云南省大理州宾川县第四完全中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（本题共计8小题，总分40分）
1. 若集合，则（）
A. B. C. D.
2. 若，则（）
A 1B. C. 2D. -2
3. 记的内角的对边分别为，若，则（）
A. B. C. D.
4. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 把函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（）
A. B. C. D.
6. 现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（）
A. B. C. D.
7. 若，则（）
A. 1B. -1C. 2D. -2
8. 已知，函数，若关于的方程至少有2个不同的实数解，则的取值范围为（）
A. B. (1,+∞)C. D.
二、多选题（本题共计3小题，总分18分）
9. 若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（）
A. 三棱锥和四棱柱B. 四棱锥和三棱柱
C 四棱锥和四棱柱D. 五棱锥和三棱柱
10. 抛掷质地均匀骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（）
A. A包含CB. A与B相互独立
C. B与C互为对立事件D. B与C互斥但不对立
11. 在中，角的对应边分别为．已知，则下列结论正确的是（）
A.
B. 外接圆的半径为
C. 面积的最大值为
D. 若为的中线，则的最小值为
三、填空题（本题共计3小题，总分15分）
12. 若向量满足.则_________
13. 已知数据的极差为6，且分位数为，则__________.
14. 已知某圆锥的体积为.侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为__________
四、解答题（本题共计5小题，总分77分）
15. 7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表：
（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；
（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
16. 在某次投篮比赛中，需要投篮四次.第一次投篮命中得1分，第二次投篮命中得2分，第三次和第四次投篮命中均得3分，未命中不得分.甲四次投篮命中的概率分别为，且每次投篮能否命中都是相五独立的.
（1）求甲四次投篮共得0分的概率;
（2）若规定投篮者四次投篮的总得分不低于7分，则晋级成功.求甲晋级成功的概率.
17. 若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是"同域函数".
（1）判断函数与是否为"同域函数"，并说明理由；
（2）若函数和，且是"同域函数"，求的值.
18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．
（1）求的长；
（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
19. 如图，在正三棱柱中，分别为中点.
（1）若三棱柱的体积为，求AB的长
（2）证明：平面
（3）若正方形的中心为，动点在的边上，求直线与平面所成角的正切值的最小值与最大值.
分数
频数
10
10
20
20