高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形培优专题六三角函数中 ω的范围问题学案

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三角函数中ω的范围问题是近几年的考查热点，涉及三角函数的图象、单调性、对称性、极值等多个知识点，重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，解题思路通常有两种：
一是利用复合函数的性质，借助于整体思想得到“ω”满足的关系式；
二是利用图象或图象的变换，借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式．
[培优案例]
[例1] (1)已知函数f (x)＝A sin ωx+π3(A＞0，ω＞0)的图象向左平移3π4个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是( )
A．43 B．83
C．163 D．8
(2)若函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是________．
(1)B (2)32，3 [(1)由题可知，3π4是该函数的周期的整数倍，即3π4＝2πω×k，k∈Z，
解得ω＝8k3，k∈Z，又ω＞0，故其最小值为83．
(2)令π2＋2kπ≤ωx≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得π2ω＋2kπω≤x≤3π2ω＋2kπω(k∈Z)，
因为f (x)在π3，π2上单调递减，
所以π2ω+2kπω≤π3，π2≤3π2ω+2kπω，(k∈Z)
解得6k＋32≤ω≤4k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以k≥0，又6k＋32≤4k＋3，得0≤k≤34，又k∈Z，所以k＝0．
即32≤ω≤3．]
[例2] (1)已知函数f (x)＝cs ωx+π3(ω>0)的一条对称轴为x＝π3，一个对称中心为π12，0，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(2)若函数y＝cs ωx+π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为________．
(1)A (2)2 [(1)因为函数的对称中心到对称轴的最短距离是T4，两条对称轴间的最短距离是T2，所以对称中心π12，0到对称轴x＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12＝T4＋kT2(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝2πω，所以(2k＋1)·2πω＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A．
(2)依题意得cs πω6+π6＝0，则πω6＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N*，所以ω的最小值为2．]
培优训练(六) 三角函数中 ω的范围问题
1．为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B．1972π
C．1992π D．100π
B [由题意，至少出现50次最大值即至少需要4914个周期，所以1974T＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π．]
2．已知函数f (x)＝sin ωx+π3(ω>0)，若f (x)在0，2π3上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )
A．52，4 B．1，43
C．1，53 D．32，3
A [因为0≤x≤2π3，且ω>0，所以π3≤ωx＋π3≤2πω3＋π3，又f (x)在0，2π3上恰有两个零点，所以2πω3＋π3≥2π且2πω3＋π3<3π，解得52≤ω<4．故选A．]
3．(多选)已知函数gx＝sin ωx(ω>0)在-π6，π4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝3π2，则ω的值可能是( )
A．13 B．73
C．1 D．53
ACD [由题意得3π2ω=kπ+π2，k∈Z，π4≤π2ω，
即ω=23k+13，k∈Z，0<ω≤2⇒ω＝13，1，53．
故选ACD．]
4．若函数f (x)＝3sin ωx＋cs ωx(ω＞0)在区间0，π6上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5，8) B．(5，8]
C．(5，11] D．[5，11)
B [由题意，函数f (x)＝3sin ωx＋cs ωx＝2sin ωx+π6，因为x∈0，π6，可得π6＜ωx＋π6＜π6(1＋ω)，要使得函数f (x)在区间0，π6上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜π6(1＋ω)≤3π2，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8]．]
5．函数f x＝sin ωx+π6(ω>0)在0，π内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为( )
A．13，73 B．13，+∞
C．0，13 D．13，103
A [法一：因为ω>0，所以函数f x在0，π内有且仅有一个极大值点等价于函数y＝sin x在π6，ωπ+π6内有且仅有一个极大值点．
若y＝sin x在π6，ωπ+π6上有且仅有一个极大值点，则π2<ωπ＋π6≤5π2，解得13<ω≤73．
故选A．
法二：令ωx＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，可得f x的极大值点x＝2kπω＋π3ω，其中k∈Z．
由2kπω＋π3ω∈0，π，k∈Z，可得－16由题设可知这个范围的整数k有且仅有一个，因此0<ω2－16≤1，于是正数ω的取值范围为13，73，选项A正确．故选A．]
6．若函数f (x)＝2tan ωx+π3的最小正周期T满足12或3 [由题意得1<πω<2，ω∈N，
∴π2<ω<π，ω∈N，∴ω＝2或3．]
7．(2024·金太阳百校联考)将函数f (x)＝sin ωx-π6(3＜ω＜6)的图象向右平移π3个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则ω＝________．
4 [由题意可知g(x)＝sin ωx-π3ω+π6，
因为g(x)为偶函数，所以π3ω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，则ω＝3k＋1(k∈Z)，
因为3＜ω＜6，所以ω＝4．]
8．已知函数f (x)＝sin ωx+π4(ω＞0)，若f (x)在(0，2π)上恰有3个极值点，则ω的取值范围是________．
98，138 [令t＝ωx＋π4，因为x∈(0，2π)，ω＞0，所以t∈π4，2ωπ+π4，结合y＝sin t的图象(图略)，得5π2＜2ωπ＋π4≤7π2，解得98＜ω≤138．]
9．已知函数f (x)＝2sin ωx在区间-π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
(－∞，－2]∪32，+∞ [显然ω≠0．若ω>0，当x∈-π3，π4时，－π3ω≤ωx≤π4ω，因为函数f (x)＝2sin ωx在区间-π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32．
若ω<0，当x∈-π3，π4时，π4ω≤ωx≤－π3ω，因为函数f (x)＝2sin ωx在区间-π3，π4上的最小值为－2．
所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2．
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪32，+∞．]
阶段提能(七) 三角函数的图象与性质
1．(湘教版必修第一册P208第18题)已知y＝a－b cs 3x-π2的最大值为6，最小值为－2，求实数a，b的值．
[解] 由题意，－1≤cs 3x-π2≤1，
当b>0时，a+b=6，a-b=-2，∴a=2，b=4．
当b<0时，a+b=-2，a-b=6，∴a=2，b=-4．
故a＝2，b＝4或a＝2，b＝－4．
2．(人教B版必修第三册P66第8题)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B其中A，ω，φ，B均为常数，A>0，φ<π的部分图象如图所示，写出与之对应的一个函数解析式．
[解] 由题图可以看出A＝3-02＝32，
B＝3+02＝32，
T＝2π2--π3＝5π3，
∴|ω|＝2πT＝65．
(1)当ω>0时，函数的解析式为y＝32sin 65x+φ＋32，
∵π2，0在函数图象上，
∴65×π2＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝9π10＋2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝9π10，∴y＝32sin 65x+9π10＋32．
(2)当ω<0时，函数的解析式为y＝－32sin 65x-φ＋32，
∵π2，0在函数图象上，
∴65×π2－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝π10－2kπ，k∈Z．
∵|φ|<π，∴φ＝π10．
∴y＝－32sin 65x-π10＋32．
综上，所求的一个函数解析式为y＝32sin 65x+9π10＋32或y＝－32sin 65x-π10＋32．
3．(人教A版必修第一册P255第21题)已知函数f (x)＝sin x+π6＋sin x-π6＋cs x＋a的最大值为1．
(1)求常数a的值；
(2)求函数f (x)的单调递减区间；
(3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f (x)＝sin x+π6＋sin x-π6＋cs x＋a＝sin x cs π6＋cs x sin π6＋sin x·cs π6－cs x sin π6＋cs x＋a＝3sin x＋cs x＋a＝2sin x+π6＋a，由f (x)的最大值为1，则2＋a＝1，a＝－1．
(2)由(1)知，f (x)＝2sin x+π6－1，由正弦曲线知，π2＋2kπ≤x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，即π3＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈Z，所以函数f (x)的单调递减区间为π3+2kπ，4π3+2kπ，k∈Z．
(3)因为f (x)≥0，所以2sin x+π6－1≥0，sin x+π6≥12，则π6＋2kπ≤x＋π6≤5π6＋2kπ，k∈Z，解得2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z，所以使f (x)≥0成立的x的取值集合为x│2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z．
4．(北师大版必修第二册P75C组第2题)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)，y＝A sin ωt＋K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
[解] (1)函数y＝A sin ωt＋K可以更好地刻画y与t之间的对应关系．
不妨令A>0，ω>0，
根据数据可得A+K=13，-A+K=7，∴A=3，K=10，
易得最小正周期T＝15－3＝12，
∴|ω|＝2πT＝π6，又ω>0，
∴ω＝π6，
∴y＝3sin π6t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意知y≥4.5＋7，
即3sin π6t＋10≥11.5(0≤t≤24)，
∴sin π6t≥12，0≤t≤24，
∴π6t∈2kπ+π6，2kπ+5π6(k∈Z)，
∴t∈[12k＋1，12k＋5](k∈Z)，
又∵0≤t≤24，∴k＝0，1，
∴t∈[1，5]∪[13，17]，
∴该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
5．(2021·全国乙卷)函数f (x)＝sin x3＋cs x3的最小正周期和最大值分别是( )
A．3π和2 B．3π和2
C．6π和2 D．6π和2
C [因为函数f (x)＝sin x3＋cs x3＝222sinx3+22csx3＝2sinx3csπ4+csx3sinπ4＝2sin x3+π4，
所以函数f (x)的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2．故选C．]
6．(2022·北京卷)已知函数f (x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f (x)在-π2，-π6上单调递减
B．f (x)在-π4，π12上单调递增
C．f (x)在0，π3上单调递减
D．f (x)在π4，7π12上单调递增
C [f (x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x．选项A中：2x∈-π，-π3，此时f (x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈-π2，π6，此时f (x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈0，2π3，此时f (x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈π2，7π6，此时f (x)先递减后递增，D错误．故选C．]
7．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 3x+π5图象上所有的点( )
A．向左平移π5个单位长度
B．向右平移π5个单位长度
C．向左平移π15个单位长度
D．向右平移π15个单位长度
D [y＝2sin 3x+π5＝2sin 3x+π15，故选D．]
8．(2021·北京卷)已知函数f (x)＝cs x－cs 2x，则该函数( )
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为98 D．偶函数，最大值为98
D [函数f (x)的定义域为R，且f (－x)＝f (x)，则f (x)为偶函数，
f (x)＝cs x－cs 2x＝cs x－(2cs2x－1)＝－2cs2x＋csx＋1＝－2csx-142＋98，故最大值为98，故选D．]
9．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f (x)＝7sin x-π6单调递增的区间是( )
A．0，π2 B．π2，π
C．π，3π2 D．3π2，2π
A [法一(常规求法)：令－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则－π3≤x≤2π3．因为0，π2-π3，2π3，所以区间0，π2是函数f (x)的单调递增区间．故选A．
法二(判断单调性法)：当0＜x＜π2时，－π6＜x－π6＜π3，所以f (x)在0，π2上单调递增，故A正确；当π2＜x＜π时，π3＜x－π6＜5π6，所以f (x)在π2，π上不单调，故B不正确；当π＜x＜3π2时，5π6＜x－π6＜4π3，所以f (x)在π，3π2上单调递减，故C不正确；当3π2＜x＜2π时，4π3＜x－π6＜11π6，所以f (x)在3π2，2π上不单调，故D不正确．故选A．]
10．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间π6，2π3单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f -5π12＝( )
A．－32 B．－12
C．12 D．32
D [由题意得12×2πω＝2π3－π6，解得ω＝2，易知x＝π6是f (x)的最小值点，所以π6×2＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，于是f (x)＝sin 2x+7π6+2kπ＝sin 2x+7π6，f -5π12＝sin-5π12×2+7π6＝sin π3＝32，故选D．]
11．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cs (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f π2＝________．
－3 [法一(五点作图法)：由题图可知34T＝13π12－π3＝3π4(T为f (x)的最小正周期)，即T＝π，取ω>0，所以2πω＝π，即ω＝2，
故f (x)＝2cs (2x＋φ)．点π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，
即f (x)＝2cs 2x-π6，
所以f π2＝2cs 2×π2-π6＝－3．
法二(代点法)：由题意知，34T＝13π12－π3＝3π4(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，2πω＝π，即ω＝2．又点π3，0在函数f (x)的图象上，所以2cs 2×π3+φ＝0，所以2×π3＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－π6，所以f (x)＝2cs 2x-π6，所以f π2＝2cs 2×π2-π6＝－2cs π6＝－3．
法三(平移法)：由题意知，34T＝13π12－π3＝3π4(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，2πω＝π，即ω＝2．函数y＝2cs 2x的图象与x轴的一个交点是π4，0，对应函数f (x)＝2cs (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是π3，0，所以f (x)＝2cs (2x＋φ)的图象是由y＝2cs 2x的图象向右平移π3－π4＝π12个单位长度得到的，所以f (x)＝2cs (2x＋φ)＝2cs 2x-π12＝2cs 2x-π6，所以f π2＝2cs 2×π2-π6＝－2cs π6＝－3．]
12．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cs ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[2，3) [法一：函数f (x)＝cs ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cs ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象(图略)可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
法二：函数f (x)＝cs ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cs ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cs x在[0，2π]上的图象可知，cs x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cs ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cs ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即2×2πω≤2π，3×2πω＞2π，
又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．]
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10
13
9.9
7
10
13
10.1
7
10