2025年中考数学二轮专题复习讲义第11讲 二次函数的性质综合题（含解析）

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1.已知二次函数 y=−ax²+bx+ca≠0的图象经过A(m,n),B(2，n)两点，则该二次函数图象的对称轴为直线 ( )
A.x=n B.x=m C.x=m+22 D.x=m+n2
2.已知二次函数 y=ax−1²+k的图象经过A(m,c),B(n,c)两点，则 m+n的值为 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.二次函数 y=−x²+2x+1 图象的顶点坐标为 ( )
A. (1,2) B. (2,1) C.−12 D.−21
4.在平面直角坐标系中，不论m 取何值时，抛物线 y=x²−2mx− 2x+m²+3m+2的顶点一定在下列哪条直线上 ( )
A. y=x B. y=-x C.y=x+1 D.y=x−1
5.已知二次函数 y=x²+bx+3满足当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，则当 x=2时,y的值为 ( )
A. 0 B. 3 C. 8 D. 11
6. 若0≤x≤4时,二次函数 y=−x−3²+6的最大值与最小值的差为m，则m的值为 ( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
7.已知二次函数 y=ax²+bx+c的图象与x轴交于 A−10,B(3，0)两点，若以AB为直径的圆经过抛物线的顶点，则该二次函数的解析式为 . (设问源自2022宜宾中考)
8. 已知A(-2,a),B(2,b)是抛物线 y=−13x2+4x+1上的两点，则a b(填“>”“<”或“=”).
9.已知抛物线 y=ax²−2ax+1(a<0),若M(3,m),N(-3,n)是抛物线上两点,则m n(填“>”“<”或“=”).
10.若二次函数 y=x²−4x+c的图象经过点 A5y₁,B2y₂, C−2y₃,则y₁,y₂,y₃的大小关系为 .y₁,y₂,y₃
设问进阶练
例 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax²+bx+c a≠0)与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点 C，抛物线的顶点为 D.
(1)若抛物线上有两点 Px₁y₁,Qx₂y₂,x₁<24,抛物线的对称轴为直线 x=2,则y₁与y₂的大小关系是 y₁ y₂ ( )
A.y₁>y₂ B.y₁ C.y₁=y₂ D.y₁=−y₂
(2)若抛物线上有两点 Mx₁y₁,Nx₂y₂,其中 x₁ A. t>2 B. t<2
C. t>4 D. t<4
(3)若 A130,C0−1,抛物线的对称轴为直线 x=2,则在-1≤x≤1的范围内，y的最大值为 ( )
A.2511 B.1611
C. 1 D. -1
(4)若 F3y₁,G2y₂,H−2y₃,K−4y₄四点都在抛物线上，抛物线的对称轴为直线x=2，下列说法一定正确的是( )
A. 若 y₁y₂>0,则 y₃y₄>0
B. 若 y₁y₄>0,则 y₂y₃>0
C. 若 y₁y₂<0,则 y₃y₄>0
D. 若 y₂y₄<0,则 y₁y₃<0
综合强化练
1.二次函数 y=ax²+bx+ca≠0中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
则下列结论：①a>0；②当函数值y<0时，对应x的取值范围是 −2y₂.其中所有正确结论的序号为 ( )
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
2.已知二次函数. y=mx²+2mx+3(m为常数)的图象与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，与y轴交于点C，下列结论：
①该函数图象的对称轴为直线x=1；
②(结合四边形判定)过点C作CD∥x轴，交二次函数图象于点 D，则当四边形AODC为平行四边形时， m=−38;
③当m>0,函数图象经过点(-3,a)和(2,b)时,则a>b;
④若该函数图象的顶点在直线y=2x-1上，则当x>0时，y随x的增大而减小.
其中，正确结论的个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 创新题·代数推理 已知二次函数y=(x-a)(x-b),若n-1 A.w<14 或 z<14或 w<14,z<14 B.w<14,z<14
C.w>14 或 z>14或 w>14,z>14 D.w>14,z>14
4.如图，抛物线 y=x²−2x+m+2(m为常数)交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为 B.以下结论：
①抛物线 y=x²−2x+m+2与直线y=m+1有且只有一个交点；
②若点 M−2y1,N12y2,P2y3在该函数图象上，则. y₁③若x>-n时,y随x的增大而增大,则n≤-1;
④若 m=−134,则当y>0时，x的取值范围为 x<−12或 x>52.
其中正确的结论是 ( )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
5. 创新题·开放性试题 已知抛物线 y=ax²−4ax+a²−1a0),Mm−7y₁与 Nm+1y₂为对称轴两侧抛物线上的点，若y₁>y₂,，则m的值可以为 .
6. 创新题·填空双空题 已知抛物线 y=x²−2m−1x+m²−2m(m为常数).
(1)若抛物线经过点( 1m²,,则m的值为 ;
(2)若抛物线经过点(2m,y₁)和点(2,y₂),且y₁>y₂,，则m的取值范围是 .
一阶 方法突破练
1.C 【解析】由题意知，A，B为纵坐标相等的两点，则A，B两点关于对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线 x=xA+xB2=m+22.
2. D 【解析】∵ 二次函数 y=ax−1²+k图象的对称轴为直线x=1,且经过A(m,c),B(n,c)两点,∴A(m,c),B(n,c)两点关于直线 x= 1 对称, ∴m+n2=1,∴m+n=2.
3. A 【解析】将二次函数 y=−x²+2x+1用配方法转化为顶点式 y=−x−1²+2,..该抛物线的顶点坐标为(1,2).
【一题多解】∵抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1,将x=1代入抛物线解析式得y=2，∴该抛物线的顶点坐标为(1,2).
4. A 【解析】· ∴y=x²−2mx−2x+m²+3m+2=x²− 2m+1x+m²+3m+2=x−m+1²+m+1,∴抛物线的顶点坐标是(m+1,m+1),∴抛物线的顶点一定在直线y=x上.
5. B 【解析】∵二次函数 y=x²+bx+3,当x<1时,y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，∴对称轴为直线 x=1,∴−b2=1,∴b=−2,.二次函数的表达式为 y=x²−2x+3,当x=2时,y=4-4+3=3.
6. C 【解析】∵-1<0,∴二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线x=3，∴当0≤x≤4时，y可以取到最大值(对称轴在 x的取值范围内)，且最大值为ymax=6,∵]直线x=0到对称轴直线x=3 的距离大于直线x=4到对称轴直线x=3 的距离，∴最小值在x=0处取得,即 yₘᵢₙ=−3(将x=0代入二次函数解析式),∴m=6-(-3)=9.
7.y=−12x2+x+32或 y=12x2−x−32 【解析】∵ 二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴二次函数的对称轴为直线x=1，AB=4，∵以AB为直径的圆经过抛物线的顶点，∴圆的半径为2，∴二次函数的顶点坐标为(1,2)或(1,-2),当顶点为(1,2)时，设二次函数解析式为 y=ax−1²+2,将A(-1,0)代入得 a=−12,∴y=−12x2+x+32,同理，当顶点为(1,-2)时, y=12x2−x−32.
8. < 【解析】∵A(-2,a),B(2,b)是抛物线y= −13x2+4x+1上的两点，∴将点 A 坐标代入抛物线解析式，得 a=−13×−22+4×−2+1=−253,将点 B 坐标代入抛物线解析式，得 b=−13×22+4×2+1=233, ∵−253<233,∴a【一题多解】由题意得，抛物线的对称轴为直线 x=−42×−13=6,∵−13<0,. 抛物线开口向下，当x
<6时,y随x的增大而增大,∵-2<2<6,∴a9. > 【解析】∵抛物线 y=ax²−2ax+1,.抛物线的对称轴为直线x=1,∵M(3,m),N(-3,n)是抛物线上两点，∴ 点 M 关于对称轴直线x=1 的对称点为(-1,m),∵a<0,∴抛物线开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,∵-1>-3,∴m>n.
10.y₂0,∴该二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线 x=−−42×1=2.∵二次函数 y=x²−4x+c的图象过点A(5,y₁),B(2,y₂),C(-2,y₃),∴二次函数的最小值为y₂，且点 C 到对称轴的距离大于点 A 到对称轴的距离，. ∴y₂二阶 设问进阶练
例 (1)A 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=2, x₁<2 4,∴x1+x22>2,Q点到对称轴的距离大于 P 点到对称轴的距离，∴y₁>y₂.(抛物线开口向下，则距离对称轴越近的点，y值越大)
(2)A 【解析】∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y随x 的增大而增大， ∵x1+x2=4,∴x1+x22=2,设x₁,x₃关于直线x=t对称,则 x1+x32=t,：x12.
(3)B 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=2, ∴−b2a=2,即b=-4a，∵抛物线分别与x轴、y轴交于 A130,C0−1两点，∴将A 点坐标代入y= ax²+bx−1,得 19a+13b−1=0b=−4a,解得 a=−911b=3611,.抛物线的解析式为 y=−911x2+3611x−1,::a<0且在-1≤x≤1的范围内时，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取得最大值，即 y=−911×12+3611×1−1=1611.
(4)C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=2，根据各点到对称轴的距离可得 y₂>y₁>y₃>y₄,.若 y₁y₂>0,则y₃y₄>0或y₃y₄<0,选项 A 不符合题意;若. y₁y₄>0,则y₂y₃>0或y₂y₃<0,选项B不符合题意;若 y₁y₂<0,则y₃y₄>0,选项 C符合题意;若y₂y₄<0,则 y₁y₃>0或y₁y₃<0,选项 D不符合题意.
三阶 综合强化练
1.A 【解析】先观察表格寻找特殊点坐标，如(-2，-3),(0,-3)两点纵坐标相等,(1,0)为抛物线与x轴的交点.由(-2,-3),(0,-3)可得抛物线对称轴为直线x=-1,由(0,-3),(1,0)可得x>-1时,y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴a>0，∴①正确，符合题意；∵抛物线过点(1，0)，∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(-3,0),∴-3-1-(-3),∴y₁2. A 【解析】①该函数图象的对称轴为直线 x= −2m2m=−1,故错误；②当m>0时，不存在四边形AODC为平行四边形，当m<0时，∵过点C 作CD∥x轴，交二次函数图象于点 D，∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,C(0,3),∴D(-2,3),∴CD=2,∵四边形AODC为平行四边形,∴CD=AO=2,∴A(2,0),将A点坐标代入 y=mx²+2mx+3得 m=−38,故正确；③将点(-3,a)和(2,b)分别代入 y=mx²+2mx+3,得 a =3m+3,b=8m+3,∵m>0,∴a-1时,y随x的增大而增大，故错误.综上所述，正确的结论有1个.
3. A 【解析】∵ 抛物线的解析式为y=(x-a)(x-b),∴当x=n-1时,w=(n-1-a)(n-1-b),当x=n时,z=(n-a)(n-b),∴wz=(n-1-a)(n-1-b)(n-a)(n-b)=(a-n+1)(b-n+1)(n-a)(n-b)< a−n+1+n−a22b−n+1+n−b22=116,故w，z至少有一个小于 14,∴w<14或 z<14或 w<14,z<14.
【一题多解】wz=(n-1-a)(n-1-b)(n-a)(n-b)= a−n+122−14b−n+122−14,∴n−14. C 【解析】①将两函数解析式联立,把y=m+1 代入 y=x²−2x+m+2中，得 x²−2x+1=0,∵b²−4ac=4−4=0,∴此方程有两个相等的实数根，则抛物线 y=x²−2x+m+2与直线y=m+1有且只有一个交点，故①正确；②∵ 抛物线的对称轴为直线 x= −−22=1,利用抛物线的对称性将三点转化到对称轴的同侧，∴点P(2，y₃)关于直线x=1 的对称点的坐标为(0,y₃),∵a=1>0,∴当x<1时,y随x的增大而减小，又∵ −2<0<12,∴y1>y3>y2,故②错误;③∵抛物线的对称轴为直线x=1,a=1>0,∴当x>1时,y随x的增大而增大,∴n≤-1,故③正确;④当 m=−134时，抛物线解析式为 y=x2−2x−54,∴抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 x1=−12,x2=52,∴当y>0时，x的取值范围为 x<−12或 x>52,故④正确.综上所述，正确的结论是①③④.
5. 2(答案不唯一) 【解析】∵ 抛物线 y=ax²−4ax+a²−1(a>0)，∴抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=2,∵m−76. (1) 34;(2)m>1 【解析】(1)把点(1,m²)代入抛物线 y=x²−2m−1x+m²−2m,得 m²=1²−2m−1+ m²−2m,解得 m=34;(2)把点(2m,y₁)代入抛物线 y=x²−2m−1x+m²−2m,得 y₁=2m²−2m−1. 2m+m²−2m=m²+2m,,把点(2,y₂)代入抛物线 y=x²−2 m−1x+m²−2m,得 y₂=2²−2m−1×2+m²−2m=m²− 6m+8,∵y₁>y₂,∴m²+2m>m²−6m+8解得m>1.x
…
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y

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