高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题16函数的基本性质单元测试(B)(原卷版+解析)

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第一章，第二章，函数的概念及其表示方法,函数的基本性质.
高考真题：
1．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C． D．且
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（ ）
A．2B．2或C．3D．3或
4．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
7．（2022·全国·高一单元测试）设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．定义域、值域分别是，B．单调减区间是
C．定义域、值域分别是，D．单调减区间是
11．（2022·全国·高一专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是
D．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
12．（2022·全国·高一单元测试）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）
15．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．
16．（2022·全国·高一课时练习）已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
18．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
19．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）二次函数满足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函数为偶函数，求的值;
(4)求在上的最小值.
20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
21．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知函数 ，且.
(1)求m；
(2)判断的奇偶性；
(3)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(4)并求函数在上的值域.
22．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
第三章 专题16 函数的基本性质(B）
命题范围：
第一章，第二章，函数的概念及其表示方法,函数的基本性质.
高考真题：
1．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C． D．且
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.
【详解】对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，
且函数、均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，为偶函数，故错误；
对于D选项，且为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，判断与的关系即可求解.
【详解】由已知的定义域为R，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，
所以为偶函数，
又，，又，
所以，所以不为奇函数，
故选：B．
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（ ）
A．2B．2或C．3D．3或
【答案】B
【分析】注意讨论的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.
【详解】依题意，当时，，不符合题意；
当时，在区间上单调递增，所以，得；
当时，在区间上单调递减，所以，得．
综上，a的值为
故选: B.
4．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．
故实数t的取值范围为．
故选：A
6．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，
所以当或时，，当时，．
所以等价于或 ，
解得或，所以不等式的解集为，
故选：B．
7．（2022·全国·高一单元测试）设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数性质可推得即，可判断A，B；利用函数的奇偶性结合单调性可推得，判断C；由于由题意无法确定的正负，可判断D.
【详解】因为，所以.
由函数为偶函数，得，
故不等式可化为.
又函数在上单调递增，，，所以，即,
故A错误，B正确；
由于，函数为偶函数，且在上单调递增，
故，故C错误；
由题意无法确定的正负，即的正负情况不定，故D错误，
故选：B.
另解：由题意，设，，，且，
此时，故排除A；
，，此时，，故排除C，D，
故选：B.
8．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，
则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，
故函数在区间上为增函数，所以，即.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】ABC
【分析】根据题意，函数，均为定义在上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.
【详解】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，
对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；
对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C选项，设，则，
所以为偶函数，故C正确；
对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．定义域、值域分别是，B．单调减区间是
C．定义域、值域分别是，D．单调减区间是
【答案】BC
【分析】首先根据题意得到，从而得到函数的定义域为，结合二次函数的性质得到函数和单调减区间是，再依次判断选项即可.
【详解】要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为．
因为，，
时，，或时，，
所以．
因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，，
所以的单调减区间是．
故选：BC．
11．（2022·全国·高一专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是
D．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【分析】根据反比例函数的性质判断A，根据奇函数的性质判断B，利用基本不等式求出的最小值，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可判断C，根据各段函数单调递增及断点处函数值的大小关系得到不等式组，解得，即可判断D.
【详解】解：函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，故B不正确；
由，，，得，
当且仅当时取等号，依题意得，解得，故C正确；
因为是增函数，所以，解得，故D不正确.
故选：ABD.
12．（2022·全国·高一单元测试）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】AC
【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，故B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，故A正确；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
因为，故D错误；
故选：AC
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．
【答案】
【分析】由函数的奇偶性的性质，画出在上的图象，由图象即可求出的x的取值集合.
【详解】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．
故答案为：.
14．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）
【答案】＞
【分析】利用奇函数的性质与不等式的性质即可求得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，．
又，所以，即．
故答案为：＞.
15．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】因为奇函数在单调递减，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，则等价于，解得，
故答案为：
16．（2022·全国·高一课时练习）已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意转化为时，恒成立，及时，恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，，只需恒成立，
即恒成立，
因为时，的最大值为，所以；
当时，，只需恒成立，
即恒成立，
因为时，的最小值为2，所以．
故a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
【答案】证明见解析
【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.
【详解】证明：任取、，且，
则．
因为，所以，所以，即，
所以函数是上的增函数．
18．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用赋值法即得；
（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.
（1）
因为，
令，得，
即；
（2）
由题意知，
，
∴由，可得，
又在R上单调递增，
∴，即，
∴的取值范围是．
19．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）二次函数满足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函数为偶函数，求的值;
(4)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)在上的最小值为，最大值为
(3)
(4)时，；时，；时，
【分析】（1）待定系数法求解解析式；
（2）配方后得到函数单调性，进而求出最值；
（3）根据函数奇偶性求出，从而求出的值；
（4）结合对称轴，对分类讨论，求出不同情况下函数的最小值.
（1）
设，
则，
又因为，
所以，
解得：，
又
所以的解析式为.
（2）
，
所以当时，单调递减，在上单调递增，
又，，，
因为
故在上的最小值为，最大值为.
（3）
因为，
所以，
因为为偶函数，
所以，
即，解得：，
.
（4）
，
当，即时，在上单调递减，
所以；
当且,即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递增，
所以；
综上：时，；
时，；
时，.
20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数是奇函数即可求出当x＞0时，函数的解析式；
（2）由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案.
（1）
由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）
由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
21．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知函数 ，且.
(1)求m；
(2)判断的奇偶性；
(3)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(4)并求函数在上的值域.
【答案】(1)；
(2)函数为奇函数，证明见解析；
(3)函数在上单调递增，证明见解析；
(4).
【分析】（1）代入，即可求解的值；
（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，结合，可证明函数为奇函数；
（3）利用定义法判断函数的单调性即可；
（4）根据函数的单调性求解函数的值域即可.
（1）
解：∵，且
∴，解得.
（2）
解：函数为奇函数，
证明：由（1）得，定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数.
（3）
解：函数在上单调递增，
证明：设，
则，
∵ ，
∴，，
故，即，
所以函数在上单调递增.
（4）
解：由（3）得函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，
又，
所以函数在上的值域为.
22．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.
（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.
（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.
（1）
令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．
（2）
设，则，所以．
因为，，，所以，即，所以．
又，所以，所以，
所以，即．所以在上是减函数．
（3）
由（2）知函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为，
所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，是关于a的一次函数，，
要使对任意恒成立，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围是．