高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第29练数列求和与数列的综合应用(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第29练数列求和与数列的综合应用(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。

一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P40练习T1变式）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35B．42C．49D．56
2.（人A选择性必修二P55复习参考题4T8变式）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（ ）
A．2192B．C．D．
3. （人A选择性必修二P25习题4.2T12变式）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式求出物体的总数.这就是沈括的“隙积术”.利用“隙积术”求得数列的前n项和是________.
4. （人A选择性必修二P55复习参考题4T11变式）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
二、考点分类练
(一)等差数列与等比数列求和
5. （2022届河南省南阳市高三上学期期末）正项数列的前项和为，都有，则数列的前2022项的和等于（ ）
A．B．2021C．D．2022
6. （2022届云南省昭通一中等三校高三下学期联考）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A．2806万元B．2906万元C．3106万元D．3206万元
(二)裂项求和
7．设数列的前n项和为，则（ ）
A．25C．268. 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．
(三)错位相减法求和
9. （2022届广东省高三三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ）
A．B．C．D．
10. （2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔高三下学期第四次模拟）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_______.
(四)分组求和与分段数列求和
11. （2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷）数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
12. （2022届内蒙古海拉尔高三上学期期末）数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．1B．0
C．1D．1010
13. 已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
(五)数列的综合应用
14. （2022届陕西省西安市周至县高三下学期一模）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（ ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）
A．83B．60C．50D．44
15. 在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.
①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④
三、最新模拟练
16. （2022届江西省临川第一中学高三5月冲刺）已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
17. （2022届浙江省高三下学期高考冲刺）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
18. （多选）（2022届河北省高三模拟演练）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列B．数列为等比数列
C．D．数列的前n项和为
19. （多选）（2022届湖北省二十一所重点中学高三下学期第三次联考）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．存在使得
20. （2022届广东省高州市高三第二次模拟）某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下：
①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即2，3，4，6，8， ，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列{an}，即1，2，3，，5，7， ，9，11，13，…；
③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有 ，所以有8个奇数，，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为_____．
21. （2022届江西省九江市高三第三次模拟）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
22. （2022届福建省福州第三中学高三下学期第三次质量检测）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
四、高考真题练
23. (2020高考全国卷 = 2 \* ROMAN II)数列中，，，若，则( )
A．2B．3C．4D．5
24．(2017年高考全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的
兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数
列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,
,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软
件的激活码是( )
A．B．C．D．
25．(2017高考全国卷Ⅱ)等差数列的前项和为，，， ．
26.(2020高考全国卷Ⅰ)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
五、综合提升练
27. 已知数列满足：.若正整数使得成立，则
A．16B．17C．18D．19
28. （多选）（2022届湖北省黄冈中学高三下学期三模）已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列
B．
C．
D．满足的的最小正整数解为
29. （2022浙江省宁波市北仑中学高三上学期考试）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则_________.
30. （2022届上海市进才中学高三下学期期中）设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入n个数、、、，使、、、、、成等差数列，求；
(3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
第29练 数列求和与数列的综合应用
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P40练习T1变式）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35B．42C．49D．56
【答案】B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，故选B
2.（人A选择性必修二P55复习参考题4T8变式）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（ ）
A．2192B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第个月的还款金额为元，
则，故选D
3. （人A选择性必修二P25习题4.2T12变式）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式求出物体的总数.这就是沈括的“隙积术”.利用“隙积术”求得数列的前n项和是________.
【答案】.
【解析】因为在数列，，，…，中，，，项数为，，，
所以．
4. （人A选择性必修二P55复习参考题4T11变式）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【解析】(1)设等比数列的公比为，
则，解得，
则等比数列的通项公式为，.
(2)数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
则，
.
则所求的数列的前项和为.
二、考点分类练
(一)等差数列与等比数列求和
5. （2022届河南省南阳市高三上学期期末）正项数列的前项和为，都有，则数列的前2022项的和等于（ ）
A．B．2021C．D．2022
【答案】D
【解析】因为，则当时，，则，整理得，又为正项数列，故可得，又当时，，解得（舍）或，即数列是首项为公差为2的等差数列，则；设数列的前项的和为，则
.故选.
6. （2022届云南省昭通一中等三校高三下学期联考）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A．2806万元B．2906万元C．3106万元D．3206万元
【答案】A
【解析】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：.故选A.
(二)裂项求和
7．设数列的前n项和为，则（ ）
A．25C．26【答案】A
【解析】由，
∴，∴，
故选A．
8. 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．
【答案】
【解析】由对于任意的，总有，，成等差数列可得：，
当时可得，所以，
所以，所以，由数列的各项均为正数，
所以，又时，所以，所以，
，
.
(三)错位相减法求和
9. （2022届广东省高三三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，
于是①，
②，
由①-②得，
则.于是.故选A．
10. （2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔高三下学期第四次模拟）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_______.
【答案】
【解析】当时，，当时，，
当时，，综上：，，所以，
所以①，①×得：
②，
两式相减得：，所以
(四)分组求和与分段数列求和
11. （2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷）数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设时，是首项为1，公比为2的等比数列，故且，
所以，则，
故时，是首项为14，公差为-2的等差数列，故且，
所以.故选C．
12. （2022届内蒙古海拉尔高三上学期期末）数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．1B．0
C．1D．1010
【答案】A
【解析】因为数列的通项公式为，所以，
，……，
每4项之和为0，所以，故选A
13. 已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
【答案】330
【解析】由题意，当为奇数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
(五)数列的综合应用
14. （2022届陕西省西安市周至县高三下学期一模）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（ ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）
A．83B．60C．50D．44
【答案】B
【解析】设每年应扣除的消费资金为万元，则
1年后投入再生产的资金为：，
2年后投入再生产的资金为：
，
5年后投入再生产的资金为：
∴，
∴.故选B
15. 在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.
①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④
【答案】②③④
【解析】设与交于点，，
，，，共线，所以存在实数，使得，所以，
所以，所以，，
所以，，，不是等比数列，①错；
因为，所以，即，所以是等差数列，③正确；
又因为，则，即，，
所以当时，，即，
所以是递减数列，②正确；
因为，
，
所以两式相减得
，
所以，④正确.故答案为：②③④.
三、最新模拟练
16. （2022届江西省临川第一中学高三5月冲刺）已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【答案】D
【解析】解：因为当为奇数时，为偶数时，所以，
所以，所以；
故选D
17. （2022届浙江省高三下学期高考冲刺）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当，时，因为，所以，
又因为，
且，
下证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证
令，即证，当，时，不等式恒成立.
因此，，
所以
，
又因为，故选D.
18. （多选）（2022届河北省高三模拟演练）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列B．数列为等比数列
C．D．数列的前n项和为
【答案】BD
【解析】数列中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，
34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，
数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，…，
∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，
∴；
∴，记数列的前n项和为，
则，
，
两式相减：
，
∴.故选BD
19. （多选）（2022届湖北省二十一所重点中学高三下学期第三次联考）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．存在使得
【答案】BC
【解析】当时，，
当时，由，得，故，即，
所以数列为等比数列，首项，公比，故，
A选项错误；
则，所以，
，B选项正确；
当时，，
假设当时，成立，
当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，
故，C选项正确；
D选项，当时，由知不成立，
当时，由C选项知：，则 ，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；故选BC.
20. （2022届广东省高州市高三第二次模拟）某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下：
①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即2，3，4，6，8， ，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列{an}，即1，2，3，，5，7， ，9，11，13，…；
③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有 ，所以有8个奇数，，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为_____．
【答案】199600
【解析】当值社员姓徐，则x在26个英文字母中排第24位，故 ，前24项中 ，所以有21个偶数，所以，计算，则当日密码为199600
21. （2022届江西省九江市高三第三次模拟）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【解析】 (1)当时，，
∵，∴.
当时，由，得，
两式相减得
即
∴数列，均为公比为4的等比数列
∴，
∴
(2)∵
∴数列的前项和
22. （2022届福建省福州第三中学高三下学期第三次质量检测）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】 (1)由于，所以①，
当时，②，
①-②得，
整理得，所以为常数数列，又，所以.
(2)由（1）得，
所以①，
②，
①-②得，
故.
四、高考真题练
23. (2020高考全国卷 = 2 \* ROMAN II)数列中，，，若，则( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．故选C．
24．(2017年高考全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的
兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数
列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,
,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软
件的激活码是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】 不妨设(其中)
则有,因为,所以
由等比数列的前项和公式可得
因为,所以
所以即,因为
所以,故
所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意
当时,,故满足题意的的最小值为．
25．(2017高考全国卷Ⅱ)等差数列的前项和为，，， ．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
由题意有： ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项有：，据此：
。
26.(2020高考全国卷Ⅰ)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
．
五、综合提升练
27. 已知数列满足：.若正整数使得成立，则
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【解析】，即，，
时，，，两式相除可得，则，，
由，，，，，可得
，且，正整数时，要使得成立，则，则，故选．
28. （多选）（2022届湖北省黄冈中学高三下学期三模）已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列
B．
C．
D．满足的的最小正整数解为
【答案】ACD
【解析】因为，当时，，解得，
当时，，即，
整理得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，又正项数列的前项和为，所以，故A正确；
当时，解得，当时，，即，
又，所以，，
因为，所以，即，故B不正确；
因为，，即，令，
所以原不等式为：，即，
令，所以，当时，恒成立，
所以在单调递增，所以，所以成立，故C正确；
因为，所以，所以
，所以
，
因为，即，化简整理得：，
当时，，当时，，
所以满足的的最小正整数解为，故D正确.故选ACD.
29. （2022浙江省宁波市北仑中学高三上学期考试）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则_________.
【答案】
【解析】
又，即
数列是首项为，公差为的等差数列，①，
又分别构成等差数列，根据①式可得
②，
③，
④，
由②+③，得，
又是等差数列，所以必为常数，
所以，
或，
由①得，即，
，，又，
，即或(舍去)，
，
是首项为1，公差为的等差数列，，
同理，由③+④得，，
所以或，
，，，
即或(舍去)，
，
是首项为a，公差为的等差数列，，
从而，
所以.
30. （2022届上海市进才中学高三下学期期中）设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入n个数、、、，使、、、、、成等差数列，求；
(3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)设数列的公差为，，
则由，得，，
，，
将代入上式，得，，
，，．
由，①
当时，，②
①②，得，，，
又，，
是首项为，公比为的等比数列，
，．
(2)在和之间插入个数，，，，
，，，，成等差数列，设公差为，
，
则，
，
，①
则，②
①②，得，
．
(3)假设存在正整数，，使成立，
．
，
当时，，
当时，，
当时，，
下证，当时，有，即证，
设，，则，
在，上单调递增，
故时，，
，
时，不是整数，
所有的正整数对为及．