清单26 空间点、线、面之间的位置关系（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

清单26 空间点、线、面之间的关系

一、知识与方法清单

1.平面

平面是从生活中常见的平面中抽象、概括出来的,几何里的平面是无限延展的.平面是理想的,绝对平的且是无限延展的,平面无大小、厚薄之分,是不可度量的.在立体几何中,通常用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍,如图1所示. 如果一个平面被另一个平面遮挡,为了增强它的立体感,常把被遮挡部分用虚线画出来,如图2.

平面通常用希腊字母α,β,γ等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上),如平面α,平面β,平面γ等;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,如图1所示的平面α,也可表示为平面ABCD或平面AC等;还可以用平面内不共线的三个字母表示,如平面ABC等.

【对点训练1】下面四种说法:①平面的形状是平行四边形;②任何一个平面图形都可以表示平面;③平面ABCD的面积为10cm2;④空间图形中,后引的辅助线都是虚线.其中正确的说法的序号为　　　. 

2. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内．

公理1反映了平面的本质属性,通过直线的“直”和“无限延伸”的特性,揭示了平面的“平”和“无限延展”的特性.其作用:①检验平面;②判断直线是否在平面内.

【对点训练2】在下列命题中,不是公理的是(　　)

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

3.公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面．

【对点训练3】在空间内,可以确定一个平面的条件是(　　)

A.两两相交的三条直线

B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交

C.三个点

D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点

4.公理2的推论：

①经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面；

②经过两条相交直线,有且只有一个平面；

③经过两条平行直线,有且只有一个平面．

公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面,或用来证明点、线共面．

【对点训练4】空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中(　　)

A．必有三点共线        B．必有三点不共线

C．至少有三点共线      D．不可能有三点共线

5.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

【对点训练5】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.

6.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

【对点训练6】设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题：

①若a∥b,b∥c,则a∥c；

②若a⊥b,b⊥c,则a∥c；

③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；

④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线．

上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．

7.直线与直线的位置关系位置关系的分类

【对点训练7】在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条．

8．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

注意：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”,也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”,但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．

【对点训练8】已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点．

(1)求证：BC与AD是异面直线；

(2)求证：EG与FH相交．

9.异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：.

【对点训练9】如图,在四棱锥P­ABCD中,O为CD上的动点,VP­OAB恒为定值,且△PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是________．

10.空间四边形

四边形可分为平面四边形和空间四边形,四个顶点不共面的四边形是空间四边形.

空间四边形的性质

(1)顺次连结空间四边形各边中点得到的图形是平行四边形.

(2)若空间四边形的两组邻边分别相等,则对角线垂直但不相交.

(3)若空间四边形的两组对边分别垂直,则对角线垂直但不相交.

(4)空间四边形的两组对边所在直线及一组对角线所在直线分别是异面直线,该结论可推广如下：过空间不共面的四点的连线中,有3对异面直线.

【对点训练10】．已知空间四边形中,对角线,则空间四边形中平行于和的截面四边形的周长的取值范围是____________

11．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况

【对点训练11】以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面):　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;

④若a∥α,b⊂α,则a∥b.

其中正确命题的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

12.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

【对点训练12】已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题：

①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β；

②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β；

③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β；

④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.

其中所有正确的命题是________．(填序号)

13.证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合．

【对点训练13】如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E,F,G,H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线．

14. 要证明点共线问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上,本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上．

【对点训练14】如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E,F,G,H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线．

15.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点．

【对点训练15】如图所示,正方体ABCD­A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点．

求证：

(1)E,C,D1,F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

16．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补．

【对点训练16】若∠AOB＝∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是(　　)

A．OB∥O1B1且方向相同

B．OB∥O1B1

C．OB与O1B1不平行

D．OB与O1B1不一定平行

17.正方体中的截面问题

用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面.可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形.在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径. 作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面．

作截线与截点的主要根据有：

 (1)确定平面的条件．

 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线．

 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

 (4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(线面平行的性质定理,见第2.2节)．

 (5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行（面面平行性质定理,见第2.2节）．

作图的的主要思想方法有：

(1)若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.

(2)若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点.

(3)若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.

(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线.

(5)若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决. 

【对点训练17】已知：P、Q、R三点分别在正方体的棱,CC1和AB上,试画出过P、Q、R三点的截面．

18.用反证法证明线面位置关系

反证法,又称归谬法,是一种论证方式,首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下,结论不成立）,然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.反证法在数学中经常运用.当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓正难则反.应用反证法证题时,要全面考虑反面的各种情况,逐一推出矛盾进行排除,具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设,肯定结论．

【对点训练18】如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交．

二、跟踪检测

一、单选题

1．如图,在下列四个正方体中,、为正方体的两个顶点,、、为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线不平行与平面的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021届辽宁省实验中学高三考前模拟）如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,正确的命题是（    ）

A．AB与CF成45°角 B．BD与EF成45°角

C．AB与EF成60°角 D．AB与CD成60°角

3．已知正方体中,分别为的中点,则直线所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2022届广西柳州市高三摸底考试）三棱锥中,若,则P在底面上的投影О为的（    ）

A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心

5．（2022届安徽省六校教育研究会高三上学期第一次测试）下列说法正确的是（    ）

A．经过三点确定一个平面 B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥

C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形

6．如图,在三棱柱中,,,,,则异面直线与所成的角等于（    ）

A．30° B．60° C．90° D．120°

7．如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是平面ADD1A1的中心,M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点,则下列说法正确的是（    ）

A．MNEF,且MN与EF平行 B．MNEF,且MN与EF平行

C．MNEF,且MN与EF异面 D．MNEF,且MN与EF异面

8．将如图1所示的平面图形翻折成如图2的正方体,其中,,分别对应,,．有下列四个命题,其中正确命题的个数为（    ）

①在图1中,,翻折后对应的两线段仍然保持平行；

②对于图1中的与,翻折后对应的两直线所成的角为；

③为边上的中点,过,,三点的平面在正方体所得的截面为菱形；

④为正方体的侧面内任一点,若始终保持的关系,则点的运动轨迹为线段．

      图1                 图2

A． B． C． D．

9．（2021届浙江省金华十校高三下学期4月模拟）已知四面体,,,平面,于E,于F,则（    ）

A．可能与垂直,的面积有最大值

B．不可能与垂直,的面积有最大值

C．可能与垂直,的面积没有最大值

D．不可能与垂直,的面积没有最大值

10．（2022届山西省大同市高三上学期开学摸底联考）如图,在正方体中,点P为线段上的动点（点与,不重合）,则下列说法不正确的是（    ）

A．

B．三棱锥的体积为定值

C．过,,三点作正方体的截面,截面图形为三角形或梯形

D．DP与平面所成角的正弦值最大为

11．（2021届黑龙江省实验中学高三下学期四模）已知正方体内切球的表面积为,是空间中任意一点：

①若点在线段上运动,则始终有；

②若是棱中点,则直线与是相交直线；

③若点在线段上运动,三棱锥体积为定值；

④为中点,过点,且与平面平行的正方体的截面面积为;

以上命题为真命题的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

12．已知长方体中,,点在线段上,,平面过线段的中点以及点,若平面截长方体所得截面为平行四边形,则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

13．（2021届重庆市康德卷高三下学期模拟）已知空间中的两个不同平面、和两条不同直线、,若,,,则（    ）

A．直线、可能平行 B．直线、可能异面

C．直线、可能垂直 D．直线、可能相交

14．（2021届福建省南平市浦城县高三上学期期中）设α,β,γ是三个不重合的平面,是直线,下列命题中正确的命题有（    ）

A．若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ；

B．若α上有不共线的三点到β的距离相等,则βα；

C．若⊥α,β,则α⊥β；

D．若⊥α,,则βα.

15．（2022届山东省青岛市高三上学期开学考试）在三棱柱中,,,,分别为线段,,,的中点,下列说法正确的是（    ）

A．,,,四点共面 B．平面平面

C．直线与异面 D．直线与平面平行

16．（2021届江苏省泰州市高三上学期学情检测）如图,在四棱锥中,底面为菱形,,侧面为正三角形,且平面平面,则下列说法正确的是（    ）

A．在棱上存在点,使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

三、填空题

17．如图,、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线与是异面直线的图形有______.

18．（2021届陕西省渭南市富平县高三下学期二模）在空间中,给出下面四个命题,其中真命题的个数为___________.

①过平面外的两点,有且只有一个平面与平面垂直；

②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等,则；

③若直线与平面内的无数条直线垂直,则；

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.

19．（2021届安徽省宣城市郎溪县高考仿真模拟）在正方体中,,点,分是棱,的中点,有下列命题：

①平面平面；

②平面截正方体所得截面的面积为；

③直线与平面所成角的正弦值为；

④若点是线段上的一个动点,则三棱锥的体积为定值.

其中正确的选项是___________.

四、解答题

20．20．（2022届广西柳州市高三摸底）如图,直四柱中,,为的中点,底面是边长为4的菱形,.

（1）证明：,,,四点共面；

（2）求点到平面的距离