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高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题26《指数与指数函数》单元测试(B)(原卷版+解析)
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这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题26《指数与指数函数》单元测试(B)(原卷版+解析)，共21页。
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·广东·高三学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
2．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数若，则实数（ ）
A．B．2C．4D．6
7．（2022·浙江宁波·高一期中）函数，若，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（理））任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏·海门市第一中学高一期中）已知函数，若，则实数的值（ ）
A．B．3C．2D．
10．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．且B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是
12．（2020·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在R上是增函数D．的值域是
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）________．
14．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.
16．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·山东·青岛二中高一期中）计算下列各式：
(1)；
(2).
18．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围.
19．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
20．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数（且）的图像过点．
(1)设函数，求的定义域；
(2)已知二次函数的图像经过点，，求函数的单调递增区间．
21．（2021·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的值；
(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．
第四章 专题26 《指数与指数函数》(B）
命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
3．（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·广东·高三学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．
【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．
故选：D．
2．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象特点，结合指数型函数图象的特点进行判断即可.
【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根，
由可得两根为a，b，
观察的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间与上，
又∵，∴，，
由可知，
当时，为增函数，
又由得的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．
3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式和指数不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】由得：，即；
由得：，即；
.
故选：C.
4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对函数解析化简后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可.
【详解】，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以的值域为，
故选：C
5．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数与的单调性相反；
又因为单调递减，
所以需在上单调递增.
函数的对称轴为，所以只需要，
故选:A.
6．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数若，则实数（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】由题知，再根据时，得，再解方程即可得答案.
【详解】解：由题知，
所以，
因为时，，所以，，
所以，解得.
故选：B
7．（2022·浙江宁波·高一期中）函数，若，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】当时，是减函数，且，
当时，也是减函数，且，
综上在上是减函数，
若，则，即，
则实数a的取值范围是，
故选：A．
8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（理））任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围；
【详解】解：由，
有，
解得，，
则，可化为，
有，
有恒成立，
可得恒成立，
又由，当且仅当，即时取等号，
又函数在上单调递减，所以，
所以，即.
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏·海门市第一中学高一期中）已知函数，若，则实数的值（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】ABC
【分析】根据分段函数的解析式分别进行求解即可.
【详解】若，由得，得，符合题意；
若，由得，得或（不符合，舍去），故符合题意；
若，由得，得，，符合题意.
故实数的值为或2或3.
故选：ABC.
10．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】构造函数，利用函数的单调性可得出、的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.
【详解】由，得，令，则．
因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，
所以，故A正确；
因为在和上都单调递减，
所以当时，，故B错误；
当，时，，无意义，故C错误；
因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确．
故选：AD．
11．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．且B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于A，利用的值域及单调性即可判断得且，故A正确；
对于B，利用基本不等式可得，再进行化简即可得到，故B错误；
对于C，利用基本不等式中“1”的妙用可得，故C正确；
对于D，由结合基本不等式可判断得D正确.
【详解】对于A，因为，，所以，即，
由于在上单调递增，所以，同理可得，故A正确；
对于B，因为，，所以，即，即，即，
由于在上单调递增，所以，即，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最大值是，故B错误；
对于C，因为，，
当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当且，即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
12．（2020·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在R上是增函数D．的值域是
【答案】ACD
【分析】根据奇函数、偶函数的定义、函数单调性的性质，结合题中定义逐一判断即可.
【详解】A选项：，
，∴，
∴为奇函数，故A正确；
B选项：∵∴，，
∵为奇函数，∴，∴，∴，故B错误；
C选项：，
∵，∴为增函数，∴为减函数，
∴为增函数，故C正确；
D选项：∵，∴，∴，∴．
又∵，∴的值域为，故D正确．
故选：ACD．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）________．
【答案】
【分析】直接利用指数的运算法则求解即可．
【详解】因为
故答案为:．
14．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据值域列出关系式，求解指数不等式即可求得答案.
【详解】因为函数的值域为，所以，所以，
即，故，所以，则函数的定义域为．
实际上，只要即可满足条件，即可以为并上任意一个的子集均可.
故答案为：（答案不唯一）
15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【分析】由得，画出的图象，结合图象求得不等式的解集.
【详解】因为函数，所以不等式即为，
在坐标系中作出的图象，如下图所示，
都经过，
即的图象在图象的下方，
由图象知：不等式的解集是.
故答案为：
16．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题中条件判断函数的单调性，结合分段函数的性质列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】若函数对于上任意两个不相等实数，
不等式恒成立，
则函数在上单调递增，则，
解得：，故实数a的取值范围为,
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·山东·青岛二中高一期中）计算下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂进行计算；
（2）利用已知条件进行化简.
（1）
原式
（2）
因为，故原式
18．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性即可求解不等式；
（2）由可得，分两种情况，分，别列出关于的不等式，解之即可
（1）
由可得，
因为函数在上递增，所以解得，
所以；
（2）
因为，所以，
若，解得，此时；
若，需满足，解得，此时，
综上，a的取值范围是
19．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质得到，即可求得的值，再检验即可；
（2）设，则，由函数的单调性求得函数的最小值，即可求出参数的取值范围．
（1）
解：∵的定义域为且是奇函数，
∴，即，解得，
此时，则，符合题意．
（2）
解：∵在上恒成立，
∴．
令，因为，所以，
所以，，
因为 在单调递增，
所以 ，
即 ，
故，解得，
所以的取值范围是．
20．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数（且）的图像过点．
(1)设函数，求的定义域；
(2)已知二次函数的图像经过点，，求函数的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出解析式，再列出不等式即可求得定义域.
（2）由待定系数法求得解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果.
（1）
由题意知，解得，所以，，
令，解得．所以的定义域为．
（2）
设，
则，
，由，
得，解得，则，
又，所以，
所以在上单调递减，
又在上是减函数，所以函数的单调递增区间为．
21．（2021·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，令，，可整理得到，由此可得结论；
（2）将恒成立的不等式化为，令可求得，利用单调性可得，令，由二次函数最值求法可求得的取值范围.
（1）
设，
令，，，
则；
，，，
在上为增函数.
（2）
由题意得：，
，
令，则，解得：，
为上的增函数，，，
令，设，，，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数单调性的证明、函数不等式恒成立问题；求解恒成立问题的关键是能够利用函数单调性将恒成立的不等式转化为自变量大小关系，进而可采用分离变量的方法求得变量的取值范围.
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的值；
(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入函数，即可求出的值，则可求出答案；
（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方可等价于当时，不等式恒成立，利用参变分离可得当时，，易知函数在上单调递减，由此即可求出答案.
（1）
∵函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，，
∴∴，∴（舍）或，，
∴；
（2）
由（1）得当时，函数的图象恒在函数图象的上方，
即当时，不等式恒成立，
亦即当时，．
设，
∵在上单调递减，在上单调递减，
∴在上单调递减，
∴，
∴．
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·广东·高三学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
2．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数若，则实数（ ）
A．B．2C．4D．6
7．（2022·浙江宁波·高一期中）函数，若，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（理））任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏·海门市第一中学高一期中）已知函数，若，则实数的值（ ）
A．B．3C．2D．
10．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．且B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是
12．（2020·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在R上是增函数D．的值域是
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）________．
14．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.
16．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·山东·青岛二中高一期中）计算下列各式：
(1)；
(2).
18．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围.
19．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
20．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数（且）的图像过点．
(1)设函数，求的定义域；
(2)已知二次函数的图像经过点，，求函数的单调递增区间．
21．（2021·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的值；
(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．
第四章 专题26 《指数与指数函数》(B）
命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
3．（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·广东·高三学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．
【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．
故选：D．
2．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象特点，结合指数型函数图象的特点进行判断即可.
【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根，
由可得两根为a，b，
观察的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间与上，
又∵，∴，，
由可知，
当时，为增函数，
又由得的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．
3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式和指数不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】由得：，即；
由得：，即；
.
故选：C.
4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对函数解析化简后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可.
【详解】，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以的值域为，
故选：C
5．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数与的单调性相反；
又因为单调递减，
所以需在上单调递增.
函数的对称轴为，所以只需要，
故选:A.
6．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数若，则实数（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】由题知，再根据时，得，再解方程即可得答案.
【详解】解：由题知，
所以，
因为时，，所以，，
所以，解得.
故选：B
7．（2022·浙江宁波·高一期中）函数，若，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】当时，是减函数，且，
当时，也是减函数，且，
综上在上是减函数，
若，则，即，
则实数a的取值范围是，
故选：A．
8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（理））任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围；
【详解】解：由，
有，
解得，，
则，可化为，
有，
有恒成立，
可得恒成立，
又由，当且仅当，即时取等号，
又函数在上单调递减，所以，
所以，即.
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏·海门市第一中学高一期中）已知函数，若，则实数的值（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】ABC
【分析】根据分段函数的解析式分别进行求解即可.
【详解】若，由得，得，符合题意；
若，由得，得或（不符合，舍去），故符合题意；
若，由得，得，，符合题意.
故实数的值为或2或3.
故选：ABC.
10．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】构造函数，利用函数的单调性可得出、的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.
【详解】由，得，令，则．
因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，
所以，故A正确；
因为在和上都单调递减，
所以当时，，故B错误；
当，时，，无意义，故C错误；
因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确．
故选：AD．
11．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．且B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于A，利用的值域及单调性即可判断得且，故A正确；
对于B，利用基本不等式可得，再进行化简即可得到，故B错误；
对于C，利用基本不等式中“1”的妙用可得，故C正确；
对于D，由结合基本不等式可判断得D正确.
【详解】对于A，因为，，所以，即，
由于在上单调递增，所以，同理可得，故A正确；
对于B，因为，，所以，即，即，即，
由于在上单调递增，所以，即，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最大值是，故B错误；
对于C，因为，，
当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当且，即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
12．（2020·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在R上是增函数D．的值域是
【答案】ACD
【分析】根据奇函数、偶函数的定义、函数单调性的性质，结合题中定义逐一判断即可.
【详解】A选项：，
，∴，
∴为奇函数，故A正确；
B选项：∵∴，，
∵为奇函数，∴，∴，∴，故B错误；
C选项：，
∵，∴为增函数，∴为减函数，
∴为增函数，故C正确；
D选项：∵，∴，∴，∴．
又∵，∴的值域为，故D正确．
故选：ACD．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）________．
【答案】
【分析】直接利用指数的运算法则求解即可．
【详解】因为
故答案为:．
14．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据值域列出关系式，求解指数不等式即可求得答案.
【详解】因为函数的值域为，所以，所以，
即，故，所以，则函数的定义域为．
实际上，只要即可满足条件，即可以为并上任意一个的子集均可.
故答案为：（答案不唯一）
15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【分析】由得，画出的图象，结合图象求得不等式的解集.
【详解】因为函数，所以不等式即为，
在坐标系中作出的图象，如下图所示，
都经过，
即的图象在图象的下方，
由图象知：不等式的解集是.
故答案为：
16．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题中条件判断函数的单调性，结合分段函数的性质列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】若函数对于上任意两个不相等实数，
不等式恒成立，
则函数在上单调递增，则，
解得：，故实数a的取值范围为,
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·山东·青岛二中高一期中）计算下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂进行计算；
（2）利用已知条件进行化简.
（1）
原式
（2）
因为，故原式
18．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性即可求解不等式；
（2）由可得，分两种情况，分，别列出关于的不等式，解之即可
（1）
由可得，
因为函数在上递增，所以解得，
所以；
（2）
因为，所以，
若，解得，此时；
若，需满足，解得，此时，
综上，a的取值范围是
19．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质得到，即可求得的值，再检验即可；
（2）设，则，由函数的单调性求得函数的最小值，即可求出参数的取值范围．
（1）
解：∵的定义域为且是奇函数，
∴，即，解得，
此时，则，符合题意．
（2）
解：∵在上恒成立，
∴．
令，因为，所以，
所以，，
因为 在单调递增，
所以 ，
即 ，
故，解得，
所以的取值范围是．
20．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数（且）的图像过点．
(1)设函数，求的定义域；
(2)已知二次函数的图像经过点，，求函数的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出解析式，再列出不等式即可求得定义域.
（2）由待定系数法求得解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果.
（1）
由题意知，解得，所以，，
令，解得．所以的定义域为．
（2）
设，
则，
，由，
得，解得，则，
又，所以，
所以在上单调递减，
又在上是减函数，所以函数的单调递增区间为．
21．（2021·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，令，，可整理得到，由此可得结论；
（2）将恒成立的不等式化为，令可求得，利用单调性可得，令，由二次函数最值求法可求得的取值范围.
（1）
设，
令，，，
则；
，，，
在上为增函数.
（2）
由题意得：，
，
令，则，解得：，
为上的增函数，，，
令，设，，，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数单调性的证明、函数不等式恒成立问题；求解恒成立问题的关键是能够利用函数单调性将恒成立的不等式转化为自变量大小关系，进而可采用分离变量的方法求得变量的取值范围.
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的值；
(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入函数，即可求出的值，则可求出答案；
（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方可等价于当时，不等式恒成立，利用参变分离可得当时，，易知函数在上单调递减，由此即可求出答案.
（1）
∵函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，，
∴∴，∴（舍）或，，
∴；
（2）
由（1）得当时，函数的图象恒在函数图象的上方，
即当时，不等式恒成立，
亦即当时，．
设，
∵在上单调递减，在上单调递减，
∴在上单调递减，
∴，
∴．
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