高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第28练等比数列(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第28练等比数列(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P40习题4.3T1变式）已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（ ）
A．B．4C．D．6
2.（人A选择性必修二P40习题4.3T9变式）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
3. （人A选择性必修二P40习题4.3T8变式）设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
4. （人A选择性必修二P40习题4.3T10变式）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
二、考点分类练
(一)等比数列基本量的计算
5. （2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺最后一卷）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
6. （2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）数列中，，对任意m，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
7. （2022届福建省厦门第一中学高三考前最后一卷）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
(二)等比数列的证明
8．（2023届广西柳州市新高三摸底考试）已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
9. （2023届山西省大同市高三上学期第一次学情调研）已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
(三)等比数列的性质
10. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
11. （多选）（2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期5月模拟）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最小项为
C．数列为递增数列D．数列为递增数列
(四)等差数列与等比数列的交汇
12. 在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
13. 在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14B．34C．41D．86
三、最新模拟练
14. （2022届青海省海东市第一中学高三模拟）已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A．B．C．3D．
15. （2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期模拟）已知数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
16. （2022届上海市崇明区二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．数列存在最小项D．数列存在最大项
17. （多选）（2023届广东省高三上学期第一次联考）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
18. （多选）（2022届山东省淄博市高三教学质量检测）若数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
19. （2022届上海市闵行区二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
20. （2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
21.（2022届浙江省数海漫游高三下学期三模）已知数列满足．数列是公差为q的等差数列，数列是公比为q的等比数列，．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
四、高考真题练
22. （2022高考全国卷乙）已知等比数列的前3项和为168,,则（）
A. 14B. 12C. 6D. 3
23．(2019高考全国卷丙)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A．16B．8C．4D．2
24．(2017高考全国卷甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层
灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
25.(2019年高考全国卷乙)记为等比数列的前项和．若，，则．
26.（2022新高考全国卷2）已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
五、综合提升练
27. （2022届浙江省“数海漫游”高三下学期第二次联考）已知等比数列的公比，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
28.（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
29.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么__________．
30.（2022届上海市虹口区高三二模）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质.
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质，并说明理由；
(2)如果数列，，，具有性质，求证：，；
(3)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数.判断是否为等比数列？并说明理由.2
4
1
2
x
y
第28练 等比数列
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P40习题4.3T1变式）已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】D
【解析】因为，，则，所以．故选D
2.（人A选择性必修二P40习题4.3T9变式）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
【答案】A
【解析】由，得.
又，得.故.
由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.故选A.
3. （人A选择性必修二P40习题4.3T8变式）设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，解得.当时，，
所，即，
所以，即，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，
从而，故.故选C
4. （人A选择性必修二P40习题4.3T10变式）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解析】 (1)因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)由（1）可知，所以，
所以．
二、考点分类练
(一)等比数列基本量的计算
5. （2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺最后一卷）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，
所以，化为：，解得．故选D
6. （2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）数列中，，对任意m，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】在等式，中，令，可得，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
∴，∴，则，解得故选C.
7. （2022届福建省厦门第一中学高三考前最后一卷）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】由已知条件得 ，解得，∴
(二)等比数列的证明
8．（2023届广西柳州市新高三摸底考试）已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】 (1)由题意可得：
∵
所以是首项为2，公比为2的等比数列
则，即
因此{}的通项公式为
(2)由（1）知，令则
所以．
．
综上．
9. （2023届山西省大同市高三上学期第一次学情调研）已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【解析】 (1)证明：当时，
∴
当时，
，
∴
∴数列是以2为公比，首项的等比数列
(2)由（1）知，，代入得
∴
由，，
，所以
∴
综上所述
(三)等比数列的性质
10. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选B.
11. （多选）（2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期5月模拟）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最小项为
C．数列为递增数列D．数列为递增数列
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，
数列为递增数列，C正确；对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.故选ABC.
(四)等差数列与等比数列的交汇
12. 在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】由题意知表格为
故．故选A
13. 在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14B．34C．41D．86
【答案】C
【解析】因为成公比为3的等比数列，可得，所以
又因为数列为等差数列，所以公差，所以，
所以，解得.故选C.
三、最新模拟练
14. （2022届青海省海东市第一中学高三模拟）已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】因为等比数列的公比，所以．故选D
15. （2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期模拟）已知数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】数列满足，且①；当时，②；
①减②得，所以，（），
，所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．故选A．
16. （2022届上海市崇明区二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．数列存在最小项D．数列存在最大项
【答案】C
【解析】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；
当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值，综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误，故选C
17. （多选）（2023届广东省高三上学期第一次联考）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【答案】AD
【解析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，
所以，解得，所以，
对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，
对于C，，所以C错误，对于D，该人最后三天共走的路程为，所以D正确，故选AD
18. （多选）（2022届山东省淄博市高三教学质量检测）若数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
【答案】AC
【解析】将代入得，A对；因为，则，
，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，C对；
，，BD错误.故选AC
19. （2022届上海市闵行区二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
【答案】13
【解析】由题意得：此等比数列的公比，
由得：，
则，即，
所以能整除，且
因为，
所以，
解得：，
经检验，均满足要求，故满足条件的不同数列的个数为13个.
20. （2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】 (1)设等比数列的公比为,由，，
可得，即得，
解得或（舍去），
故，
由数列的前n项和为，可得，
当时，，适合该式，
故；
(2)若，则，
故，即，
即为常数列，则数列的前n项和为2n.
21.（2022届浙江省数海漫游高三下学期三模）已知数列满足．数列是公差为q的等差数列，数列是公比为q的等比数列，．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
【解析】 (1)由，知，则是方程的两根．
由知，．
(2)由于，易知，且是方程的两根，
故．
由于均随n的增大而增大，且，故．
则．
四、高考真题练
22. （2022高考全国卷乙）已知等比数列的前3项和为168,,则（）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为,若,则,与题意矛盾,则,解得,所以.故选D.
23．(2019高考全国卷丙)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
24．(2017高考全国卷甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层
灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【答案】B
【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即
，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得．
25.(2019年高考全国卷乙)记为等比数列的前项和．若，，则．
【答案】
【解析】由，得，所以，又因为，所以，．
26.（2022新高考全国卷2）已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
【解析】（1）设数列的公差为,由得,
整理得,,所以．
（2）由（1）知,,
因为,所以,
整理得,即,
由得,
所以k的取值依次为,
故集合中的元素个数为9．
五、综合提升练
27. （2022届浙江省“数海漫游”高三下学期第二次联考）已知等比数列的公比，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【解析】例如，则，
而，，
即，所以，C错误；
若，，则，
例如取，，
，D错误，
同理此时，，B错误，
排除BCD，只有A正确．故选A．
28.（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【解析】由于是等比数列，，所以，
当时，，符合题意；
当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.
综上所述，的取值范围是.
，所以，所以，而，且.
所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.
当时，，即.
当或时，，A选项错误.
综上所述，正确的选项为BD.故选BD
29.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么__________．
【答案】
【解析】由题意得
所以
30.（2022届上海市虹口区高三二模）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质.
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质，并说明理由；
(2)如果数列，，，具有性质，求证：，；
(3)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数.判断是否为等比数列？并说明理由.
【解析】 (1)因为均是数列1，3，9中的项，
所以数列1，3，9具有性质，
因为不是数列2，4，8中的项，
所以数列2，4，8不具有性质；
(2)证明：因为，
所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，
所以，
又因为，
所以不是数列中的项，
所以是数列中的项，
因为，
所以，
所以，
所以；
(3)当数列的项数时，
因为，
所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，
所以，
因为对于满足的正整数，都有，
所以不是数列中的项，
从而是数列中的项，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
因为对于满足的正整数，均有，
所以，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
从而有，
所以对于项数为大于等于5的奇数且具有性质的数列，是以为首项，为公比的等比数列.
2
4
1
2
x
y
2
4
6
1
2
3
1