河北省邯郸市馆陶县第一中学2023-2024学年九年级上学期开学考 数学试题（含解析）

这是一份河北省邯郸市馆陶县第一中学2023-2024学年九年级上学期开学考 数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，16小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列调查方式选择不合理的是（ ）
A. 了解某校七年级三班同学的视力情况，选择全面调查
B. 了解旅客乘飞机前的安检情况，选择全面调查
C. 了解某品牌电动车蓄电池的使用寿命情况，选择全面调查
D. 了解“神舟十五号”的零部件情况，选择全面调查
【答案】C
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可求解．
【详解】解：A、了解某校七年级三班同学的视力情况，选择全面调查，故不符合题意；
B、了解旅客乘飞机前的安检情况，选择全面调查，故不符合题意；
C、了解某品牌电动车蓄电池的使用寿命情况，选择抽样调查，故符合题意；
D、了解“神舟十五号”的零部件情况，选择全面调查，故不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了抽样调查和全面调查，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往采用全面调查，熟练掌握全面调查和抽样调查的特点是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴上的点的纵坐标为，得出的值进而得出的坐标．
【详解】解：点在x轴上，则，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴上的点的坐标特征，掌握轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等于号的右边，②两边同时加上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键．
4. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠4B. x≥0C. x＞0且x≠4D. x≥0且x≠4
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0列出不等式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：x≥0且x﹣4≠0，
解得：x≥0且x≠4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的定义是解题的关键．
5. 如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法依次进行判断即可求解．
【详解】解：A．根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C．“一组对边平行，另一组对边相等 ”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6. 如图，六边形为正六边形，，则的值为（ ）

A. 60°B. 80°C. 108°D. 120°
【答案】A
【解析】
【分析】延长交于点G，利用多边形外角和定理算出，再利用平行线的性质，三角形外角定理得出．
【详解】如图，延长交于点G，

∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形外角和定理，三角形外角定理，构建合适的三角形是解题的关键．
7. 某学校为了了解本校学生暑期参加劳动教育活动情况，随机调研了八年级的学生在暑期参加劳动教育活动的天数．如图，请根据图中提供的信息判断在这次抽样调查中，众数和中位数分别是（ ）

A. 5，6B. 5，7C. 6，7D. 7，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义即可求出．
【详解】结合条形统计图：5天的人数为32人，人数最多，所以众数是：5．
，总人数为80人
第40人和第41人的天数的平均数为中位数，
∴中位数为：6．
故选A.
【点睛】本题主要考查了众数，中位数，条形统计图等知识，从条形统计图中得出必要的信息是解题的关键．
8. 若在一组数据5，5，7，8，10中再添一个数，得到一组新数据，且两组数据的中位数大小相等，则新数据的平均数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数、平均数定义求解．
【详解】解：原数据组中位数为7，故知添加的数据为7，新数据的平均数
故选：B．
【点睛】本题考查中位数的定义，平均数计算，理解相关概念是解题的关键．
9. 一次函数与在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用分类讨论方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；
当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第二、四象限，选项C符合；
当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；
当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第二、四象限，无符合条件选项；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是（ ）
A. B. 7C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出：，，然后将代数式变形，代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
11. 如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ）
A. 4.8B. 5C. 3.6D. 5.4
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为4.8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12. 在正比例函数中，y随x的增大而减小，则关于x的方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质得到，再根据一元二次方程的根的判别式即可解答．
【详解】解：∵正比例函数中，的值随值的增大而减小，
∴，
∵关于的一元二次方程为，
∴，
∴一元二次方程为有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13. 如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说：．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）
A. 嘉嘉正确，淇淇错误B. 嘉嘉错误，淇淇正确C. 两人都正确D. 两人都错误
【答案】B
【解析】
【分析】根据，可以判定，与不一定相等，不能判定PQ//BC．
【详解】解：∵，，
∴，即淇淇的结论正确；
∴，，
∵不能得出或，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉结论不正确．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．
14. 我们都知道龟兔赛跑的故事：兔子和乌龟比赛跑步，比赛开始后，兔子飞快冲出，而乌龟在地上慢慢地爬．兔子看乌龟落后很多，就躺着睡着了．当兔子睡醒时，乌龟已经离终点不远了，兔子用比原来更快的速度追赶，但还是输了比赛．下列图象中，能大致反映比赛时他们之间的距离与时间关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找出关键节点，根据龟兔赛跑的过程分段分析，进而得出函数图象．
【详解】解：兔子睡着前，兔子和乌龟之间的距离逐渐增大，
兔子睡着时，乌龟继续前进，则兔子和乌龟之间的距离先缩短，直到为零，然后再逐渐增大，
兔子睡醒后，乌龟到达终点前，兔子和乌龟之间的距离逐渐缩短，
乌龟到达终点后，兔子和乌龟之间的距离逐渐缩短，且缩短的更快，表现在函数图象上为较“陡”，直到兔子和乌龟之间的距离为零，
符合这一过程的函数图象为C，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的识别，正确理解每个时间段他们之间的距离的变化情况是解题的关键．
15. 如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放．小明发现重叠部分（四边形）是菱形，并进行如下所示的推理．
小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“∵”和“∴四边形是菱形”之间作补充．下列说法正确的是（ ）

A. 应补充：，∴
B. 小明的推理严谨，不必补充
C. 应补充：
D. 应补充：
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法进行求解即可：一组邻边相等的平行四边形为菱形．
【详解】解：∵，且，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故选项A正确；
∵一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，
故选项B不符合题意，
∵从无法证得，
故选项C不符合题意，
∵菱形的对角线不一定相等，
故选项D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的判定，解题的关键是熟知菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，每条对角线平分一组对角的四边形是菱形，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为1的正方形，顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上．若直线y＝kx+2与边AB有公共点，则k的值可能为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质求出点A和点B的坐标，代入解析式得出范围解答即可．
【详解】解：由题意可得：点A（﹣1，0），点B（﹣1，1），
把点A代入解析式可得：﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
把点B代入解析式可得：﹣k+2＝1，
解得：k＝1，
所以k的取值范围为：1≤k≤2，
故选：B．
【点睛】此题考查两直线相交于平行问题，求出点坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共12分．）
17. 嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为______，此时方程的解为______．
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】设中为，根据判别式的意义得到，然后解不等式求出后找出最大整数即可．
【详解】解：设中为，则，
由题意得，，
解得，
∴的最大的值为9．
此时方程为：，即：，
∴
故答案为：9；．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了配方法解一元二次方程．
18. 如图，，和分别是和的高，若，则与的周长之比为_____．与的面积之比为______．
【答案】 ①. 2∶3 ②. 4∶9
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】∵和分别是和的高，，，且，
∴相似比为2：3，
∴与的周长之比为2：3，
∴与的面积之比为4：9．
故答案为：2∶3；4∶9．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的高之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是本题的关键．
19. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是______形；如果直尺的宽度是，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为______．
【答案】 ①. 菱 ②. 12
【解析】
【分析】先证四边形是平行四边形，再证，则平行四边形是菱形，得，然后由等腰直角三角形的性质求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于，于．
两直尺的宽度相等为，
．
，，
四边形是平行四边形，
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
菱形的周长，
故答案为：菱，．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共7小题）
20. 解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．
【答案】（1）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x1＝1，x2＝2．
【解析】
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，
则x＝＝＝﹣2，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，
(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，
(x﹣1)(x﹣2)＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，熟练运用因式分解法解一元二次方程．
21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：≌；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形AODF为矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可；
（2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD=∠ADF，
∵∠AEO=∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）；
【小问2详解】
解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
22. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．

（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
【答案】（1）中位数为分，平均数为分，不需要整改
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由分变成4分
【解析】
【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可；
（2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解．
【小问1详解】
解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为：(分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
【小问2详解】
设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：
解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键．
23. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【解析】
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点，与一次函数的图象相交于点A；

（1）求k，b的值；
（2）求点A的坐标；
（3）设点E在直线上，且，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）点A的坐标是
（3）点E的坐标是或
【解析】
【分析】（1）把和代入得到关于k，b的二元一次方程组，解方程组即可得到k，b的值；
（2）由（1）得到为，与联立得到方程组，解方程组即可得到点A的坐标；
（3）根据得到的边上的高是，则点E的纵坐标是.分别利用函数解析式求出点E的横坐标即可得到点E的坐标．
【小问1详解】
解：把和代入得：

解得：，
【小问2详解】
由（1）可知为，
与联立得到
，
解得，
∴点A的坐标是；
【小问3详解】
∵与同底，点，即的边上的高是5，若使，
则的边上的高是，
∴点E的纵坐标是.
把代入得，
把代入得：，
∴点E的坐标是或．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法、两直线的交点坐标等知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
25. 2023年河北省第6届旅发大会在邯郸举办，特此发行了甲乙两种旅游纪念品，某商店准备采购300件纪念品．已知购进40件甲种纪念品和30件乙种纪念品需要5000元，购进10件甲种纪念品和50件乙种纪念品需要3800元．其中甲种纪念品的售价为120元/件，乙种纪念品的售价为80元/件．
（1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若乙种纪念品的数量不少于甲种纪念品数量的3倍，且利润不低于7400元，设利润为w元，请通过计算说明商店的最大利润为多少；
（3）若甲种纪念品每件售价降低元，乙种纪念品售价不变，在（2）的条件下，该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为5720元，则m的值为______．
【答案】（1）甲纪念品每件的进价为80元，乙纪念品每件的进价为60元；
（2）商店的最大利润为7500元；
（3）．
【解析】
【分析】（1）设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设甲种纪念品数量为a，则乙种纪念品的数量为，根据题意列出一元一次不等式组求a的范围，再列一元一次函数，利用一次函数的性质求解；
（3）设该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为w，得到，然后根据得到，然后得到w随a的增大而减小，然后得到当时，，代入求解即可．
【小问1详解】
解：设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，由题意得：
，
解得：，
答：甲纪念品每件进价为80元，乙纪念品每件的进价为60元；
【小问2详解】
解：设甲种纪念品数量为a，则乙种纪念品的数量为，
∴根据题意可得，
，
∴解得，
由题意得，
∵，
∴w随a增大而增大，
∴当时，最大利润为，
商店的最大利润为7500元；
小问3详解】
解：设该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为w，
∴，
∵，
∴，
∴w随a的增大而减小，
∵，
∴当时，，
∴，
∴解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用等知识，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
26. 【问题情境】
（1）如图1，已知是正方形，是对角线上一点，求证：；请你完成证明．

【深入探究】
（2）如图2，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为．，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．

（3）如图3，延长，交于点，与交于点，为的中点，连接，则的形状为________．

【拓展应用】
（4）如图4，在正方形中，若，是上一点，过点作于，于．则最小值为________．

【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）直角三角形；（4）；
【解析】
【分析】（1）根据四边形是正方形得到，，即可得到，即可得到证明；
（2）延长交交于H，根据，，结合四边形是正方形得到，，从而得到，即可得到四边形是正方形，得到，从而得到，即可证得，即可得到答案；
（3）根据四边形是正方形得到，从而得到，根据（1）得到，即可得到，结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可得到答案；
（4）结合，，得到 是矩形，即可得到，根据点到直线距离垂线段最短即可得到当时最小，结合正方形性质求解即可得到答案；
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）延长交于H，
∵，，四边形是正方形，

∴，，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由（1）得，
，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的形状为直角三角形；
（4）∵，，四边形是正方形，
∴，，
∴，是矩形，
∴，
∴当时最小，
∵，

∴，
由勾股定理可得，
，
解得：，
∴最小值为：．
【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，解题的关键是根据正方形性质得到三角形全等的条件．如图，过点A分别作，的垂线，垂足分别为点，，则．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．