人教版七年级数学下册举一反三专题9.3一元一次不等式组【九大题型】(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册举一反三专题9.3一元一次不等式组【九大题型】(学生版+解析)，共35页。

专题9.3 一元一次不等式组【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc15982" 【题型1 一元一次不等式组的概念辨析】  PAGEREF _Toc15982 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18161" 【题型2 解一元一次不等式组】  PAGEREF _Toc18161 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc13731" 【题型3 一元一次不等式组的有解或无解问题】  PAGEREF _Toc13731 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29320" 【题型4 根据一元一次不等式组的解集求字母的值】  PAGEREF _Toc29320 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31707" 【题型5 根据一元一次不等式组的解集求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc31707 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20237" 【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】  PAGEREF _Toc20237 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc14953" 【题型7 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc14953 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc29228" 【题型8 根据一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc29228 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9034" 【题型9 不等式组中的新定义问题】  PAGEREF _Toc9034 \h 6【知识点 一元一次不等式组】定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解.【题型1 一元一次不等式组的概念辨析】【例1】（2023春·四川巴中·七年级统考期末）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ）A．{x−2>0x<−3 B．{x+1>0y−1<0C．{3x−2>0(x−2)(x+3)>0 D．{3x>01x+1>0【变式1-1】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）如果长春市 2020 年 4 月 30 日最高气温是 23℃，最低气温是 12℃，则当天长春市气温 t（℃）的变化范围是（    ）A．t＞23 B．t≤23 C．12＜t＜23 D．12≤t≤23【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）“a与5的和是正数且a的一半不大于3”用不等式组表示，正确的是(　　)A．a+5>012a⩽3 B．a+5>012a<3 C．a+5>012a⩾3 D．a+5⩾012a⩽3【变式1-3】（2023春·江苏·七年级专题练习）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：甲：它的所有的解为非负数；乙：其中一个不等式的解集为x≤8；丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ．【题型2 解一元一次不等式组】【例2】（2023春·黑龙江绥化·七年级统考期末）不等式组x+3>02x−4≤0的解集在数轴上表示为（　　）A．   B．  C．   D．  【变式2-1】（2023春·河南开封·七年级统考期末）下面是小李同学解不等式组5−12x≥3x−623+x>4的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：令5−12x≥3x−62,①3+x>4②解不等式①，5−12x≥3x−62去分母，得10−x≥3x−6    第一步移项，得−x−3x≥−6−10    第二步合并同类项，得−4x≥−16    第三步系数化为1，得x≥4    第四步任务一：上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______．任务二：请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来，【变式2-2】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）解不等式组(1)x−3x−2>42x−13≥3x+26−1，并写出该不等式组的最小整数解(2)4x−2≤3(x+1)1−x−1221−ax+4.【题型3 一元一次不等式组的有解或无解问题】【例3】（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）如果关于x的不等式组x−1≥4kx−k<4k+6有解，且关于x的方程kx+6=x有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（    ）A．－1 B．－3 C．－7 D．－8【变式3-1】（2023秋·湖南株洲·七年级校考期末）若不等式组x+13m有解，则m的取值范围是 ．【变式3-3】（2023春·广东广州·七年级广州市天荣中学校考期中）已知关于x，y的不等式组x−1>0x−a⩽0有以下说法：①若它的解集是1＜x≤4，则a＝4；②当a＝1时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5；④若它有解，则a≥2．其中所有正确说法的序号是 ．【题型4 根据一元一次不等式组的解集求字母的值】【例4】（2023春·贵州·七年级校联考期末）若不等式组x−m≤1n−3x≤0的解集是−1≤x≤3，则m+n= ．【变式4-1】（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）（2023春·河南濮阳·七年级校考期末）若不等式组x≥−3x02x−n≤0的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（    ）A．3 B．4 C．5或6 D．6或7【题型5 根据一元一次不等式组的解集求字母的取值范围】【例5】（2023春·陕西西安·七年级期末）若不等式组x+9<4x−3x>m的解集是x>4，那么m的取值范围是 ．【变式5-1】（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）若关于x的不等式组3x−2<5x+4x≤m−1的所有整数解的和为0，则m的值不可能是（   ）A．3 B．3.2 C．3.7 D．4【变式5-2】（2023春·四川成都·七年级四川省成都市盐道街中学校考期中）关于x的不等式组2a−x>32x+8>4a的解集中每一个值均不在−1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是 ．【变式5-3】（2023春·湖北武汉·七年级校联考期末）关于x的不等式组2x＞a+1x+62≥x+1的解集中所有整数之和最大，则a的取值范围是（   ）A．-3≤a≤0 B．-1≤a<1 C．-318”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ）  A．x≤143 B．143≤x<6 C．x<6 D．14395”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）A．12.75−5x−4≤a有四个整数解，求实数a的取值范围．【变式8-2】（2023春·四川泸州·七年级统考期末）若不等式组x−2<3x−6,x≤m.有两个整数解，则m的取值范围是（    ）A．30bx+a>0(其中ba为整数)的不等式组为“互倒不等式组”，若互倒不等式组ax+b>0bx+a>0(其中ba为整数)有且仅有1，2两个正整数解，则ba= ．【题型9 不等式组中的新定义问题】【例9】（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）用x表示不大于x的最大整数，如4.1=4，−2.5=−3，则方程6x−3x+7=0的解是 ．【变式9-1】（2023春·福建泉州·七年级统考期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．(1)最大的“对称数”为______，最小的“对称数”为______；(2)若上述定义中的x满足不等式x+1<4，则这样的对称数有______个；(3)一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b能使得不等式组3x−44−1≤x−228x−1>b恰有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．【变式9-2】（2023春·福建福州·七年级校联考期末）对x，y定义一种新运算F，规定：Fx,y=mx+ny3x−y（其中m，n均为非零常数）．例如：F1,1=2m+2n，F−1,0=3m．已知F1,−1=−8，F1,2=13．(1)求m，n的值；(2)关于a的不等式组Fa,3a+1>−95F5a,2−3a≥340，求a的取值范围．【变式9-3】（2023春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程x−1=0就是不等式组x+1>0x−2<0的“有缘方程”．(1)试判断方程①2x−3=0，②3x−x−1=−1是否是不等式组5x−2<32x+4>1的有缘方程，并说明理由；(2)若关于x的方程3x+2k=5（k为整数）是不等式组3x+1−2x>24x−1≥2x−3+5x的一个有缘方程，求整数k的值；(3)若方程3−x=2x，3x+5=x+9都是关于x的不等式组3x+2≥2x+3m2x<32m+1−x的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围．专题9.3 一元一次不等式组【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc15982" 【题型1 一元一次不等式组的概念辨析】  PAGEREF _Toc15982 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18161" 【题型2 解一元一次不等式组】  PAGEREF _Toc18161 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc13731" 【题型3 一元一次不等式组的有解或无解问题】  PAGEREF _Toc13731 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc29320" 【题型4 根据一元一次不等式组的解集求字母的值】  PAGEREF _Toc29320 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc31707" 【题型5 根据一元一次不等式组的解集求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc31707 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc20237" 【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】  PAGEREF _Toc20237 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc14953" 【题型7 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc14953 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc29228" 【题型8 根据一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】  PAGEREF _Toc29228 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc9034" 【题型9 不等式组中的新定义问题】  PAGEREF _Toc9034 \h 22【知识点 一元一次不等式组】定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解.【题型1 一元一次不等式组的概念辨析】【例1】（2023春·四川巴中·七年级统考期末）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ）A．{x−2>0x<−3 B．{x+1>0y−1<0C．{3x−2>0(x−2)(x+3)>0 D．{3x>01x+1>0【答案】A【分析】根据一元一次不等式组的概念逐一辨析．【详解】A. {x−2>0x<−3是一元一次不等式组，故正确；   B. {x+1>0y−1<0是二元一次不等式组，故不正确；  C. {3x−2>0(x−2)(x+3)>0是一元二次不等式组，故不正确；   D. {3x>01x+1>0是分式不等式组，故不正确；故选A．【点睛】本题考查了对一元一次不等式组概念的理解，深刻理解基本定义是解决这类问题的关键．【变式1-1】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）如果长春市 2020 年 4 月 30 日最高气温是 23℃，最低气温是 12℃，则当天长春市气温 t（℃）的变化范围是（    ）A．t＞23 B．t≤23 C．12＜t＜23 D．12≤t≤23【答案】D【分析】最高气温是23℃，即气温小于或等于23℃，最低气温是12℃，即气温大于或等于12℃，据此写出即可．【详解】解：如果长春市2020年4月30日最高气温是23℃，最低气温是12℃，则当天长春市气温 t（℃）的变化范围是：12≤t≤23．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义．【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）“a与5的和是正数且a的一半不大于3”用不等式组表示，正确的是(　　)A．a+5>012a⩽3 B．a+5>012a<3 C．a+5>012a⩾3 D．a+5⩾012a⩽3【答案】A【分析】利用a与5的和是正数得出a+5＞0，再利用a的一半不大于3得出不等式组．【详解】解：用a与5的和是正数得出a+5＞0，再利用a的一半不大于3，即小于等于3.由题意可得：a+5>012a⩽3故选A．【点睛】此题主要考查了由语言文字抽象出一元一次不等式，正确得出不等式是解题关键．【变式1-3】（2023春·江苏·七年级专题练习）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：甲：它的所有的解为非负数；乙：其中一个不等式的解集为x≤8；丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ．【答案】8−x≥0x≥0（答案不唯一）【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为x≥0，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，∴其中一个不等式的解集必为x≥0，∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，∴其中一个不等式中x的系数为负数，∴符合条件的一元一次不等式组可以为8−x≥0x≥0：（答案不唯一）．故答案为：8−x≥0x≥0（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质，此题属开放性题目，答案不唯一．【题型2 解一元一次不等式组】【例2】（2023春·黑龙江绥化·七年级统考期末）不等式组x+3>02x−4≤0的解集在数轴上表示为（　　）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．【详解】解：x+3>0①2x−4≤0②，解不等式①，得：x>−3，解不等式②，得：x≤2，把不等式①②解集在数轴上表示出来：  ，故选：D．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤和不等式解集的表示是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·河南开封·七年级统考期末）下面是小李同学解不等式组5−12x≥3x−623+x>4的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：令5−12x≥3x−62,①3+x>4②解不等式①，5−12x≥3x−62去分母，得10−x≥3x−6    第一步移项，得−x−3x≥−6−10    第二步合并同类项，得−4x≥−16    第三步系数化为1，得x≥4    第四步任务一：上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______．任务二：请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来，【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变；任务二：见解析【分析】任务一：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可；任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可．【详解】任务一：上述解不等式①的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变；故答案为：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变；任务二：令5−12x≥3x−62,①3+x>4②解不等式①，5−12x≥3x−62，去分母，得10−x≥3x−6， 移项，得−x−3x≥−6−10，合并同类项，得−4x≥−16， 系数化为1，得x≤4， 解不等式②，3+x>4，移项，得x>4−3，解得：x>1，∴不等式组的解集为：142x−13≥3x+26−1，并写出该不等式组的最小整数解(2)4x−2≤3(x+1)1−x−124①2x−13≥3x+26−1②由①得：x<1， 由②得：x≥−2， ∴不等式组的解集为：−2≤x<1， ∴该不等式组的最小整数解为x=−2．（2）4x−2≤3(x+1)①1−x−122，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，   ∴原不等式组的解集为221−ax+4.【答案】当a>0时，2a3a，当a>0时，x<3a当a=0时，x为任意数解不等式a+2x−2>21−ax+4∴a+2−21−ax>4+2∴3ax>6即ax>2，则a≠0当a>0时，x>2a，当a<0时，x<2a，∴当a>0时，2a−5，由kx+6=x可得x=61−k，∵方程kx+6=x有正整数解，∴1−k>0，可得k<1，当−52，解不等式②得：x<2m，∵不等式组无解，∴2m≤2，∴m≤1，故答案为：m≤1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．【变式3-2】（2023春·上海宝山·六年级校考期中）若不等式组−1≤1−x<2x>m有解，则m的取值范围是 ．【答案】m<2【分析】先求得不等式−1≤1−x<2的解集，再根据不等式组有解，求解即可．【详解】解：由不等式−1≤1−x<2可得：−1≤1−x1−x<2，解得−1m有解，∴m<2故答案为：m<2【点睛】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，解题的关键是正确求得不等式−1≤1−x<2的解集．【变式3-3】（2023春·广东广州·七年级广州市天荣中学校考期中）已知关于x，y的不等式组x−1>0x−a⩽0有以下说法：①若它的解集是1＜x≤4，则a＝4；②当a＝1时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5；④若它有解，则a≥2．其中所有正确说法的序号是 ．【答案】①②③【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．【详解】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1；解不等式x﹣a≤0得，x≤a，故不等式组的解集为：1＜x≤a．①∵它的解集是1＜x≤4，∴a＝4，故本小题正确；②∵a＝1，x＞1，∴不等式组无解，故本小题正确；③∵它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5，∴4≤a＜5，故本小题正确；④∵它有解，∴a＞1，故本小题错误．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键.【题型4 根据一元一次不等式组的解集求字母的值】【例4】（2023春·贵州·七年级校联考期末）若不等式组x−m≤1n−3x≤0的解集是−1≤x≤3，则m+n= ．【答案】−1【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m，n的方程，然后求出m，n的值，最后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由x−m≤1①n−3x≤0②，解不等式①得：x≤m+1，解不等式②得：x≥n3，∵不等式组的解集为：−1≤x≤3，∴m+1=3，n3=−1，解得：m=2，n=−3，∴m+n=2+−3=−1，故答案为：−1．【点睛】此题考查了一元一次不等式组解集的求法、解一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于m，n的方程是解题的关键．【变式4-1】（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）（2023春·河南濮阳·七年级校考期末）若不等式组x≥−3x23x≤k+13，∵关于x的不等式组−2(x−2)−x<2k−x2≥−12+x最多有2个整数解，∴2302x−n≤0的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（    ）A．3 B．4 C．5或6 D．6或7【答案】C【分析】先解出不等式组，然后根据不等式组的整数解确定m，n的取值范围，再根据m，n都为整数，即可确定m，n的值，代入计算即可．【详解】解不等式x−m>0，得x>m解不等式2x−n≤0，得x≤12n，∴不等式组的解集为：mm的解集是x>4，那么m的取值范围是 ．【答案】m≤4【分析】先解第一个不等式得到x>4，由于不等式组的解集是x>4，然后根据同大取大得到m的范围．【详解】解：x+9<4x−3①x>m②，解①得x>4，∵不等式组的解集是x>4，∴m≤4．故答案为：m≤4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集的过程叫解不等式组．【变式5-1】（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）若关于x的不等式组3x−2<5x+4x≤m−1的所有整数解的和为0，则m的值不可能是（   ）A．3 B．3.2 C．3.7 D．4【答案】D【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为0，确定整数解，即可求得m的取值范围．【详解】解：3x−2<5x+4①x≤m−1②，解①得x>−3，解②得x≤m−1，∵所有整数解的和为0，∴整数解是−2，−1，0，1，2，∴2≤m−1<3，解得：3≤m<4，∴m的值不可能是4，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式5-2】（2023春·四川成都·七年级四川省成都市盐道街中学校考期中）关于x的不等式组2a−x>32x+8>4a的解集中每一个值均不在−1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是 ．【答案】a≥92或a≤1【分析】求出不等式组2a−x>32x+8>4a的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：由2a−x>32x+8>4a解得2a−432x+8>4a的解集中每一个值均不在−1≤x≤5的范围中，得：2a−4≥5或2a−3≤−1，解得：a≥92或a≤1，故答案为：a≥92或a≤1【点睛】本题考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点.【变式5-3】（2023春·湖北武汉·七年级校联考期末）关于x的不等式组2x＞a+1x+62≥x+1的解集中所有整数之和最大，则a的取值范围是（   ）A．-3≤a≤0 B．-1≤a<1 C．-3a+12x≤4 即a+1218”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ）  A．x≤143 B．143≤x<6 C．x<6 D．14318②，解不等式①得：x≤8，解不等式②得：x>143，∴x的取值范围是14395”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）A．12.7595③， 解不等式①得，x≤48， 解不等式②得，x≤24.5， 解不等式③得，x>12.75， 所以，x的取值范围是12.7512，解不等式组即可【详解】解：①0+7−(−1)2÷(13−12)×(−0.5)=6÷(−16)×(−0.5)=18，即输出数为18②运算流程x+7−(−1)2÷(13−12)×(−0.5)=(x+6)÷(−16)×(−0.5)=3x+18第一轮：3x+18≤12，第一轮未输出，则第二轮输出：3x+18+7−(−1)2÷(13−12)×(−0.5)=9x+72>12，所以可列不等式组：3x+18≤129x+72>123x+18≤12，移项得：3x≤−6，系数化为1得：x≤−2，9x+72>12移项得：9x>−60，系数化为1得：x>−203，所以不等式解集为：−2032，所以不等式组的解集是2−5x−4≤a有四个整数解，求实数a的取值范围．【答案】−3≤a<−2【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有四个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．【详解】2x>−5①x−4≤a②解不等式①得：x>−52，解不等式②得：x≤4+a∴−522，解不等式②得：x≤m，则不等式组的解集是：20bx+a>0(其中ba为整数)的不等式组为“互倒不等式组”，若互倒不等式组ax+b>0bx+a>0(其中ba为整数)有且仅有1，2两个正整数解，则ba= ．【答案】−3【分析】首先a，b必须是异号的，否则不等式组必定有无数个正整数解或者没有正整数解，从而推出a<0,b>0，继而推导0<−ab<1<2<−ba≤3，从而推出ba=−3【详解】解：ax+b>0①bx+a>0②，a≠0，若b=0，则原不等式可化为ax>0a>0，∴若a<0，则原不等式组无解，若a>0，则解得x>0，均不合题意；若a>0，b>0，则任意正整数都满足ax+b>0bx+a>0，不合题意；若a<0，b<0，则任意正整数都不满足ax+b>0bx+a>0，不合题意；∴a，b必须是异号的．∵ba是整数，∴b能被a整除，故b≥a，∴ba≥1≥ab，∵a，b异号，∴−ab≤1≤−ba，(当且仅当，a=−b时取等号)∴若a>0，b<0，由①得：x>−ba；由②得：x<−ab，由−ab≤1≤−ba可知，此时无解；∴只能是a<0,b>0， 此时由①得：x<−ba；由②得：x>−ab∴不等式组的解集是：−ab0bx+a>0(其中ba为整数)有且仅有1，2两个正整数解，∴0<−ab<1<2<−ba≤3，又∵ba为整数，∴−ba=3，∴ba=−3，此时ab=−13代入0<−ab<1得0<13<1，符合题意，故答案是：−3．【点睛】本题考查求不等式组的解集，根据不等式组的解的情况，求式子的值，推导出a<0,b>0是解题的关键．【题型9 不等式组中的新定义问题】【例9】（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）用x表示不大于x的最大整数，如4.1=4，−2.5=−3，则方程6x−3x+7=0的解是 ．【答案】x=−83或x=−196【分析】利用不等式[x]≤x<[x]+1，求出[x]的范围，然后再代入原方程求出x的值．【详解】解：令[x]=n,代入原方程得6x−3n+7=0，即x=3n−76，又∵[x]≤x<[x]+1，∴n≤ 3n−76 b恰有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．【答案】(1)9999，1010(2)8(3)2637，3928【分析】（1）根据“对称数”的定义，即可求解；（2）先求出x的取值，再根据“对称数”的定义，即可求解；（3）先求出b的取值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．【详解】（1）解：∵9+9=9+9，1+0=1+0，∴最大的“对称数”为9999，最小的“对称数”为1010；故答案为：9999，1010（2）解：x+1<4，解得：−5b②由①得x≤4由 ②得x>b+18，∵原不等式组恰有3个整数解， ∴1≤b+18<2∴7≤b<15又∵b为个位上的数字，∴b=7或8或9，∵ “对称数”M百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，∴a≤3，∴当b=7时 ，十位数字为3，∵千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和，∴若a=1，百位数字为5，不合题意；若a=2，百位数字为6，即这个数为2637；若a=3，百位数字为7，不合题意；若a=4，百位数字为8，不合题意；当b=8时 ，十位数字为2，∵千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和，∴若a=1，百位数字为7，不合题意；若a=2，百位数字为8，不合题意； 若a=3，百位数字为9，即这个数为3928；若a=4，不合题意；当b=9时 ，十位数字为1，∵千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和，∴若a=1，百位数字为9，不合题意；若a=2，不合题意； 若a=3，不合题意；若a=4，不合题意；综上所述，“对称数”M的值为：2637，3928．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．【变式9-2】（2023春·福建福州·七年级校联考期末）对x，y定义一种新运算F，规定：Fx,y=mx+ny3x−y（其中m，n均为非零常数）．例如：F1,1=2m+2n，F−1,0=3m．已知F1,−1=−8，F1,2=13．(1)求m，n的值；(2)关于a的不等式组Fa,3a+1>−95F5a,2−3a≥340，求a的取值范围．【答案】(1)m＝3，n＝5；(2)2≤a＜5．【分析】（1）根据定义的新运算F，将F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13代入F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），得到关于m、n的二元一次方程组，求解即可；（2）根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可．（1）解：根据题意得：F（1，﹣1）＝（m﹣n）（3×1+1）＝﹣8，即m﹣n＝﹣2；F（1，2）＝（m+2n）（3×1﹣2）＝13，即m+2n＝13，得到m−n=−2m+2n=13，解得m=3n=5，即m＝3，n＝5；（2）根据题意得：F（x，y）＝（3x+5y）（3x﹣y），F（a，3a+1）＝（3a+15a+5）（3a﹣3a﹣1）＝﹣18a﹣5，F（5a，2﹣3a）＝（15a+10﹣15a）（15a﹣2+3a）＝180a﹣20．由−18a−5＞−95①180a−20≥340②，解不等式①得：a＜5，解不等式②得：a≥2，故原不等式组的解集为2≤a＜5．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式9-3】（2023春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程x−1=0就是不等式组x+1>0x−2<0的“有缘方程”．(1)试判断方程①2x−3=0，②3x−x−1=−1是否是不等式组5x−2<32x+4>1的有缘方程，并说明理由；(2)若关于x的方程3x+2k=5（k为整数）是不等式组3x+1−2x>24x−1≥2x−3+5x的一个有缘方程，求整数k的值；(3)若方程3−x=2x，3x+5=x+9都是关于x的不等式组3x+2≥2x+3m2x<32m+1−x的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围．【答案】(1)①不是不等式组的“有缘方程”，②是不等式组的“有缘方程”，利用见解析(2)k=2,3(3)121，得：−3224x−1≥2x−3+5x，得：−124x−1≥2x−3+5x的“有缘方程”，∴−1<5−2k3≤23，∴32≤k<4，∵k为整数，∴k=2,3；（3）解方程3−x=2x，得：x=1；解方程3x+5=x+9，得：x=2；解不等式组3x+2≥2x+3m2x<32m+1−x，得：x≥3m−2x<2m+1，∵方程3−x=2x，3x+5=x+9都是关于x的不等式组3x+2≥2x+3m2x<32m+1−x的有缘方程且不等式组的整数解有3个，∴3m−2≤x<2m+1，当整数解为0,1,2时：−1<3m−2≤02<2m+1≤3，解得：12