高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题30《对数与对数函数》单元测试(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题30《对数与对数函数》单元测试(B)(原卷版+解析)，共21页。

第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
3．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）设，，则=（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·云南师大附中高一期中）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知，若，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜mB．n＜p＜mC．m＜n＜pD．n＜m＜p
7．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，关于下列命题正确的个数是（ ）
① ②函数在定义域上是周期为2的函数
③直线与函数的图象有2个交点 ；④函数的值域为
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知，且，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高一单元测试）已知正实数，满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海大学市北附属中学高一期中）函数的定义域为________.
14．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）已知，则__________．（用m，n表示）
15．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.
16．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·上海市进才中学高一期中）（1）计算：；
（2）已知，且，求m的值．
18．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）设函数，
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
20．（2021·上海市行知中学高一期中）设，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，从以下两个函数①，②中选择一个作为函数的解析式，并解答下列问题.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的单调性(说明理由).
22．（2020·天津·高一期末）已知函数
(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
(2)已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
第四章 专题30 《对数与对数函数》(B）
命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）设，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数的运算，化简为，即可得答案.
【详解】由题意知，，
则，
故选：D
2．（2022·云南师大附中高一期中）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可.
【详解】函数与的图象过定点，
所以C，D错误；
又因为与单调性相异.
故选：A
3.（2021·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知，若，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算，可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为，则，所以，，
解得.
故选：B.
4．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
5．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】判断“ ”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】对于实数且，，且，
由不等式，可得或，
故时不一定有，由也不能推出一定是，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜mB．n＜p＜mC．m＜n＜pD．n＜m＜p
【答案】B
【分析】根据幂函数，对数函数的单调性判定即可.
【详解】由于幂函数在单调递增，
故，
又，，
∴0＜p＜m＜1，
由对数函数在单调递减，
故，∴n＜p＜m．
故选：B
7．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，关于下列命题正确的个数是（ ）
① ②函数在定义域上是周期为2的函数
③直线与函数的图象有2个交点 ；④函数的值域为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】利用已知条件得出在时，函数具有类周期性，结合奇函数性质可求得，从而易判断①，根据周期性定义，举反例判断②，通过研究直线与函数的图象的交点，结合的性质判断③④．
【详解】时，，则，，，又是R上的奇函数，因此，，所以，①正确；
，， ②错误；
作出函数的图象与直线（如图），可得直线与的图象只有两个交点和，
时，，其图象与直线只有一个交点，又是奇函数，从而在上的图象与直线只有一个交点，由命题①的推理可得，由于时，，同样由命题①的推理结合奇函数性质得，而时，，时，，因此③错，同时得出④错．
正确的命题只有①．
故选：A．
【点睛】易错点点睛：本题考查函数的周期性与奇偶性、考查函数的值域，解题关键是掌握函数的性质的研究方法，数形结合是解决图象交点问题的常用方法．本题易点是错认为函数是周期函数，这是没有注意到周期的性质是对才可得出而不是对得出的．
8．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时，， 时，，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
因为在上均为单调递增
所以，当时，为增函数，
所以，当时，为增函数，当时，为减函数，
因为，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，
所以，当时，不等式显然成立，
当时，不等式的解集为，
综上，的解集为
故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2020·江苏·南通一中高一阶段练习）已知，且，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】AD可举出反例；C选项可推导出或；B选项，根据单调可得到.
【详解】若，则无意义，A错误；
因为，且为单调函数，所以，B正确；
因为，则，所以或，C错误；
若，则无意义，D错误.
故选：ACD
10．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】由题意得关系后对选项逐一判断
【详解】由题意得，且，则，
故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：CD
11．（2022·全国·高一单元测试）已知正实数，满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】方法一，构造函数，结合其单调性即可判断.
方法二，分类讨论，根据，，讨论即可得到答案.
【详解】方法一（构造函数法） 由题意，，
设，显然在区间上单调递增，故由，得，故，，A错误，B正确；
由，得，故，C正确；，
故D不一定正确．
故选:BC．
方法二（分类讨论法） 由题意，．
当时，即时，，而，∴，故不成立．
当时，，，不成立．故．∴，，故A错误，B正确；
，则，，故C正确；，
故D不一定正确．
故选:BC．
12．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由题设条件利用基本不等式及不等式的性质逐个选项判断正误即可．
【详解】，，且，
，
当且仅当时取“=”，
选项A正确；
又
，选项B正确；
，当且仅当时取“=”，
选项C不正确；
又，
当且仅当时取“=”，
选项D正确．
故选：ABD．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海大学市北附属中学高一期中）函数的定义域为________.
【答案】
【分析】根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可.
【详解】解：因为，所以，解得，
即函数的定义域为；
故答案为：
14．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）已知，则__________．（用m，n表示）
【答案】
【分析】利用指数式和对数式的互换得到，，然后利用对数运算公式计算即可.
【详解】由题意得，，所以.
故答案为：.
15．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.
【答案】
【分析】由换元法求出的解析式，再解原不等式
【详解】由题意得为正常数，令，则，
且，解得，
原不等式为，可得，解得，
故答案为：
16．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
【答案】
【分析】由的取值范围求出的范围，依题意利用换底公式及参变分离可得对于任意恒成立，根据对勾函数的性质求出，即可得到，再根据对数函数的性质计算可得.
【详解】解：因为不等式对于任意恒成立，
即不等式对于任意恒成立，
因为，所以，
所以不等式对于任意恒成立，
令，，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
即，
所以，
所以或，
解得或，即；
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·上海市进才中学高一期中）（1）计算：；
（2）已知，且，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指数运算和根式运算法则进行计算；
（2）将指数式和对数式互化，结合换底公式和对数运算法则进行计算.
【详解】（1）
；
（2）因为，所以，
由换底公式可得：，
因为，
所以，
则，
因为，
所以.
18．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据对数不等式的解法求得集合，再根据交集的定义即可得解；
（2）分和两种情况讨论，从而可得出答案.
（1）
解：，
当时，,
;
（2）
解：，
当时，，解得；
当时，，解得,
综上实数的取值范围是或.
19．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）设函数，
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据对数中真数大于0即可求解定义域，
（2）根据的关系即可判断其奇偶性.
【详解】（1）函数，
，，
即函数的定义域，
（2）是奇函数，
证明：，定义域关于原点对称，
，
即的奇函数.
20．（2021·上海市行知中学高一期中）设，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
【答案】(1)2，；
(2)2.
【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式组可得定义域；
（2）根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果.
【详解】（1）∵，∴，∴.
由，解得，
∴函数的定义域为.
（2），
∴当时，是增函数；当时，是减函数，
函数在上的最大值是.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，从以下两个函数①，②中选择一个作为函数的解析式，并解答下列问题.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的单调性(说明理由).
【答案】(1)；
(2)若选择①，在上单调递增，理由见解析；若选择②，在上单调递增，在上单调递减，理由见解析.
【分析】（1）将代入选择的函数中，然后利用对数函数的定义域求其范围；
（2）化简函数的解析式，利用复合函数的单调性判断出函数的单调性
（1）
若选择①，
，
由，得，则函数的定义域为；
若选择②，
，
由，得，则函数的定义域为；
（2）
若选择①，
因为函数单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增；
若选择②，
因为函数单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减
22．（2020·天津·高一期末）已知函数
(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
(2)已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)①；②的值为或5
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；
②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.
（1）
解：根据题意，当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
（2）
解：①，即
所以，
所以，，解得
所以，
②
由①可得
所以，函数等价转化为，，
下面分三种情况讨论求解：
当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；
当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；
当，即时，，解得或（舍）
综上：的值为或5