北京市第十四中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷（Word版附解析）

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班级：______姓名：______
注意事项：
1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.答题不得使用任何涂改工具.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由三角函数定义求解即可.
【详解】由三角函数定义可知.
故选：A.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式二将化简为，计算即可.
【详解】由诱导公式二，得
.
故选：D.
3. 在中，若，，，则等于（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，
即，
又由，且，
所以或，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
5. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得.
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
6. 在△中，若，则△为
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.
【详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
7. 已知向量和都是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先由及向量夹角范围推断充分性，再由数量积定义以及“为锐角”即可推断必要性.
【详解】因为，向量和都非零向量，
则由得，
所以由向量夹角范围为，得“”或“为锐角”；
反之，若为锐角，则，
故“”是“为锐角”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 函数是
A. 奇函数，且最大值为2B. 偶函数，且最大值为2
C. 奇函数，且最大值为D. 偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
9. 底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求出，再根据二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.
【详解】解：如图，为一个黄金三角形，
其中，为的中点，
根据题意可知，
则，
即，
又，
则，
解得，
所以.
故选：B.
10. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分.
11. 若一个扇形的圆心角为2弧度，半径为2cm，则这个扇形的弧长是______cm.
【答案】4
【解析】
【分析】由扇形弧长公式即可求解.
【详解】由扇形弧长公式得这个扇形的弧长是.
故答案为：4.
12. 正方形的边长为2，点P为边中点，则=______.
【答案】
【解析】
【分析】先由题意读出，，且即可求解.
【详解】由题可得，，且，

所以.
故答案为：.
13. 若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【解析】
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
14. 已知，则______；若且，则的取值为______.
【答案】 ①. ②. 0，，
【解析】
【分析】先化简，接着将代入即可求解；令结合即可求出的取值.
【详解】由题
，
故，
令，即，
，
或，
即或，又，
所以.
故答案为：；
15. 已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论：
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上单调递增；
③函数的图象过点；
④直线为函数的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据函数图象求出，结合三角函数的性质进而求出函数的零点，作出图象，利用数形结合的思想依次判断结论即可.
【详解】由图象得，，
又函数图象过点，所以，
由，得，所以，
所以，令，
所以函数的零点有，作出图象，如图，
由图象可得，
的最小正周期为，故①正确；
函数在上单调递增，即在上单调递增，故②正确；
令，得，即函数图象过点，故③错误；
由函数图象知直线是图象的一条对称轴，故④正确.
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，
（2）根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出.
【详解】（1）因为，，
所以.
所以.
（2）因为，，
所以.
所以.
17. 已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）求；
（3）当实数k为何值时，.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由数量积定义即可求解.
（2）根据模长公式结合数量积运算律即可求解.
（3）根据向量的运算律以及垂直关系的向量表示即可求解.
【小问1详解】
由题.
小问2详解】
由（1），
所以
【小问3详解】
因为，
所以，
整理得，解得.
18. 在中，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【小问1详解】
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
【小问2详解】
解：由三角形面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点.

（1）若点A的横坐标是，点B的纵坐标是，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由题意求出点A、B的坐标，进而由三角函数定义以及两角和余弦公式即可求解.
（2）根据已知用余弦定理求出向量夹角，再结合数量积定义公式即可求解.
【小问1详解】
由题点A、B在单位圆上，且分别在第一象限和第二象限.
故由点A的横坐标是，点B的纵坐标是，得，，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以.
20. 设函数.
（1）若，求的值；
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接用两角和的正弦公式化简，然后代入计算即可；
（2）选择①，函数不存在；选择②，根据，计算即可；选择③，根据，计算即可.
【小问1详解】
因为，所以.
由，得.
又因为，所以；
【小问2详解】
选择条件①：，
因为，所以，不可能；
选择条件②：，且，
因为，所以的最小值为，最大值为1，
又因为在区间上单调递增，且，，
所以由三角函数的性质得，故.
因为，所以，.
由，得.
又因为，所以.
选择条件③：在区间上单调递减，且在区间上单调递增，
因为，所以的最小值为，最大值为1.
由题意得，又因为在区间上单调递增，且.
所以由三角函数的性质得，故.
因为，所以，.
由，得.
又因为，所以.
21. 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．
（1）判断是否是函数的点，并说明理由；
（2）若函数的集为，求的最大值；
（3）若定义域为的连续函数的集满足，求证：．
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）直接求出，再判断出，即可得到，即可得到结论；
（2）先说明，若，则，由题设得到，推出矛盾即可证得；再说明的值可以等于，令，利用三角函数的值域加以证明即可；
（3）由题设知，必存在，使得，结合零点存在定理说明函数必存在零点，即可证明.
【小问1详解】
不是函数的点，理由如下：设，则，，
因为，所以，所以，所以不是函数的点；
【小问2详解】
先证明，若，则函数的最小正周期，因为函数的集为，
所以对，是的点，令，则，因为函数的值域为，
所以当时，必有，即对于恒成立，
所以，即的最小正周期，与矛盾；
再证明的值可以等于，令，对，当时，，；
当时，，，所以是的点，
即函数的集为；综上所述，的最大值是；
【小问3详解】
因为函数的集满足，所以存在，使得且，即，
因为若，则，所以，因为函数的图象是连续不断的，
不妨设，由零点存在定理知，必存在使得，所以存在零点，即.
【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设，利用周期推出矛盾，进而证得，再利用三角函数的值域说明的值可以等于即可；第三小问的关键点在于得到存在，使得，结合零点存在定理即可证明.