高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形培优专题八三角形中的最值问题学案

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在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
[培优案例]
[例1] (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA＝sin2B1+cs2B．
(1)若C＝2π3，求B；
(2)求a2+b2c2的最小值．
[解] (1)因为csA1+sinA＝sin2B1+cs2B＝2sincsB2cs2B＝sinBcsB，即sin B＝cs A cs B－sin A sin B＝cs (A＋B)＝－cs C＝12，
而0＜B＜π3，所以B＝π6．
(2)由(1)知，sin B＝－cs C＞0，
所以π2＜C＜π，0＜B＜π2，
而sin B＝－cs C＝sin C-π2，
所以C＝π2＋B，即有A＝π2－2B．
所以a2+b2c2＝sin2A+sin2Bsin2C
＝cs22B+1-cs2Bcs2B
＝2cs2B-12+1-cs2Bcs2B
＝4cs2B＋2cs2B－5
≥28－5＝4 2－5，
当且仅当cs2B＝22时取等号，所以a2+b2c2的最小值为42－5．
求本例第(2)问需要建立角A，B，C的内在联系，采用消元思想求解即统一变量，解题关键点是sin B＝－cs C＝sin C-π2，再用基本不等式求最值．
[例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A+C2＝b sin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设及正弦定理得
sin A sin A+C2＝sin B sin A．
因为sin A≠0，所以sin A+C2＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin A+C2＝cs B2，
故cs B2＝2sin B2cs B2．
因为cs B2≠0，故sin B2＝12，所以B＝60°．
(2)由题设及(1)知S△ABC＝34a．
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°-CsinC＝32tanC＋12．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是38，32．
本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能采用基本不等式法求解，应转化为三角函数后，利用函数求最值，要注意角度范围的求解．
培优训练(八) 三角形中的最值问题
1．(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2b sin A－3a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)求cs A＋cs B＋cs C的取值范围．
[解] (1)由题意及正弦定理，
得2sin B sin A＝3sin A，
因为sin A≠0，0＜B＜π2，
故sin B＝32，B＝π3．
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝2π3－A．
由△ABC是锐角三角形，得A∈π6，π2．
由cs C＝cs 2π3-A＝－12cs A＋32sin A，得
cs A＋cs B＋cs C＝32sin A＋12cs A＋12
＝sin A+π6＋12∈3+12，32．
故cs A＋cs B＋cs C的取值范围是3+12，32．
2．(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C．
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[解] (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①
由余弦定理得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cs A．②
由①②得cs A＝－12．
因为0＜A＜π，所以A＝2π3．
(2)法一(基本不等式法)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cs A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，
即AC+AB2－AC·AB＝9．
因为AC·AB≤AC+AB22，
所以9＝AC+AB2－AC·AB≥AC+AB2－AC+AB22＝34AC+AB2，
解得AC＋AB≤23(当且仅当AC＝AB时取等号)，
所以△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋23，
所以△ABC周长的最大值为3＋23．
法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得
ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，
从而AC＝23sin B，
AB＝23sin(π－A－B)＝3cs B－3sin B．
故BC＋AC＋AB＝3＋3sin B＋3cs B
＝3＋23sin B+π3．
又0＜B＜π3，
所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23．
阶段提能(八) 解三角形
1．(人教A版必修第二册P47例8)在△ABC中，已知B＝30°，b＝2，c＝2，解这个三角形．
[解] 由正弦定理，得
sin C＝csinBb＝2sin30°2＝22．
因为c>b，B＝30°，所以30°于是C＝45°，或C＝135°．
(1)当C＝45°时，A＝105°．
此时a＝bsinAsinB＝2sin105°sin30°
＝2sin60°+45°sin30°
＝2sin60°cs45°+cs60°sin45°sin30°
＝232×22+12×2212
＝3＋1．
(2)当C＝135°时，A＝15°．
此时a＝bsinAsinB＝2sin15°sin30°
＝2sin45°-30°sin30°
＝2sin45°cs30°-cs45°sin30°sin30°
＝2×22×32-22×1212
＝3－1．
2．(人教B版必修第四册P10例4)如图所示平面四边形ABCD中，已知B＋D＝180°，AB＝2，BC＝42，CD＝4，AD＝25，求四边形ABCD的面积．
[解] 连接AC，如图所示．
在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC cs B，
AC2＝AD2＋CD2－2AD×CD cs D．
又因为B＋D＝180°，所以cs D＝cs (180°－B)＝－cs B，
因此22＋(42)2－2×2×42cs B＝(25)2＋42＋2×25×4cs B．
解得cs B＝0，因此cs D＝0，则B＝D＝90°．
从而可知四边形的面积为12×2×42＋12×4×25＝4(2+5)．
3．(人教A版必修第二册P53习题6.4第8题)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．
[解] 由题意，∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，
∴∠CBD＝π－α－β，
∴在△BCD中，由正弦定理得，
BCsin ∠CDB＝CDsin ∠CBD，
∴BCsinβ＝ssinπ-α-β＝ssinα+β，
解得BC＝s·sinβsinα+β，
∵在点C测得塔顶A的仰角为θ，
∴∠ACB＝θ，
∴AB＝BC tan θ＝s·tanθsinβsinα+β．
∴塔高AB为s·tanθsinβsinα+β．
4．(人教A版必修第二册P54习题6.4第22题)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cs C＋3a sin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，则△ABC的面积为3，求b，c．
[解] (1)由题设及正弦定理得，
sin A cs C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C，
即sin A cs C＋3sin A sin C＝sin (A＋C)＋sin C，
所以sin A cs C＋3sin A sin C
＝sin A cs C＋cs A sin C＋sin C．
整理得3sin A－cs A＝1，
即sin (A－30°)＝12．
所以A－30°＝30°或A－30°＝150°(舍去)，即A＝60°．
(2)由A＝60°，S＝12bc sin A＝3，得bc＝4．
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cs A＝(b＋c)2－2bc－2bc cs A，
又bc＝4，a＝2，
所以b＋c＝4，所以b＝c＝2．
5．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC＝( )
A．1 B．2
C．5 D．3
D [法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs B，
得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．
故选D．
法二：由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得sin C＝5719，从而cs C＝41919(C是锐角)，所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cs C＋cs B sin C＝32×41919－12×5719＝35738．
又ACsinB＝BCsinA，所以BC＝3．故选D．]
6．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
B [因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，
所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，
即a2－c2＝ab－b2，
则a2＋b2－c2＝ab，
故cs C＝a2+b2-c22ab＝ab2ab＝12，
又07．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．
2 2 [由题意得S△ABC＝12ac sin B＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cs B＝12－2×4×12＝8，则b＝2 2．]
8．(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cs ∠MAC＝________．
213 23913 [法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cs ∠B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cs ∠MAC＝AC2+AM2-MC22AC·AM＝52+12-162×213×23＝23913．
法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D(图略)，则BD＝4，AD＝2，CD＝43．所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝213．在△AMC中，由余弦定理得cs ∠MAC＝AC2+AM2-MC22AC·AM＝52+12-162×213×23＝23913．]
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[解] 法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4．
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin A-π4＝sin 3π4-A，
展开并整理得2(sin A－cs A)＝22(cs A＋sin A)，
得sin A＝3cs A，
又sin2A＋cs2A＝1，且sinA＞0，
所以sin A＝31010．
(2)由正弦定理BCsinA＝ABsinC，
得BC＝ABsinC·sin A＝522×31010＝35，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cs C，
得52＝AC2＋(35)2－2AC·35cs π4，
整理得AC2－310AC＋20＝0，
解得AC＝10或AC＝210．
由(1)得，tan A＝3＞3，所以π3＜A＜π2，
又A＋B＝3π4，所以B＞π4，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝210．
设AB边上的高为h，则12×AB×h＝12×AC×BC sin C，
即5h＝210×35×22，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6．
法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4．
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cs C－2cs A sin C＝sin A cs C＋cs A sin C，
所以sin A cs C＝3cs A sin C，
易得cs A cs C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan π4＝3，
又sin A＞0，
所以sin A＝31010．
(2)由(1)知sin A＝31010，tan A＝3＞0，
所以A为锐角，
所以cs A＝1010，
所以sin B＝sin 3π4-A＝22(cs A＋sin A)＝22×1010+31010＝255，
由正弦定理ACsinB＝ABsinC，
得AC＝AB·sinBsinC＝5×25522＝210，
故AB边上的高为AC·sin A＝210×31010＝6．
10．(2021·北京卷)已知在△ABC中，c＝2b cs B，C＝2π3．
(1)求B的大小；
(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC＝334 ．
[解] (1)由正弦定理bsinB＝csinC，得sin C＝2sin B cs B＝sin 2B，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π．故B＝A＝π6．
(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①．
选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1．
从而BC＝AC＝2，AB＝23，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理的推论得，
cs B＝AB2+BD2-AD22·AB·BD＝1+12-AD243＝32，
解得AD＝7．
选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故
S△ABC＝12·(2x)·(2x)·sin 120°＝3x2＝334，
解得x＝32，即BC＝AC＝3，AB＝3，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理的推论得，
cs B＝AB2+BD2-AD22·AB·BD＝9+322-AD233＝32，
解得AD＝212．
11．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1．
(1)若∠ADC＝π3，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c．
[解] (1)因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2×12×AD×DC sin ∠ADC＝2×12×1×DC×32＝3，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4．
因为∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2π3．
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cs ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7．
在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cs ∠ADC＝1＋4－2＝3，
所以b＝3．
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cs B＝c2+a2-b22ac＝7+16-32×4×7＝5714，
所以sin B＝1-cs2B＝2114，
所以tanB＝sinBcsB＝35．
(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC．
因为∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cs ∠ADB＝－cs ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，得AD2+BD2-c22AD·BD＝－AD2+DC2-b22AD·DC，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23．
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cs ∠BAC＝b2+c2-a22bc＝8-122bc＝－2bc，
所以S△ABC＝12bc sin ∠BAC
＝12bc1-cs2∠BAC
＝12bc1--2bc2
＝12b2c2-4
＝3，
解得bc＝4．
则由bc=4， b2+c2=8，
解得b＝c＝2．