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高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第31练空间点、线、面之间的位置关系(原卷版+解析)
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这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第31练空间点、线、面之间的位置关系(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（1）变式）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面
2.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（2）变式）已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（ ）
A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直
3. （人A选择性必修二P131习题8.4T7变式）由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________.
4. （人A选择性必修二P131习题8.4T9变式）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为______（填平行、相交、异面）.
二、考点分类练
(一)基本事实及推理的应用
5. 下列说法错误的是（ ）
A．三个点确定一个平面B．两条平行直线确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内
6. （多选）下列推断中，正确的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
7. 互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；
8. 两两互相平行的三条直线可以确定_____________个平面
(二)直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
9．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线B．直线
C．直线D．直线．
10. 如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．不确定
11. （多选）（2021届重庆市康德卷高三下学期模拟）已知空间中的两个不同平面、和两条不同直线、，若，，，则（ ）
A．直线、可能平行B．直线、可能异面
C．直线、可能垂直D．直线、可能相交
12．如图，在正方体中，分别是棱的中点.给出以下四个结论：
①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).
(三)共点、共线及共面问题
13. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，四点共面
B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
14. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．，，三条直线不可能交于一点，平面平面
B．，，三条直线一定交于一点，平面平面
C．直线与直线异面，平面平面
D．直线与直线相交，平面平面
15.棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为________．
16. （2022届河北省武安市第一中学高三上学期调研）如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
三、最新模拟练
17. （2022届山东省部分学校联考）在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
18. （2022届北京市十一学校高三5月月考）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的个数为（ ）．
①CN与QM共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为；
④时，．
A．1B．2C．3D．4
19. （多选）（2022届河北省邯郸市高三一模）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（ ）
A．平面EGHFB．平面ABC
C．平面EGHFD．直线GE，HF，AC交于一点
20. （多选）（2022届江苏省南京市江宁高级中学高三下学期适应性考试）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．CN与QM共面
B．三棱锥的体积跟的取值有关
C．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．时，
21. （2022届江西省宜春市丰城中学高三5月模拟）棱长为的正方体的展开图如图所示．已知H为线段BF的中点，动点P在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有_________
①．BM与AN是异面直线 ②．AF与BM所成角为60°
③．平面CDEF⊥平面ABMN ④．若AM⊥HP，则点P的运动轨迹长度为6
22．（2022届广东省高三一模）如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：__________.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）
23. （2023届“三省三校”高三第一次联考）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角的平面角的余弦值．
24. （2022届陕西省西北工业大学附属中学高三下学期适应性训练）如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．
(1)求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；
(2)若，求点B到平面EFGH的距离．
四、高考真题练
25. (2019高考全国卷丙) 如图，点为正方形的中心，
为正三角形，平面平面，是线段的中点，则( )
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
五、综合提升练
26. 已知正方体的棱长为1，是的中点，是棱上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得直线与直线相交
C．当是棱的中点时，直线与直线所成的角为
D．平面截正方体所得的截面是五边形
27. （2022届广西柳州市高三第二次模拟考试）如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与直线可能异面
B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形可能是钝角三角形
D．四棱锥的体积保持不变
28. 如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别是和上的动点，且与相交于点．下列判断中：
①直线经过点；
②；
③、、、四点共面，且该平面把四面体的体积分为相等的两部分．
所有正确的序号为__________．
29. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
30. （2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M为PC的中点，．
(1)证明：A，B，M，N四点共面；
(2)求二面角M－AB－C的余弦值．
第31练 空间点、线、面之间的位置
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（1）变式）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面
【答案】D
A. 由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；
B. 一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；
C. 两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；
D. 梯形可确定一个平面，所以该选项正确.故选D
2.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（2）变式）已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（ ）
A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直
【答案】D
【解析】如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和垂直；
如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和平行；
综上，m，n在平面内的射影可能平行，也可能垂直.故选D.
3. （人A选择性必修二P131习题8.4T7变式）由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________.
【答案】4
【解析】若直线外的3个点不共线，因为直线外三个点和已知直线可确定最多三个不同平面，而直线外的这三个点可确定一个平面，故此时由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为4，若直线外的3个点共线，则此时由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为3.
4. （人A选择性必修二P131习题8.4T9变式）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为______（填平行、相交、异面）.
【答案】异面
【解析】如图，是展开图还原后的正方体，由于平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线．
二、考点分类练
(一)基本事实及推理的应用
5. 下列说法错误的是（ ）
A．三个点确定一个平面B．两条平行直线确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内
【答案】A
【解析】A.只有不共线的三个点可以确定一个平面，故错误；
B．两条平行直线可确定一个平面，故正确；
C. 两条相交直线可确定一个平面，故正确；
D. 一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内，正确；故选A
6. （多选）下列推断中，正确的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
【答案】ABD
【解析】直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以C错，
根据点、线、面的关系可知其余都对，故选ABD.
7. 互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；
【答案】6
【解析】当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如图正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个面.
8. 两两互相平行的三条直线可以确定_____________个平面
【答案】1或3
【解析】当三条直线共面时，能确定1个平面；当三条直线不共面时，能确定3个平面
(二)直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
9．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线B．直线
C．直线D．直线．
【答案】A
【解析】如图，易知，所以，且，
所以为梯形，故与EF相交，A正确；
因为，所以，故B错误；
因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，
所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；
因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选A
10. 如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．不确定
【答案】C
【解析】取的中点，连接，则，
又，∴，则确定平面，又平面，平面，，平面，∴直线FQ与PB是异面直线.故选C.
11. （多选）（2021届重庆市康德卷高三下学期模拟）已知空间中的两个不同平面、和两条不同直线、，若，，，则（ ）
A．直线、可能平行B．直线、可能异面
C．直线、可能垂直D．直线、可能相交
【答案】ABC
【详解】由于，，，则、无交点，故直线、可能平行、异面或垂直.
故选ABC.
12．如图，在正方体中，分别是棱的中点.给出以下四个结论：
①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).
【答案】③④
【解析】平面，平面，且，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故①错；类似的根据定义可说明直线与直线异面，直线与直线异面，直线与直线异面，故②错，③，④正确.
(三)共点、共线及共面问题
13. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，四点共面
B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
【答案】BCD
【解析】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误；对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角，设，则，所以，
所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，连接，，易得，
所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确；
对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB，
所以平面MNB，所以，故D正确. 故选BCD
14. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．，，三条直线不可能交于一点，平面平面
B．，，三条直线一定交于一点，平面平面
C．直线与直线异面，平面平面
D．直线与直线相交，平面平面
【答案】BC
【解析】在正方体中，平面，则.又，，所以平面，又平面，所以平面平面.因为，分别为，的中点，所以，，，，，，所以多面体为三棱台，所以，，三条直线一定交于一点，故A错误，B正确；由题意知与相交，所以与异面，因为平面，平面，所以平面平面，又平面与平面不平行，所以平面与平面不垂直，故C正确，D错误.故选BC.
15.棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为________．
【答案】
【解析】
如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接，
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
而，，故，，
故四边形为平行四边形，故
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
故四边形为平行四边形，故
故，故四边形为平行四边形，
故四点共面，故过，，三点的平面截正方体的截面为平行四边形.
又，故截面的周长为.
16. （2022届河北省武安市第一中学高三上学期调研）如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，
∴，而，
∴，即B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，G分别是AB，的中点，
∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，
∴面
三、最新模拟练
17. （2022届山东省部分学校联考）在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面.故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件.故选A.
18. （2022届北京市十一学校高三5月月考）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的个数为（ ）．
①CN与QM共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为；
④时，．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】在中，因为M，N为AC，AQ的中点，
所以，所以CN与QM共面，所以①正确；
由，
因为N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确；
当时，取,连接,则,又所以
所以共面,即过A，Q，M三点的正方体的截面为ACHQ，
由,则ACHQ是等腰梯形,且
所以平面截正方体所得截面的周长为，所以③正确；
当时，,可得，，
取的中点分别为，连接,则
在直角三角形中,
则，所以不成立，所以④不正确．
所以正确的命题个数是3个，
故选：C．
19. （多选）（2022届河北省邯郸市高三一模）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（ ）
A．平面EGHFB．平面ABC
C．平面EGHFD．直线GE，HF，AC交于一点
【答案】AD
【解析】因为，所以.
又E，F分别为AB，AD的中点，所以，且，则.
易知平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误.
因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，
所以平面ABC，平面ACD，
则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，
所以，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确.故选AD
20. （多选）（2022届江苏省南京市江宁高级中学高三下学期适应性考试）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．CN与QM共面
B．三棱锥的体积跟的取值有关
C．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．时，
【答案】AC
【解析】连接 ,在中，,所以CN与QM共面，故A对.
, 三棱锥的体积跟的取值无关，故B错.
当时，过A，Q，M三点的正方体的截面是等腰梯形， 所以截面的周长为 ,故C对.
当时，是中点，所以不垂直，故D错误.故选AC
21. （2022届江西省宜春市丰城中学高三5月模拟）棱长为的正方体的展开图如图所示．已知H为线段BF的中点，动点P在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有_________
①．BM与AN是异面直线 ②．AF与BM所成角为60°
③．平面CDEF⊥平面ABMN ④．若AM⊥HP，则点P的运动轨迹长度为6
【答案】②③④
【解析】由展开图还原正方体如下图所示，
对于①：
，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，①错误；
对于②：
，与所成角即为，
，为等边三角形，
，即与所成角为，②正确；
对于③：
平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，③正确；
对于④：
由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，④正确.
故答案为：②③④.
22．（2022届广东省高三一模）如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：__________.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）
【答案】和（和，和，和）（写出其中一对即可）
【解析】如图所示，连接和,相交于点,连接.
因为,
所以, 所以,
又,所以,
所以, , 所以.
因为, 所以.
又因为平面,
所以平面, 又平面,
所以.
故答案为和.
23. （2023届“三省三校”高三第一次联考）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角的平面角的余弦值．
【解析】 (1)证明：∵四边形和分别是矩形和菱形，
∴，，
∴，
∴，，，四点共面．
(2)解：在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，．
∴，，，．
设平面的一个法向量为，则，即．
令，则．∴．
设平面的一个法向量为．则，令，可得．
∴，显然二面角为锐角．
∴二面角的平面角的余弦值为．
24. （2022届陕西省西北工业大学附属中学高三下学期适应性训练）如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．
(1)求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；
(2)若，求点B到平面EFGH的距离．
【解析】 (1)因为，，所以，又，所以，故E，F，G，H四点共面，且直线EH，FG必相交于一点，设，因为，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．
(2)连结EG，BG，点B到平面EFGH的距离为d，正四面体的棱长为2易知该正四面体的高为，所以E到平面BFG的距离为，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距离为，而G到BF的距离也为，则．
由可得：，故点B到平面EFGH的距离为．
四、高考真题练
25. (2019高考全国卷丙) 如图，点为正方形的中心，
为正三角形，平面平面，是线段的中点，则( )
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】取中点，如图连接辅助线，在中，为中点，为中点，所以，所以，共面相交，选项C，D错误．平面平面，，平面，又,∴平面，从而，．所以与均为直角三角形．不妨设正方形边长，易知，所以，,，故选B．
五、综合提升练
26. 已知正方体的棱长为1，是的中点，是棱上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得直线与直线相交
C．当是棱的中点时，直线与直线所成的角为
D．平面截正方体所得的截面是五边形
【答案】B
【解析】对于选项A：如图，因为，所以A正确；
对于选项B：若存在点，使得直线与直线相交，则，，，四点共面，又平面平面，平面，平面，所以，又，所以，矛盾. 所以B错误；
对于选项C：取的中点，连接，则，则或其补角 是异面直线与所成的角，连接，易知，连接，，，由余弦定理得，所以直线与直线所成的角为，所以C正确；
对于选项D：过点作的平行线，交线段于点，交直线于点，连接，交于点，连接，，则五边形就是平面截正方体表面所得的截面，所以D正确．故选B．
27. （2022届广西柳州市高三第二次模拟考试）如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与直线可能异面
B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形可能是钝角三角形
D．四棱锥的体积保持不变
【答案】D
【解析】如图所示，连接有关线段.
设M,N为AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心，
MN的中点为O,则AC1的中点也是O,
又∵DE=B1F,由对称性可得O也是EF的中点，
所以AC1与EF交于点O,故不是异面直线，故A错误；
由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面，
因为平面，∴故B错误；
设,则,设,
易得
因为
为锐角；
因为
为锐角，
因为
当时取得最小值为
为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误；
三棱锥A-EFC也可以看做F-AOC和E-AOC的组合体，
由于△AOB是固定的，E,F到平面AOC的距离是不变的
(∵易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1)，故体积不变，
故D正确.故选D.
28. 如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别是和上的动点，且与相交于点．下列判断中：
①直线经过点；
②；
③、、、四点共面，且该平面把四面体的体积分为相等的两部分．
所有正确的序号为__________．
【答案】①③
【解析】①项，因为，所以，且平面，
平面
同理可得， 平面；
又因为平面平面，所以，
所以，，三条直线相交于同一点.故①正确.
②项，为定值，为上的动点，又因为与为异面直线，
所以到的距离是变化的，所以是变化的，故②不正确.
③ 项，当K与D重合时，H与D重合，G与C重合，如图（1）所示
此时平面EGFH即为平面ECD，
因为E为AB 中点，所以平面ECD把四面体分成体积相等的两部分.
图（1）
当K远离D时，平面EGFH使两部分体积发生了变化，
一部分在三棱锥A-ECD的基础上，
多出了一个三棱锥E-GCF的体积，如图2所示，
少了一个三棱锥E-FDH的体积，如图3所示，
过点D做，分别交EK，GK于点M，N，
连接MN，如图4所示
，
， ，
，
，
所以无论、、、如何变化，平面把四面体的体积分为相等的两部分，③正确.
故答案为①③
29. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，，
，分别为，的中点，，，
又四边形是平行四边形，，，
为的中点，，.
，，则四边形为平行四边形，
.
平面，平面，
平面；
（2）存在点符合题目条件，且此时.
取的中点，连接交于，在上取点，使，
连接，，则，，，四点共面.
证明如下：在平行四边形中，，分别为，的中点，
，又是的中点，
是的重心，且.
又，，
，，
与确定一个平面，而直线，
，则，，，四点共面.
故在线段上存在一点，使得，，，四点共面.
30. （2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M为PC的中点，．
(1)证明：A，B，M，N四点共面；
(2)求二面角M－AB－C的余弦值．
【解析】 (1)证明：延长CD，BA交于点Q．
因为且，
所以BA＝AQ，CD＝DQ，
连接PQ，在△PQC中，D，M分别为CQ，PC的中点，
故QM与PD的交点为△PQC的重心，设为G，所以，
因为，所以点G与点N重合，
所以A，B，M，N四点都在平面QBM中，
故A，B，M，N四点共面．
(2)解：取CD中点为O，
因为PD＝PC，所以，
又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，PO平面PCD，
所以PO⊥平面ABCD，
又，，
所以．
以O为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，），C（－，，0），M（－，，），A（，－，0），
B（，，0），（0，1，0），（，，－）．
设平面MAB法向量为，
则，即，
取，则
平面ABCD的一个法向量为，
，
因为二面角M－AB－C为锐角，
所以二面角M－AB－C的余弦值为.
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（1）变式）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面
2.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（2）变式）已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（ ）
A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直
3. （人A选择性必修二P131习题8.4T7变式）由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________.
4. （人A选择性必修二P131习题8.4T9变式）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为______（填平行、相交、异面）.
二、考点分类练
(一)基本事实及推理的应用
5. 下列说法错误的是（ ）
A．三个点确定一个平面B．两条平行直线确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内
6. （多选）下列推断中，正确的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
7. 互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；
8. 两两互相平行的三条直线可以确定_____________个平面
(二)直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
9．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线B．直线
C．直线D．直线．
10. 如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．不确定
11. （多选）（2021届重庆市康德卷高三下学期模拟）已知空间中的两个不同平面、和两条不同直线、，若，，，则（ ）
A．直线、可能平行B．直线、可能异面
C．直线、可能垂直D．直线、可能相交
12．如图，在正方体中，分别是棱的中点.给出以下四个结论：
①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).
(三)共点、共线及共面问题
13. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，四点共面
B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
14. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．，，三条直线不可能交于一点，平面平面
B．，，三条直线一定交于一点，平面平面
C．直线与直线异面，平面平面
D．直线与直线相交，平面平面
15.棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为________．
16. （2022届河北省武安市第一中学高三上学期调研）如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
三、最新模拟练
17. （2022届山东省部分学校联考）在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
18. （2022届北京市十一学校高三5月月考）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的个数为（ ）．
①CN与QM共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为；
④时，．
A．1B．2C．3D．4
19. （多选）（2022届河北省邯郸市高三一模）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（ ）
A．平面EGHFB．平面ABC
C．平面EGHFD．直线GE，HF，AC交于一点
20. （多选）（2022届江苏省南京市江宁高级中学高三下学期适应性考试）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．CN与QM共面
B．三棱锥的体积跟的取值有关
C．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．时，
21. （2022届江西省宜春市丰城中学高三5月模拟）棱长为的正方体的展开图如图所示．已知H为线段BF的中点，动点P在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有_________
①．BM与AN是异面直线 ②．AF与BM所成角为60°
③．平面CDEF⊥平面ABMN ④．若AM⊥HP，则点P的运动轨迹长度为6
22．（2022届广东省高三一模）如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：__________.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）
23. （2023届“三省三校”高三第一次联考）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角的平面角的余弦值．
24. （2022届陕西省西北工业大学附属中学高三下学期适应性训练）如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．
(1)求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；
(2)若，求点B到平面EFGH的距离．
四、高考真题练
25. (2019高考全国卷丙) 如图，点为正方形的中心，
为正三角形，平面平面，是线段的中点，则( )
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
五、综合提升练
26. 已知正方体的棱长为1，是的中点，是棱上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得直线与直线相交
C．当是棱的中点时，直线与直线所成的角为
D．平面截正方体所得的截面是五边形
27. （2022届广西柳州市高三第二次模拟考试）如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与直线可能异面
B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形可能是钝角三角形
D．四棱锥的体积保持不变
28. 如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别是和上的动点，且与相交于点．下列判断中：
①直线经过点；
②；
③、、、四点共面，且该平面把四面体的体积分为相等的两部分．
所有正确的序号为__________．
29. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
30. （2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M为PC的中点，．
(1)证明：A，B，M，N四点共面；
(2)求二面角M－AB－C的余弦值．
第31练 空间点、线、面之间的位置
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（1）变式）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面
【答案】D
A. 由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；
B. 一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；
C. 两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；
D. 梯形可确定一个平面，所以该选项正确.故选D
2.（人A选择性必修二P131习题8.4T2（2）变式）已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（ ）
A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直
【答案】D
【解析】如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和垂直；
如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和平行；
综上，m，n在平面内的射影可能平行，也可能垂直.故选D.
3. （人A选择性必修二P131习题8.4T7变式）由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________.
【答案】4
【解析】若直线外的3个点不共线，因为直线外三个点和已知直线可确定最多三个不同平面，而直线外的这三个点可确定一个平面，故此时由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为4，若直线外的3个点共线，则此时由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为3.
4. （人A选择性必修二P131习题8.4T9变式）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为______（填平行、相交、异面）.
【答案】异面
【解析】如图，是展开图还原后的正方体，由于平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线．
二、考点分类练
(一)基本事实及推理的应用
5. 下列说法错误的是（ ）
A．三个点确定一个平面B．两条平行直线确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内
【答案】A
【解析】A.只有不共线的三个点可以确定一个平面，故错误；
B．两条平行直线可确定一个平面，故正确；
C. 两条相交直线可确定一个平面，故正确；
D. 一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内，正确；故选A
6. （多选）下列推断中，正确的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
【答案】ABD
【解析】直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以C错，
根据点、线、面的关系可知其余都对，故选ABD.
7. 互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；
【答案】6
【解析】当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如图正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个面.
8. 两两互相平行的三条直线可以确定_____________个平面
【答案】1或3
【解析】当三条直线共面时，能确定1个平面；当三条直线不共面时，能确定3个平面
(二)直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
9．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线B．直线
C．直线D．直线．
【答案】A
【解析】如图，易知，所以，且，
所以为梯形，故与EF相交，A正确；
因为，所以，故B错误；
因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，
所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；
因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选A
10. 如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．不确定
【答案】C
【解析】取的中点，连接，则，
又，∴，则确定平面，又平面，平面，，平面，∴直线FQ与PB是异面直线.故选C.
11. （多选）（2021届重庆市康德卷高三下学期模拟）已知空间中的两个不同平面、和两条不同直线、，若，，，则（ ）
A．直线、可能平行B．直线、可能异面
C．直线、可能垂直D．直线、可能相交
【答案】ABC
【详解】由于，，，则、无交点，故直线、可能平行、异面或垂直.
故选ABC.
12．如图，在正方体中，分别是棱的中点.给出以下四个结论：
①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).
【答案】③④
【解析】平面，平面，且，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故①错；类似的根据定义可说明直线与直线异面，直线与直线异面，直线与直线异面，故②错，③，④正确.
(三)共点、共线及共面问题
13. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，四点共面
B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
【答案】BCD
【解析】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误；对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角，设，则，所以，
所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，连接，，易得，
所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确；
对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB，
所以平面MNB，所以，故D正确. 故选BCD
14. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．，，三条直线不可能交于一点，平面平面
B．，，三条直线一定交于一点，平面平面
C．直线与直线异面，平面平面
D．直线与直线相交，平面平面
【答案】BC
【解析】在正方体中，平面，则.又，，所以平面，又平面，所以平面平面.因为，分别为，的中点，所以，，，，，，所以多面体为三棱台，所以，，三条直线一定交于一点，故A错误，B正确；由题意知与相交，所以与异面，因为平面，平面，所以平面平面，又平面与平面不平行，所以平面与平面不垂直，故C正确，D错误.故选BC.
15.棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为________．
【答案】
【解析】
如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接，
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
而，，故，，
故四边形为平行四边形，故
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
故四边形为平行四边形，故
故，故四边形为平行四边形，
故四点共面，故过，，三点的平面截正方体的截面为平行四边形.
又，故截面的周长为.
16. （2022届河北省武安市第一中学高三上学期调研）如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，
∴，而，
∴，即B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，G分别是AB，的中点，
∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，
∴面
三、最新模拟练
17. （2022届山东省部分学校联考）在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面.故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件.故选A.
18. （2022届北京市十一学校高三5月月考）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的个数为（ ）．
①CN与QM共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为；
④时，．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】在中，因为M，N为AC，AQ的中点，
所以，所以CN与QM共面，所以①正确；
由，
因为N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确；
当时，取,连接,则,又所以
所以共面,即过A，Q，M三点的正方体的截面为ACHQ，
由,则ACHQ是等腰梯形,且
所以平面截正方体所得截面的周长为，所以③正确；
当时，,可得，，
取的中点分别为，连接,则
在直角三角形中,
则，所以不成立，所以④不正确．
所以正确的命题个数是3个，
故选：C．
19. （多选）（2022届河北省邯郸市高三一模）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（ ）
A．平面EGHFB．平面ABC
C．平面EGHFD．直线GE，HF，AC交于一点
【答案】AD
【解析】因为，所以.
又E，F分别为AB，AD的中点，所以，且，则.
易知平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误.
因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，
所以平面ABC，平面ACD，
则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，
所以，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确.故选AD
20. （多选）（2022届江苏省南京市江宁高级中学高三下学期适应性考试）在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．CN与QM共面
B．三棱锥的体积跟的取值有关
C．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．时，
【答案】AC
【解析】连接 ,在中，,所以CN与QM共面，故A对.
, 三棱锥的体积跟的取值无关，故B错.
当时，过A，Q，M三点的正方体的截面是等腰梯形， 所以截面的周长为 ,故C对.
当时，是中点，所以不垂直，故D错误.故选AC
21. （2022届江西省宜春市丰城中学高三5月模拟）棱长为的正方体的展开图如图所示．已知H为线段BF的中点，动点P在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有_________
①．BM与AN是异面直线 ②．AF与BM所成角为60°
③．平面CDEF⊥平面ABMN ④．若AM⊥HP，则点P的运动轨迹长度为6
【答案】②③④
【解析】由展开图还原正方体如下图所示，
对于①：
，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，①错误；
对于②：
，与所成角即为，
，为等边三角形，
，即与所成角为，②正确；
对于③：
平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，③正确；
对于④：
由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，④正确.
故答案为：②③④.
22．（2022届广东省高三一模）如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：__________.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）
【答案】和（和，和，和）（写出其中一对即可）
【解析】如图所示，连接和,相交于点,连接.
因为,
所以, 所以,
又,所以,
所以, , 所以.
因为, 所以.
又因为平面,
所以平面, 又平面,
所以.
故答案为和.
23. （2023届“三省三校”高三第一次联考）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角的平面角的余弦值．
【解析】 (1)证明：∵四边形和分别是矩形和菱形，
∴，，
∴，
∴，，，四点共面．
(2)解：在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，．
∴，，，．
设平面的一个法向量为，则，即．
令，则．∴．
设平面的一个法向量为．则，令，可得．
∴，显然二面角为锐角．
∴二面角的平面角的余弦值为．
24. （2022届陕西省西北工业大学附属中学高三下学期适应性训练）如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．
(1)求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；
(2)若，求点B到平面EFGH的距离．
【解析】 (1)因为，，所以，又，所以，故E，F，G，H四点共面，且直线EH，FG必相交于一点，设，因为，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．
(2)连结EG，BG，点B到平面EFGH的距离为d，正四面体的棱长为2易知该正四面体的高为，所以E到平面BFG的距离为，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距离为，而G到BF的距离也为，则．
由可得：，故点B到平面EFGH的距离为．
四、高考真题练
25. (2019高考全国卷丙) 如图，点为正方形的中心，
为正三角形，平面平面，是线段的中点，则( )
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】取中点，如图连接辅助线，在中，为中点，为中点，所以，所以，共面相交，选项C，D错误．平面平面，，平面，又,∴平面，从而，．所以与均为直角三角形．不妨设正方形边长，易知，所以，,，故选B．
五、综合提升练
26. 已知正方体的棱长为1，是的中点，是棱上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得直线与直线相交
C．当是棱的中点时，直线与直线所成的角为
D．平面截正方体所得的截面是五边形
【答案】B
【解析】对于选项A：如图，因为，所以A正确；
对于选项B：若存在点，使得直线与直线相交，则，，，四点共面，又平面平面，平面，平面，所以，又，所以，矛盾. 所以B错误；
对于选项C：取的中点，连接，则，则或其补角 是异面直线与所成的角，连接，易知，连接，，，由余弦定理得，所以直线与直线所成的角为，所以C正确；
对于选项D：过点作的平行线，交线段于点，交直线于点，连接，交于点，连接，，则五边形就是平面截正方体表面所得的截面，所以D正确．故选B．
27. （2022届广西柳州市高三第二次模拟考试）如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与直线可能异面
B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形可能是钝角三角形
D．四棱锥的体积保持不变
【答案】D
【解析】如图所示，连接有关线段.
设M,N为AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心，
MN的中点为O,则AC1的中点也是O,
又∵DE=B1F,由对称性可得O也是EF的中点，
所以AC1与EF交于点O,故不是异面直线，故A错误；
由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面，
因为平面，∴故B错误；
设,则,设,
易得
因为
为锐角；
因为
为锐角，
因为
当时取得最小值为
为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误；
三棱锥A-EFC也可以看做F-AOC和E-AOC的组合体，
由于△AOB是固定的，E,F到平面AOC的距离是不变的
(∵易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1)，故体积不变，
故D正确.故选D.
28. 如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别是和上的动点，且与相交于点．下列判断中：
①直线经过点；
②；
③、、、四点共面，且该平面把四面体的体积分为相等的两部分．
所有正确的序号为__________．
【答案】①③
【解析】①项，因为，所以，且平面，
平面
同理可得， 平面；
又因为平面平面，所以，
所以，，三条直线相交于同一点.故①正确.
②项，为定值，为上的动点，又因为与为异面直线，
所以到的距离是变化的，所以是变化的，故②不正确.
③ 项，当K与D重合时，H与D重合，G与C重合，如图（1）所示
此时平面EGFH即为平面ECD，
因为E为AB 中点，所以平面ECD把四面体分成体积相等的两部分.
图（1）
当K远离D时，平面EGFH使两部分体积发生了变化，
一部分在三棱锥A-ECD的基础上，
多出了一个三棱锥E-GCF的体积，如图2所示，
少了一个三棱锥E-FDH的体积，如图3所示，
过点D做，分别交EK，GK于点M，N，
连接MN，如图4所示
，
， ，
，
，
所以无论、、、如何变化，平面把四面体的体积分为相等的两部分，③正确.
故答案为①③
29. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，，
，分别为，的中点，，，
又四边形是平行四边形，，，
为的中点，，.
，，则四边形为平行四边形，
.
平面，平面，
平面；
（2）存在点符合题目条件，且此时.
取的中点，连接交于，在上取点，使，
连接，，则，，，四点共面.
证明如下：在平行四边形中，，分别为，的中点，
，又是的中点，
是的重心，且.
又，，
，，
与确定一个平面，而直线，
，则，，，四点共面.
故在线段上存在一点，使得，，，四点共面.
30. （2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M为PC的中点，．
(1)证明：A，B，M，N四点共面；
(2)求二面角M－AB－C的余弦值．
【解析】 (1)证明：延长CD，BA交于点Q．
因为且，
所以BA＝AQ，CD＝DQ，
连接PQ，在△PQC中，D，M分别为CQ，PC的中点，
故QM与PD的交点为△PQC的重心，设为G，所以，
因为，所以点G与点N重合，
所以A，B，M，N四点都在平面QBM中，
故A，B，M，N四点共面．
(2)解：取CD中点为O，
因为PD＝PC，所以，
又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，PO平面PCD，
所以PO⊥平面ABCD，
又，，
所以．
以O为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，），C（－，，0），M（－，，），A（，－，0），
B（，，0），（0，1，0），（，，－）．
设平面MAB法向量为，
则，即，
取，则
平面ABCD的一个法向量为，
，
因为二面角M－AB－C为锐角，
所以二面角M－AB－C的余弦值为.
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