶点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线OB，AC的长分别是5和8，则k的值为 ；
(4)如图④,点 C 为 ‖gramABCD的顶点，反比例函数 y=kxk0,x<
0)的图象与直线l:y=x交于点D,若A(2,0),B(0,1),则k的值 y=x为 .
综合强化练
1.如图，点A，B分别在反比例函数 y=2x和 y=8x的图象上，且AB∥x轴，连接OB 与反比例函数 y=2x的图象交于点 C，连接AC，则. △ABC的面积为( )
A.32 B. 2 C. 3 D. 6
2. 创新题·线段乘积结论判断 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x与反比例函数y= kx(k<−1)的图象交于A，B两点.若M(m，1)为反比例函数的图象上一点，直线AM，BM分别与y轴交于C，D两点，则下列对OC·OD的值判断正确的是 ( )
A.随k值的增大而减小 B.随k值的增大而增大
C. 恒为1 D. 恒为2
3.如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为直线y=-x上的动点，以OB为边作正方形OB-CD，当AB 最小时，点 D 恰好落在反比例函数 y=kx的图象上，则k的值为 ( )
A. 9 B. 12 C. 16 D. 25
4. 如图，直线y=-x+b与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数 y=2kxk≠0图象的一支交于C(1,4),D两点,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点 F,连接OC,OD,则以下结论:①k的值为2;②△ADF是等腰直角三角形;③S△AEC=S△BOD;④S△COD=15;其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
5.(一曲线三垂直)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C在反比例函数 y=kxk<0x>0图象上,连接OA,OB,OC,分别过A,B,C三点向x轴作垂线,与x轴交于点D,E,F.若( OD=DE=EF，且图中阴影部分面积为31，则k的值为 ( )
A. -21 B. -24 C. -31 D.−36
6. 如图，▱ABCD的边CD在x轴上，顶点A在反比例函数 y=kx(x<0)的图象上，点 B在y轴上，AD 与y轴交于点 E.若 ODOC=13,SEOC=3,则k的值为 .
7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=kxx0)的图象上的B，C两点关于直线y=x对称， y=x以OB，OC为邻边作菱形OBAC，其对角线交于点F.若菱形OBAC的面积为40， tan∠BOA=12,则k的值为 .
8.如图，一次函数 y=k₁x+b与反比例函数 y=kxx0)的图象交于点A(m,4),B(4,1).点P是线段AB上一点，过点P作PQ//y轴，交反比例函数的图象于点Q，连接OP，OQ，则 △OPQ面积的最大值为 .
9.(点圆最值)如图，反比例函数 y=kxk0)的图象与直线 y=2x在第三象限交于点A，在第一象限交于点B,C(2,0),点 M在以点 C 为圆心,1为半径的圆上,连接AM,点 N是 AM 的中点,ON长的最小值为 12,则k的值是 .
10. 创新题·填空双空题 如图，点 A 为反比例函数 y=−4x(x<0)图象上一点,连接OA,过点O作AO的垂线OB,且OB=nAO(n>0).则当n=2时,点 B 所在反比例函数图象的函数表达式为 (不写自变量的取值范围)；在点A运动过程中，若点A的横坐标为m，点B的坐标为 (用含m，n的代数式表示).
一阶 方法突破练
1. B 【解析】由题意可知,点B(-2,-3)与点A关于原点对称,∴点A的坐标为(2,3).
2. A 【解析】求出y₂解析式，联立求交点坐标.∵一次函数与反比例函数的图象交于点A(-2，1)，∴将A(-2,1)代入 y2=kx,得 k=−2,∴y2=−2x,将k=-2和点A坐标代入 y₁=kx+b,得b=-3,∴y₁=-2x-3.联立 y1=−2x−3y2=−2x,解得 x=12y=−4, x=−2y=1,∴一次函数与反比例函数图象的另一个交点为 12−4.画出函数图象如解图，当 kx>kx−b时, kx+b>kx,即.y₁>y₂,由图象可得当x<-2或 0y₂.
3.C 【解析】联立两函数解析式，得 2kx=kx−1,解得 x₁=2,x₂=−1,∴交点坐标为(2,k),(-1,-2k),如解图，当 x₁=x₂>2时,y₁k时, x₁4. C 【解析】∵反比例函数 y=3xx0)与一次函数y=x+1的图象交于点M(a,b),∴将M(a,b)分别代入反比例函数和一次函数解析式得, ab=3,a-b=-1, ∴a2−b2=a+ba−b=−a+b=−a−b2+4ab =−13.
5. D 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥x轴于点 D,∵ AB=AM=1,SABC=2,∴SABC=12AB⋅AD=2,∴AD=4,∴A(1,4),∵点A在反比例函数 y=kx的图象上,∴k=1×4=4.
6. D 【解析】∵ 点 A,B 在反比例函数图象上,∴ 点A，B关于原点对称，则 SABC=3×2=6.
7. 4 【解析】如解图,连接OD,过点 D作DE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点 F,∵四边形ABOC 为菱形,∴OB∥AC,∴S△ABC=S△OAC=6,∵ D 为AC的中点,∴ S△OCD = 3,又∵ SAOF=SDOE=k2,DEAF, :EF=CE,∵12OF×AF=12OE×DE,∴OF=FE
∴OF=EF=CE,∴SODE=23SOCD=2=k2,∴k=4.
8. 3 54【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,A(-1,3),B(2,0),C(4,2),∴点B向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点 C，∴点 A 向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点 D(1,5),∵ 点 E 是CD的中点,. ∴E1+425+22,即 E5272,∵点 E 在反比例函数 y=kx的图象上，. ∴k=52×72=354.
9. 52【解析】如解图,过点C作CE⊥AB于点E,∵点C 为 OB 的中点,∴ CE 是 △OAB 的中位线,∵C(2,3),∴B(4,6),E(4,3),∴点D的横坐标为4,CE=2,∵点D在反比例函数 y=6xx0)的图象上, ∴D432,∴DE=32,∴在 Rt△CDE 中, CD=CE2+DE2=52.
二阶 设问进阶练
例1 (1)D 【解析】∵一次函数 y₁=−x+4与反比例函数 y2=kx的图象在第一象限内只有一个交点，∴联立 y1=−x+4y2=kx,得 −x²+4x−k=0,∴b²−4ac=16−4k=0,解得k=4.
(2)C 【解析】由(1)得, y2=4x,设平移后的一次函数解析式为 y₃=−x+b,∵y₃>y₂时，x的取值范围为 3−5(3)B 【解析】∵反比例函数的图象过点C(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为 y2=4x,结合题意得,四边形 OAFB 为正方形,OA=OB=4,BC=AC,∴H(4,1),G(1,4),∴AH=BG=1,FH=3,∵正方形对角线互相平分，∴ BC=12AB=22,故 BC ≠FH,选项 A 错误;∵ BG=AH,∠GBO=∠HAO=90°,OB=OA,∴△GBO≌△HAO,∴∠BOG=∠HOA,∵OF平分 ∠AOB,∴ OF 平 分 ∠GOH,选项 B 正确; Scu=S正方形OAFB−SCBO−SOAH−SFCH=4×4−12×1×4× 2−12×3×3=152,∵S正方形OAFB=16,∴ScH≠ 12S正方形OAFB,选项C错误;∵yn与 y2=4xx0)交于点H(4,1),∴当y₂>yn时，x的取值范围为0(4)4 2【解析】如解图,过点 K 作 KP⊥x轴于点P,过点 L 作 LQ ⊥ x 轴 于 点 Q, 得 △LNQ ∽ KNP,∴KNLN=PNQN=KPLQ,∵K15,∴KP=5,∵KL=4LN,∴KN=KL+LN=5LN,∴KW=KP/L₀=5,∴LQ=1，∵ 点K 是反比例函数和一次函数y₄ 的交点,∴k=5,d=6,∴L(5,1),∴PN=5,∴KN= 52,∵KNLN=5,∴LN=2,∴KL=42.
例2 (1)A 【解析】∵∠ACB=90°,B(8,2),BC∥x轴,∴点 C 的纵坐标为 2,∵ k=4,∴ C(2,2),∴BC=6,∵ BC=2AC,∴AC=3,∴S△ABC= 12AC.BC=9.
(2)C 【解析】∵ QN∥x轴,Q(0,3),∴Q,N两点纵坐标都为3,∴设 N(x,3).∵ 四边形 MNPQ 是矩形,∴∠QMN=90°,∵矩形MNPQ的对角线的交点为C,∴ C 为 QN 的中点.∴(C( 12x,3). ∵∠QMN= 90°,∴QM²+MN²=QN²,∵M(1,0),Q(0,3),N(x, 3),∴1²+3²+x−1²+3²=x²,解得 x=10,∴C(5,3).∴k=5×3=15.
(3)10 【解析】∵ 四边形 OABC 是菱形,∴AC 垂直平分OB,∵OB=5,AC=8,∴C(4, 52)，∵反比例函数 y=kx的图象经过点 C，. ∴k=4×52=10.
(4)4 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∵A(2,0),B(0,1),∴点A 向左平移2单位，再向上平移1个单位得到点 B，∴点 D向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位得到点C，∵ 反比例函数 y=kxk0,x<0)的图象与直线y=x交于点D,∴设D(m,m),则C(m-2,m+1),∵点C,D在反比例函数图象上,∴k=m·m=(m-2)(m+1),解得m=-2,∴k=4.
三阶 综合强化练
1. A 【解析】 SABC=12AB⋅yA−yc,设出点 A 的坐标，表示出点 B 与点 C 的坐标求解即可.设A(a,²/a)(a>0),则lB(4a,²/₄),设过点 B，C 的直线解析式为y=kx(k≠0),则 4ak=2a,∴k=12a2,.过点 B,C的直线解析式为 y=12a2x,联立 y=12a2xy=2x解得 x=2ay=1a或 x=−2ay=−1a舍去), ∴C2a1a,∴SABC=12AB. yA−yc=124a−a2a−1a=32.
2. A 【解析】可先求直线AM,BM 的解析式,得到点C,D 的坐标,再求解OC·OD 即可.设A(a,-a),则B(-a,a),∵M(m,1),设直线AM 的解析式为y=cx+d(c≠0),则 ac+d=−amc+d=1,解得 c=a+1m−ad=a+ama−m,:直线AM 的 解 析 式 为 y=a+1m−ax+a+ama−m,∴C ( 0, a+ama−m),∴OC=a+ama−m,同理可得， OD=−a+amm+a,∵A(a,-a),M(m,1)都在反比例函数 y=kx(k<−1)的图象上,∴-a·a=k=m·1,即k=m=-a²,∴OC· OD=−a+amm+a⋅a+ama−m=−m−1=−k−1,.. OC·OD的值随k的值增大而减小.
3. C 【解析】由“垂线段最短”知，AB 垂直于直线y=-x时AB 最小，已知点A 的坐标，可构造“一线三垂直”模型求出点 D 的坐标，由点 D 在反比例函数的图象上求解即可.如解图，过点 B 作 BM⊥x轴于点M,过点 D 作 DN⊥x轴于点N,当AB 最小时,即AB⊥OB,∵点B在直线y=-x上,∴∠AOB=45°,在Rt△AOB 中,∠AOB = 45°,OA = 8,∴ OM = BM = 12OA=4,∴SBOM=12×4×4=8,∵四边形 OBCD 是正方形,∴ OB = OD, ∠BOD = 90°,∴ ∠DON =∠BOM=45°,∴△ODN≌△OBM(AAS),∵ 点 D 在反比例函数 y=kx的图象上，. ∴SODN=SBMO=8= 12|k|,又∵k>0,∴k=16.
4. A 【解析】①∵直线y=-x+b 与反比例函数 y=2kx(k≠0)的图象的一支交于点C(1,4),∴4=-1+b,2k=4,∴b=5,k=2,正确;②∵A,B 分别是直线y=-x+5 与 x轴,y 轴的交点,∴点 A 的坐标为(5,0),点 B 的坐标为(0,5),∴ OA = OB = 5.
∵∠AOB = 90°,∴∠DAF = 45°. ∵ DF ⊥ x 轴,
∴ △ADF 是 等 腰 直 角 三 角 形, 正 确; ③ 联 立
y=−x+5y=4x,解得 x=1y=4或 x=4y=1,. 点 D 的坐标为
(4,1),∴DF=1,点 C到y轴的距离为1,∵ △AOD
和△BOC 等底等高, ∴SAOD=SBOC,又∵ S△AEC =
SAOB−SS四边形OBCE,S△BOD=S△AOB-S△AOD,S四边形OBCE= SBOC+SCOE=SAOD+SCOE,∴SAEC≠SBOD,错误;④ SCOD=SAOB−2SAOD=12×5×5−2×12×5×1=152,错误.
5. D 【解析】如解图,设AD 交OB 于点 M,AD 交 OC于点 N，BE交OC于点P，由反比例函数k的几何意义知， SAOD=SBOE=SCOF=−12k,∵OD=DE= EF,∴SODN=19SCOF=−118k,SODM=14SBOE= −18k,S四边形DEPN=39SCF=−318k,S四边形EFCP= 59SCOF=−518k,S四边形DMBE=34SBOE=−38k, ∴S四边形BPNM=S四边形BEDM−S四边形PEDN=−38k+318k= −524k,SAOM=SAOD−SDOM=−12k+18k=−38k, ∴S四形=SAOM+S"边形BPNM+S四边形EFCP=−38k− 524k−518k=−3136k,∵阴影部分面积为31, ∴−3136k=31,∴k=-36.
6. -12 【解析】 ∵ODOC=13,∴ODCD=12,∵EOD和△EDC等高, ∴SEODSEDC=12,∵SEOC=3,∴SEOD=1,S△EDC=2,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴△EOD∽△EBA,∴OD=DD= 12,SEODSEAB=14,∴SEAB=4,∴SBEC=SABE+SEDC=6, SABCD=2SBEC=12,∵点A在反比例函数 y=kx的图象上,∴k=-12.
7. 15 【解析】由菱形 OBAC 的面积为40,tan∠BOA= 12,得 CF=10,OF=2CF=210.如解图，延长 BC交 x 轴于点 E,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,则 ∠CED=45∘,∴OF=EF=210,OE=2OF= 45,CE=EF−CF=10,CD=DE=22CE=5,
∴OD=OE−DE=35,，则点 C 的坐标为 (35, 5)，∵点C 在反比例函数 y=kx的图象上,∴k= 35×5=15.
8. 98【解析】∵ B(4，1)是一次函数与反比例函数图象的交点，. ∴k=4,∴y=4x,:点A(m,4)在反比例函数图象上， ∴m=44=1,∴A(1,4),将 A(1,4),B(4,1)代入 y=k₁x+b,解得 k₁=−1,b=5,∴一次函数的解析式为y=-x+5,∵ 点 P 是线段 AB 上一点，PQ∥y轴，交反比例函数的图象于点 Q，∴设P n−n+5,Qn4n,且1≤n≤4,如解图,过点 Q 作QD⊥x 轴于点 D,∴点 P,Q,D 在同一条直线上, ∵SOPQ=SOPD−SOQD=12OD⋅PD−12D. DQ=12⋅n−n+5−12⋅n⋅4n=−12n2−5n− 2=−12n−522+98,∴−12<0,且 1≤52≤4,∴当 n=52时,S△OPQ有最大值，最大值是 98.
9. 3225【解析】看到反比例函数的图象与直线有交点，首 先想到求 交点坐标.联立 k2,∴x=±k2,∴A−k2−2k2,B(k2, 2k2),∴点 A 与点 B 关于原点 O 对称,∴点 O 是线段AB 的中点,∵ N 是线段 AM 的中点,则 ON∥BM,且 ON=12BM,∵ ON 的最小值为 12,∴BM的最小值为1,∵M在⊙C上运动,∴当B,C,M三点共线且点 M在BC之间时，BM最小，根据点圆最值模型确定点 M 的位置，如解图，连接BC，与⊙C 交于点M,此时 BC=BM+CM=1+1=2,∴k2−22+ 2k22=4,∴k=0或 3225,∵k>0,∴k=3225.
10.y=16x;−4nm−mn[解析】如解图，过点A作AC⊥x轴于点 C,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,连接 AB.:OA⊥OB,∴∠AOC+∠BOD=90°.又∵ ∠CAO+∠AOC=90°,∴∠CAO=∠BOD.∵ ∠ACO=∠BDO,∴ △ACO∽△ODB. ∵ACD= COBD=AOBO=12.：设点 Ax−4x,则 AC=−4x, OC=−x,∴OD=−4×2x=−8x,BD=−2x. ∴B−8x−2x.∴−8x⋅−2x=16,∴当 n=2时，点 B 所在反比例函数图象的函数表达式为 y=16x;∵ACO>ODB,∴ACOD=COBD=AOBO=¹/n.∴设点 Am−4m,旋转变换后点 B 的坐标为 −4nm−mn.
A. (1,6)
B. (2,3)
C.232
D. (3,2)
2.已知在同一直角坐标系中，一次函数 y₁=kx+b与反比例函数 y2=kx的图象在第二象限交于点. A−21,则当 kx>kx−b时,x的取值范围是 ( )
A. x<-2 或 0
3.已知点 Ax₁y₁在反比例函数 y=2kx的图象上，点. Bx₂y₂在一次函数y=kx-k的图象上，当 k>0时，下列判断中正确的是( )
A. 当 x₁=x₂>2时, y₁>y₂
B. 当 x₁=x₂<2时, y₁>y₂,
C. 当 y₁=y₂>k时, x₁
4.如图，已知反比例函数 y=3xx0)与一次函数 y=x+1的图象交于点M(a,b),则代数式 a²−b²的值为 ( )
A. -1
B. -2
C.−13
D.135.如图，点A是反比例函数 y=kxk0)图象上一点，点 C 在x轴上，过点A作BM∥x轴交y轴于点M，若 AB=AM=1,SABC=2,则k的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.如图，已知反比例函数 y=3x与正比例函数 y=kx的图象交于A，B两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C，则. △ABC的面积为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点C在x轴上，直线 y=k₁xk₁0)过点A，反比例函数 y=kxx0)的图象过点A和AC的中点D,连接BC,△ABC的面积为6,则k的值为 .
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点 B 在x轴上.若A(-1,3),B(2,0),C(4,2),且反比例函数 y=kxk0)的图象经过CD的中点E，则k的值为 .
9.如图，在平面直角坐标系中， Rt△OAB的边 OA 在 x 轴上, ∠OAB=90°,边OB，AB分别与反比例函数 y=6xx0)的图象交于C(2,3),D两点,点C恰好为OB的中点,连接CD,则CD的长为 .
设问进阶练
例1 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 y₁=−x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 y2=kxx0)的图象交于一点 C.
(1)若一次函数 y₁=−x+4与反比例函数 y2=kx的图象在第一象限内只有一个交点，则k的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)创新题·直线平移求距离如图②，在(1)的条件下，将一次函数 y₁=−x+4的图象沿y轴向上平移n个单位得到新的一次函数图象y₃，y₃与反比例函数 y₃,y₃ y2=kx的图象交于点 D,E.当y₃ y₃ >y₂时，x的取值范围为 3−5
(3)如图③,分别过点A,B作. AF⊥x轴, BF⊥y轴,AF 与 BF相交于点 F，反比例函数 y2=kxx0)的图象分别与AF，BF 相交于点H,G,连接OG,OF,OH,GH.若点C(2,2),下列结论正确的是 ( )
A. BC=FH
B. OF平分 ∠GOH
C.SOGH=12S正方形OAFB
D.若设过点O，H的直线为：yH,则当 yOH, y2>yOH时，x的取值范围为 0
例2 已知，在平面直角坐标系中，点C为反比例函数 y=kxk0)图象上的点.
(1)如图①,点C为 Rt△ABC的顶点，且. BC‖x轴, ∠ACB=90°,B(8,2),若k=4,BC=2AC,则△ABC的面积为 ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 18
(2)如图②，点C 为矩形MNPQ对角线的交点，且矩形的顶点 M，Q分别在x轴,y轴上,对角线QN∥x轴,若M(1,0),Q(0,3),则k的值为 ( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
(3)如图③，点C为菱形OABC的顶点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线OB，AC的长分别是5和8，则k的值为 ；
(4)如图④,点 C 为 ‖gramABCD的顶点，反比例函数 y=kxk0,x<
0)的图象与直线l:y=x交于点D,若A(2,0),B(0,1),则k的值 y=x为 .
综合强化练
1.如图，点A，B分别在反比例函数 y=2x和 y=8x的图象上，且AB∥x轴，连接OB 与反比例函数 y=2x的图象交于点 C，连接AC，则. △ABC的面积为( )
A.32 B. 2 C. 3 D. 6
2. 创新题·线段乘积结论判断 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x与反比例函数y= kx(k<−1)的图象交于A，B两点.若M(m，1)为反比例函数的图象上一点，直线AM，BM分别与y轴交于C，D两点，则下列对OC·OD的值判断正确的是 ( )
A.随k值的增大而减小 B.随k值的增大而增大
C. 恒为1 D. 恒为2
3.如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为直线y=-x上的动点，以OB为边作正方形OB-CD，当AB 最小时，点 D 恰好落在反比例函数 y=kx的图象上，则k的值为 ( )
A. 9 B. 12 C. 16 D. 25
4. 如图，直线y=-x+b与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数 y=2kxk≠0图象的一支交于C(1,4),D两点,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点 F,连接OC,OD,则以下结论:①k的值为2;②△ADF是等腰直角三角形;③S△AEC=S△BOD;④S△COD=15;其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
5.(一曲线三垂直)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C在反比例函数 y=kxk<0x>0图象上,连接OA,OB,OC,分别过A,B,C三点向x轴作垂线,与x轴交于点D,E,F.若( OD=DE=EF，且图中阴影部分面积为31，则k的值为 ( )
A. -21 B. -24 C. -31 D.−36
6. 如图，▱ABCD的边CD在x轴上，顶点A在反比例函数 y=kx(x<0)的图象上，点 B在y轴上，AD 与y轴交于点 E.若 ODOC=13,SEOC=3,则k的值为 .
7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=kxx0)的图象上的B，C两点关于直线y=x对称， y=x以OB，OC为邻边作菱形OBAC，其对角线交于点F.若菱形OBAC的面积为40， tan∠BOA=12,则k的值为 .
8.如图，一次函数 y=k₁x+b与反比例函数 y=kxx0)的图象交于点A(m,4),B(4,1).点P是线段AB上一点，过点P作PQ//y轴，交反比例函数的图象于点Q，连接OP，OQ，则 △OPQ面积的最大值为 .
9.(点圆最值)如图，反比例函数 y=kxk0)的图象与直线 y=2x在第三象限交于点A，在第一象限交于点B,C(2,0),点 M在以点 C 为圆心,1为半径的圆上,连接AM,点 N是 AM 的中点,ON长的最小值为 12,则k的值是 .
10. 创新题·填空双空题 如图，点 A 为反比例函数 y=−4x(x<0)图象上一点,连接OA,过点O作AO的垂线OB,且OB=nAO(n>0).则当n=2时,点 B 所在反比例函数图象的函数表达式为 (不写自变量的取值范围)；在点A运动过程中，若点A的横坐标为m，点B的坐标为 (用含m，n的代数式表示).
一阶 方法突破练
1. B 【解析】由题意可知,点B(-2,-3)与点A关于原点对称,∴点A的坐标为(2,3).
2. A 【解析】求出y₂解析式，联立求交点坐标.∵一次函数与反比例函数的图象交于点A(-2，1)，∴将A(-2,1)代入 y2=kx,得 k=−2,∴y2=−2x,将k=-2和点A坐标代入 y₁=kx+b,得b=-3,∴y₁=-2x-3.联立 y1=−2x−3y2=−2x,解得 x=12y=−4, x=−2y=1,∴一次函数与反比例函数图象的另一个交点为 12−4.画出函数图象如解图，当 kx>kx−b时, kx+b>kx,即.y₁>y₂,由图象可得当x<-2或 0
3.C 【解析】联立两函数解析式，得 2kx=kx−1,解得 x₁=2,x₂=−1,∴交点坐标为(2,k),(-1,-2k),如解图，当 x₁=x₂>2时,y₁
5. D 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥x轴于点 D,∵ AB=AM=1,SABC=2,∴SABC=12AB⋅AD=2,∴AD=4,∴A(1,4),∵点A在反比例函数 y=kx的图象上,∴k=1×4=4.
6. D 【解析】∵ 点 A,B 在反比例函数图象上,∴ 点A，B关于原点对称，则 SABC=3×2=6.
7. 4 【解析】如解图,连接OD,过点 D作DE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点 F,∵四边形ABOC 为菱形,∴OB∥AC,∴S△ABC=S△OAC=6,∵ D 为AC的中点,∴ S△OCD = 3,又∵ SAOF=SDOE=k2,DEAF, :EF=CE,∵12OF×AF=12OE×DE,∴OF=FE
∴OF=EF=CE,∴SODE=23SOCD=2=k2,∴k=4.
8. 3 54【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,A(-1,3),B(2,0),C(4,2),∴点B向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点 C，∴点 A 向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点 D(1,5),∵ 点 E 是CD的中点,. ∴E1+425+22,即 E5272,∵点 E 在反比例函数 y=kx的图象上，. ∴k=52×72=354.
9. 52【解析】如解图,过点C作CE⊥AB于点E,∵点C 为 OB 的中点,∴ CE 是 △OAB 的中位线,∵C(2,3),∴B(4,6),E(4,3),∴点D的横坐标为4,CE=2,∵点D在反比例函数 y=6xx0)的图象上, ∴D432,∴DE=32,∴在 Rt△CDE 中, CD=CE2+DE2=52.
二阶 设问进阶练
例1 (1)D 【解析】∵一次函数 y₁=−x+4与反比例函数 y2=kx的图象在第一象限内只有一个交点，∴联立 y1=−x+4y2=kx,得 −x²+4x−k=0,∴b²−4ac=16−4k=0,解得k=4.
(2)C 【解析】由(1)得, y2=4x,设平移后的一次函数解析式为 y₃=−x+b,∵y₃>y₂时，x的取值范围为 3−5
例2 (1)A 【解析】∵∠ACB=90°,B(8,2),BC∥x轴,∴点 C 的纵坐标为 2,∵ k=4,∴ C(2,2),∴BC=6,∵ BC=2AC,∴AC=3,∴S△ABC= 12AC.BC=9.
(2)C 【解析】∵ QN∥x轴,Q(0,3),∴Q,N两点纵坐标都为3,∴设 N(x,3).∵ 四边形 MNPQ 是矩形,∴∠QMN=90°,∵矩形MNPQ的对角线的交点为C,∴ C 为 QN 的中点.∴(C( 12x,3). ∵∠QMN= 90°,∴QM²+MN²=QN²,∵M(1,0),Q(0,3),N(x, 3),∴1²+3²+x−1²+3²=x²,解得 x=10,∴C(5,3).∴k=5×3=15.
(3)10 【解析】∵ 四边形 OABC 是菱形,∴AC 垂直平分OB,∵OB=5,AC=8,∴C(4, 52)，∵反比例函数 y=kx的图象经过点 C，. ∴k=4×52=10.
(4)4 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∵A(2,0),B(0,1),∴点A 向左平移2单位，再向上平移1个单位得到点 B，∴点 D向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位得到点C，∵ 反比例函数 y=kxk0,x<0)的图象与直线y=x交于点D,∴设D(m,m),则C(m-2,m+1),∵点C,D在反比例函数图象上,∴k=m·m=(m-2)(m+1),解得m=-2,∴k=4.
三阶 综合强化练
1. A 【解析】 SABC=12AB⋅yA−yc,设出点 A 的坐标，表示出点 B 与点 C 的坐标求解即可.设A(a,²/a)(a>0),则lB(4a,²/₄),设过点 B，C 的直线解析式为y=kx(k≠0),则 4ak=2a,∴k=12a2,.过点 B,C的直线解析式为 y=12a2x,联立 y=12a2xy=2x解得 x=2ay=1a或 x=−2ay=−1a舍去), ∴C2a1a,∴SABC=12AB. yA−yc=124a−a2a−1a=32.
2. A 【解析】可先求直线AM,BM 的解析式,得到点C,D 的坐标,再求解OC·OD 即可.设A(a,-a),则B(-a,a),∵M(m,1),设直线AM 的解析式为y=cx+d(c≠0),则 ac+d=−amc+d=1,解得 c=a+1m−ad=a+ama−m,:直线AM 的 解 析 式 为 y=a+1m−ax+a+ama−m,∴C ( 0, a+ama−m),∴OC=a+ama−m,同理可得， OD=−a+amm+a,∵A(a,-a),M(m,1)都在反比例函数 y=kx(k<−1)的图象上,∴-a·a=k=m·1,即k=m=-a²,∴OC· OD=−a+amm+a⋅a+ama−m=−m−1=−k−1,.. OC·OD的值随k的值增大而减小.
3. C 【解析】由“垂线段最短”知，AB 垂直于直线y=-x时AB 最小，已知点A 的坐标，可构造“一线三垂直”模型求出点 D 的坐标，由点 D 在反比例函数的图象上求解即可.如解图，过点 B 作 BM⊥x轴于点M,过点 D 作 DN⊥x轴于点N,当AB 最小时,即AB⊥OB,∵点B在直线y=-x上,∴∠AOB=45°,在Rt△AOB 中,∠AOB = 45°,OA = 8,∴ OM = BM = 12OA=4,∴SBOM=12×4×4=8,∵四边形 OBCD 是正方形,∴ OB = OD, ∠BOD = 90°,∴ ∠DON =∠BOM=45°,∴△ODN≌△OBM(AAS),∵ 点 D 在反比例函数 y=kx的图象上，. ∴SODN=SBMO=8= 12|k|,又∵k>0,∴k=16.
4. A 【解析】①∵直线y=-x+b 与反比例函数 y=2kx(k≠0)的图象的一支交于点C(1,4),∴4=-1+b,2k=4,∴b=5,k=2,正确;②∵A,B 分别是直线y=-x+5 与 x轴,y 轴的交点,∴点 A 的坐标为(5,0),点 B 的坐标为(0,5),∴ OA = OB = 5.
∵∠AOB = 90°,∴∠DAF = 45°. ∵ DF ⊥ x 轴,
∴ △ADF 是 等 腰 直 角 三 角 形, 正 确; ③ 联 立
y=−x+5y=4x,解得 x=1y=4或 x=4y=1,. 点 D 的坐标为
(4,1),∴DF=1,点 C到y轴的距离为1,∵ △AOD
和△BOC 等底等高, ∴SAOD=SBOC,又∵ S△AEC =
SAOB−SS四边形OBCE,S△BOD=S△AOB-S△AOD,S四边形OBCE= SBOC+SCOE=SAOD+SCOE,∴SAEC≠SBOD,错误;④ SCOD=SAOB−2SAOD=12×5×5−2×12×5×1=152,错误.
5. D 【解析】如解图,设AD 交OB 于点 M,AD 交 OC于点 N，BE交OC于点P，由反比例函数k的几何意义知， SAOD=SBOE=SCOF=−12k,∵OD=DE= EF,∴SODN=19SCOF=−118k,SODM=14SBOE= −18k,S四边形DEPN=39SCF=−318k,S四边形EFCP= 59SCOF=−518k,S四边形DMBE=34SBOE=−38k, ∴S四边形BPNM=S四边形BEDM−S四边形PEDN=−38k+318k= −524k,SAOM=SAOD−SDOM=−12k+18k=−38k, ∴S四形=SAOM+S"边形BPNM+S四边形EFCP=−38k− 524k−518k=−3136k,∵阴影部分面积为31, ∴−3136k=31,∴k=-36.
6. -12 【解析】 ∵ODOC=13,∴ODCD=12,∵EOD和△EDC等高, ∴SEODSEDC=12,∵SEOC=3,∴SEOD=1,S△EDC=2,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴△EOD∽△EBA,∴OD=DD= 12,SEODSEAB=14,∴SEAB=4,∴SBEC=SABE+SEDC=6, SABCD=2SBEC=12,∵点A在反比例函数 y=kx的图象上,∴k=-12.
7. 15 【解析】由菱形 OBAC 的面积为40,tan∠BOA= 12,得 CF=10,OF=2CF=210.如解图，延长 BC交 x 轴于点 E,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,则 ∠CED=45∘,∴OF=EF=210,OE=2OF= 45,CE=EF−CF=10,CD=DE=22CE=5,
∴OD=OE−DE=35,，则点 C 的坐标为 (35, 5)，∵点C 在反比例函数 y=kx的图象上,∴k= 35×5=15.
8. 98【解析】∵ B(4，1)是一次函数与反比例函数图象的交点，. ∴k=4,∴y=4x,:点A(m,4)在反比例函数图象上， ∴m=44=1,∴A(1,4),将 A(1,4),B(4,1)代入 y=k₁x+b,解得 k₁=−1,b=5,∴一次函数的解析式为y=-x+5,∵ 点 P 是线段 AB 上一点，PQ∥y轴，交反比例函数的图象于点 Q，∴设P n−n+5,Qn4n,且1≤n≤4,如解图,过点 Q 作QD⊥x 轴于点 D,∴点 P,Q,D 在同一条直线上, ∵SOPQ=SOPD−SOQD=12OD⋅PD−12D. DQ=12⋅n−n+5−12⋅n⋅4n=−12n2−5n− 2=−12n−522+98,∴−12<0,且 1≤52≤4,∴当 n=52时,S△OPQ有最大值，最大值是 98.
9. 3225【解析】看到反比例函数的图象与直线有交点，首 先想到求 交点坐标.联立 k2,∴x=±k2,∴A−k2−2k2,B(k2, 2k2),∴点 A 与点 B 关于原点 O 对称,∴点 O 是线段AB 的中点,∵ N 是线段 AM 的中点,则 ON∥BM,且 ON=12BM,∵ ON 的最小值为 12,∴BM的最小值为1,∵M在⊙C上运动,∴当B,C,M三点共线且点 M在BC之间时，BM最小，根据点圆最值模型确定点 M 的位置，如解图，连接BC，与⊙C 交于点M,此时 BC=BM+CM=1+1=2,∴k2−22+ 2k22=4,∴k=0或 3225,∵k>0,∴k=3225.
10.y=16x;−4nm−mn[解析】如解图，过点A作AC⊥x轴于点 C,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,连接 AB.:OA⊥OB,∴∠AOC+∠BOD=90°.又∵ ∠CAO+∠AOC=90°,∴∠CAO=∠BOD.∵ ∠ACO=∠BDO,∴ △ACO∽△ODB. ∵ACD= COBD=AOBO=12.：设点 Ax−4x,则 AC=−4x, OC=−x,∴OD=−4×2x=−8x,BD=−2x. ∴B−8x−2x.∴−8x⋅−2x=16,∴当 n=2时，点 B 所在反比例函数图象的函数表达式为 y=16x;∵ACO>ODB,∴ACOD=COBD=AOBO=¹/n.∴设点 Am−4m,旋转变换后点 B 的坐标为 −4nm−mn.
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