高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用培优专题四导数中构造函数问题学案

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2．构造可导商函数
(1) f'x-nfxenx＝fxenx'，
特别地 f'x-fxex＝fxex'．
(2)xf'x-nfxxn+1＝fxxn'，x≠0，
特别地xf'x-fxx2＝fxx'，x≠0，
xf'x-2fxx3＝fxx2'，x≠0．
(3)f'xsinx-fxcsxsin2x＝fxsinx'．
(4) f'xcsx+fxsinxcs2x＝fxcsx'．
3．构造“形似”函数
对原不等式(或方程)同解变形，如移项、通分、取对数等，把不等式(或方程)左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数．
[培优案例]
[例1] (2024·四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数f (x)的定义域为-π2，π2，其导函数是f ′(x)，有f ′(x)cs x＋f (x)sin x<0，则关于x的不等式f (x)>2f π3cs x的解集为________．
-π2，π3 [依题意令F(x)＝fxcsx，x∈-π2，π2，
则F′(x)＝f'xcsx+fxsinxcs2x，
因为当－π2所以当x∈-π2，π2时，F′(x)<0，
∴F(x)在-π2，π2上单调递减，
则f (x)>2f π3cs x等价于fxcsx>fπ3csπ3，
即F(x)>Fπ3，
∴x<π3，-π2解得－π2-π2，π3．
故答案为：-π2，π3．]
[例2] (2023·广东广州统考三模)已知可导函数f (x)的导函数为f ′(x)，若对任意的x∈R都有f (x)>f ′(x)＋1，且f (x)－2 024为奇函数，则不等式f (x)－2 023ex<1的解集为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，e)
C．(e，＋∞) D．(0，＋∞)
D [设g(x)＝fx-1ex，由题设条件，得g′(x)＝f'x·ex-fx-1exex2＝f'x-fx+1ex<0，
故函数g(x)在R上单调递减．
由f (x)－2 024为奇函数，得f (0)－2 024＝0，得f (0)＝2 024，
所以g(0)＝f (0)－1＝2 023，
不等式f (x)－2 023ex<1等价于fx-1ex<2 023，即g(x)又函数g(x)在R上单调递减，所以x>0，
故不等式f (x)－2 023ex<1的解集是(0，＋∞)．
故选D．]
[例3] (2024·宜宾市南溪第一中学校考模拟预测)若a＝tan 0.03，b＝ln 1.03，c＝3103，则( )
A．ab>c
C．c>a>b D．b>c>a
B [记f (x)＝tan x－x，x∈0，π2，则f ′(x)＝sin2xcs2x>0，
所以f (x)在0，π2上单调递增，
故f (0.03)>f (0)＝0⇒tan0.03>0.03，
记g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝1x－1，令g′(x)<0，解得x>1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(1.03)即ln 1.03<0.03b，
记h(x)＝ln 1+x100－x100+x，则h′(x)＝11+x100×1100－100+x-x100+x2＝x100+x2，
故当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故h(3)>h(0)，即ln 1.03－3103>0，故b>c，
故a>b>c．
故选B．]
【教师备用】
(2023·江西校联考三模)定义在(0，＋∞)上的函数f (x)，g(x)的导函数都存在，且f (x)>xf ′(x)－x2g′(x)，则必有( )
A．2g(2)＋2f (1)>f (2)＋2g(1)
B．2g(2)＋2f (1)C．4g(2)＋2f (1)>f (2)＋4g(1)
D．4g(2)＋2f (1)A [由题意，x∈(0，＋∞)，
由f (x)>xf ′(x)－x2g′(x)，
得g′(x)>xf'x-fxx2．
设函数h(x)＝g(x)－fxx，x>0，
则h′(x)＝g′(x)－xf'x-fxx2>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而h(2)>h(1)．
即g(2)－f22>g(1)－f11，
即2g(2)＋2f (1)>f (2)＋2g(1)．
故选A．]
培优训练(四) 导数中构造函数问题
1．(2024·湖北武汉模拟)设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
A [令g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf'x-fxx2，
所以当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f (x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．
又f (1)＝－f (－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0．
而f (x)>0等价于x>0，gx>0=g1，
或x<0，gx<0=g-1，
即x>0，x<1或x<0，x<-1，
所以x<－1或0所以f (x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．]
2．(多选)(2023·黑龙江实验中学校考三模)已知函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，若f (x)满足：(x－1)[f ′(x)－f (x)]>0，f (2－x)＝f (x)e2-2x，则下列判断不正确的是( )
A．f (1)e2f (0)
C．f (3)>e3f (0) D．f (4)BD [令F(x)＝fxex，则 F′(x)＝exf'x-exfxe2x＝f'x-fxex，
因为函数f (x)满足(x－1)[f ′(x) －f (x)]>0，
当x>1时F′(x)>0，F(x)在(1，＋∞)上单调递增，
当x<1时F′(x)<0，F(x)在(－∞，1)上单调递减，
又由f (2－x)＝f (x)e2-2x⇔f2-xe2-x＝fxex⇔F(2－x)＝F(x)，
所以F(x)的图象关于直线x＝1对称，从而F(1)即F(1)由F(0)＝F(2)，f2e2＝f0e0，
∴f (2)＝e2f (0)，故B错误；
由F(3)>F(0)，即f3e3>f0e0，
∴f (3)>e3f (0)，故C正确；
由F(4)>F(0)，即f4e4>f0e0，
∴f (4)>e4f (0)，故D错误．
故选BD．]
3．(2023·鞍山一中校考二模)已知定义在(－2，2)上的函数f (x)满足f (x)＋e4xf (－x)＝0，且f (1)＝e2，f ′(x)为f (x)的导函数，当x∈[0，2)时，f ′(x)>2f (x)，则不等式e2xf (2－x)A．(1，＋∞) B．(1，2)
C．(0，1) D．(1，4)
D [设g(x)＝fxe2x，－2g(x)＋g(－x)＝fxe2x＋f-xe-2x＝1e2x[f (x)＋e4xf (－x)]＝0，所以g(x)是奇函数．
当x∈[0，2)时，f ′(x)>2f (x)，
则g′(x)＝f'x·e2x-fx·2e2xe4x＝f'x-2fxe2x>0，
所以g(x)在[0，2)上单调递增，则g(x)在(－2，2)上单调递增，
不等式e2xf (2－x)所以-2<2-x<2，2-x<1，解得1所以不等式e2xf (2－x)故选D．]
4．(2023·重庆八中期末)设函数f (x)的定义域为R，f ′(x)是其导函数，若f (x)＋f ′(x)>0，f (1)＝1，则不等式f (x)>e1-x的解集是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，1)
B [构造函数g(x)＝f (x)·ex，则g'(x)＝[f '(x)＋f (x)]·ex>0，
故g(x)在R上单调递增，g(1)＝e, f (x)>e1-x可化为g(x)>e＝g(1)，
故原不等式的解集为(1，＋∞)，故选B．]
5．设函数f ′(x)是定义在(0，π)上的函数f (x)的导函数，有f ′(x)cs x－f (x)sin x>0，若a＝12fπ3，b＝0，c＝－32f5π6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．cA [根据题意，设g(x)＝f (x)cs x，
则g′(x)＝f ′(x)cs x＋f (x)(cs x)′＝f ′(x)cs x－f (x)sin x，
又由f ′(x)cs x－f (x)sin x>0，
则g′(x)>0，函数g(x)在(0，π)上单调递增，
a＝12fπ3＝cs π3fπ3＝gπ3，
b＝0＝cs π2fπ2＝gπ2，
c＝－32f5π6＝cs 5π6f5π6＝g5π6，
则a故选A．]
6．设a＝999ln 1 001，b＝1 000ln 1 000, c＝1 001×ln 999，则下列选项正确的是( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
B [设f (x)＝(1 000－x)ln (1 000＋x)，x∈[－1，1]，当x∈[－1，1]时，f ′(x)＝－ln (1 000＋x)＋1 000-x1 000+x<0，
所以函数f (x)单调递减，所以f (－1)＝1 001ln 999>f (0)＝1 000ln 1 000>f (1)＝999ln 1 001，所以c>b>a．故选B．]
7．已知a，b，c∈1e，+∞，且ln5a＝－5ln a，ln3b＝－3ln b，ln2c＝－2ln c，则( )
A．bC．aA [设函数f (x)＝x ln x(x>0)，f ′(x)＝1＋ln x，当x∈1e，+∞时，f ′(x)>0，此时f (x)单调递增，当x∈0，1e时，f ′(x)<0，此时f (x)单调递减，由题意ln5a＝－5ln a，ln3b＝－3ln b，ln2c＝－2ln c，得a ln a＝15ln 15，b ln b＝13ln 13，c ln c＝12ln 12＝14ln 14，
因为15<14<13<1e，
所以15ln 15>14ln 14>13ln 13，
则a ln a>c ln c>b ln b，且a，b，c∈1e，+∞，
所以a>c>b．故选A．]
8．(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝1.04－1，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
B [b－c＝ln 1.02－1.04＋1，设f (x)＝ln (x＋1)－1+2x＋1，
则b－c＝f (0.02)，f ′(x)＝1x+1－221+2x＝1+2x-x+11+2x·x+1，当x≥0时，x＋1＝x+12≥1+2x，故当x≥0时，f ′(x)＝1+2x-x+11+2x·x+1≤0，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以f (0.02)＜f (0)＝0，即b＜c．
a－c＝2ln 1.01－1.04＋1，设g(x)＝2ln (x＋1)－1+4x＋1，则a－c＝g(0.01)，g′(x)＝2x+1－421+4x＝21+4x-x+1x+11+4x，当0≤x＜2时，4x+1≥x+12＝x＋1，故当0≤x＜2时，g'(x)≥0，所以g(x)在[0，2)上单调递增，所以g(0.01)＞g(0)＝0，故c＜a，从而有b＜c＜a，故选B．]
9．(2023·鄄城县第一中学校考三模)已知奇函数f (x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f ′(x)，当x>0时，有2f (x)＋xf ′(x)>x2，则(x＋2 023)2f (x＋2 023)＋f (－1)<0的解集为________．
(－∞，－2 022) [当x>0时，因为2f (x)＋xf ′(x)>x2>0，所以2xf (x)＋x2f ′(x)>0，
所以[x2f (x)]′>0，所以g(x)＝x2f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，
所以g(－x)＝(－x)2f (－x)＝－x2f (x)＝－g(x)，且g(x)的定义域为R，关于原点对称，
所以g(x)也是定义在R上的奇函数，且g(0)＝f (0)＝0，
又因为g(x)＝x2f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)在R上为增函数，
由(x＋2 023)2f (x＋2 023)＋f (－1)<0，
得(x＋2 023)2f (x＋2 023)<－f (－1)＝f (1)＝g(1)，
所以g(x＋2 023)所以x＋2 023<1，即x<－2 022．
所以(x＋2 023)2f (x＋2 023)＋f (－1)<0的解集为(－∞，－2 022)．
故答案为：(－∞，－2 022)．]
10．(2024·天津宁河区模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且f ′(x)是f (x)的导函数，若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f (x)＋xf ′(x)>0成立，且f (2)＝12，则不等式f (x)－2x2>0的解集为________．
(2，＋∞) [令g(x)＝x2f (x)，可得g′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)，
因为对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f (x)＋xf ′(x)>0成立，可得g′(x)>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为f (x)是定义在R上的奇函数，
可得g(－x)＝(－x)2f (－x)＝－x2f (x)＝－g(x)，
所以g(x)是定义在R上的奇函数，
可得g(x)在(－∞，0)上单调递增，
因为f (x)在R上连续不断，则g(x)在R上连续不断，
所以函数g(x)在R上为增函数，
由不等式f (x)－2x2>0，可化为x2f (x)－2>0，即g(x)>2，
因为f (2)＝12，可得g(2)＝22f (2)＝2，
所以g(x)>g(2)，可得x>2，
所以不等式f (x)－2x2>0的解集为(2，＋∞)．]
序号
条件形式
构造函数
1
f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)
F(x)＝f (x)g(x)
2
f ′(x)＋f (x)
F(x)＝exf (x)
3
f ′(x)＋nf (x)
F(x)＝enxf (x)
4
xf ′(x)＋f (x)
F(x)＝xf (x)
5
xf ′(x)＋2f (x)
F(x)＝x2f (x)
6
xf ′(x)＋nf (x)
F(x)＝xnf (x)
7
f ′(x)sin x＋f (x)cs x
F(x)＝f (x)sin x
8
f ′(x)cs x－f (x)sin x
F(x)＝f (x)cs x