高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第六课时二项分布、超几何分布与正态分布学案

这是一份高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第六课时二项分布、超几何分布与正态分布学案，共21页。

1．两点分布
如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
2．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X )＝p，D(X )＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
n重伯努利试验及其概率
[典例1] (1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝1)＝25，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝0)＝35 B．E(X )＝35
C．E(2X＋1)＝95 D．D(X )＝625
(2)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
①求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
②求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
③假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
(1)ACD [P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35，故A正确；E(X )＝P(X＝1)＝25，故B错误；E(2X＋1)＝2E(X )＋1＝95，故C正确；D(X )＝25×35＝625，故D正确．故选ACD.]
(2)[解] ①记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验，
故P(A1)＝C44×234＝1681.
所以P(A1)＝1－P(A1)＝1－1681＝6581.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581.
②记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C42×232×1-232＝827，
P(B2)＝C43×343×1-341＝2764.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×2764＝18.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18.
③记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，
则A3＝4D5D4D3(D2D1∪D2D1∪D2D1)，
且P(Di)＝14.
由于各事件相互独立，故
P(A3)＝P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1＋D2D1＋D2D1)
＝14×14×34×1-14×14＝451 024.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.
二项分布的性质
[典例2] 已知随机变量X～B6，0.8，若P(X＝k)最大，则DkX+1＝________．
24 [由题意知：PX=k ＝C6k·0.26-k·0.8k，
要使PX=k最大，有
C6k·0.26-k·0.8k≥C6k-1·0.27-k·0.8k-1，C6k·0.26-k·0.8k≥C6k+1·0.25-k·0.8k+1，
解得235≤k≤285，故k＝5.
又D(X )＝6×0.8×0.2＝0.96，
故DkX+1＝D5X+1＝52D(X )＝24.]
二项分布的均值与方差
[典例3] (2024·湖南株洲模拟)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为12，服用M2有效的概率为13.
(1)求一个试验组为优类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[解] (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2.
依题意有：PA0＝122＝14，PA1＝2×12×12＝12，PA2＝12×12＝14.
PB0＝23×23＝49，PB1＝2×13×23＝49，
PB2＝132＝19，
则一个试验组为优类组的概率为：
P＝PB0·A1＋PB0·A2＋PB1·A2＝49×12+49×14+49×14＝49.
(2)由题意可知ξ～B3，49，
Pξ=0＝593＝125729，
Pξ=1＝C31×49×592＝100243，
Pξ=2＝C32×492×59＝80243，
Pξ=3＝493＝64729，
则ξ的分布列为
E(ξ)＝3×49＝43.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
跟进训练1 (1)(多选)(2024·江西师大附中高三检测)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则( )
A．P(X＝1)＝P(X＝9)＝5512
B．P(X＝1)＝P(X＝9)＝11 024
C．E(X )＝10
D．D(X )＝52
(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．
①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X )．
(1)AD [设A＝“向右下落”，A＝“向左下落”，则P(A)＝P(A)＝12，
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，
所以X～B10，12，于是P(X＝1)＝C101·12×129＝5512，同理可得：P(X＝9)＝C109129×12＝5512，A正确，B错误；由二项分布求期望及方差公式得：E(X )＝10×12＝5，D(X )＝10×12×1-12＝52，C错误，D正确．故选AD.]
(2)[解] ①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为25，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为35，
所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为
P＝1－C40×254－C41×35×253＝513625.
②根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B4，25，
则P(X＝0)＝354＝81625，
P(X＝1)＝C41×25×353＝216625，
P(X＝2)＝C42×252×352＝216625，
P(X＝3)＝C43×253×35＝96625，
P(X＝4)＝254＝16625，
所以X的分布列为
所以E(X )＝4×25＝85.
考点二 超几何分布
1．定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X )＝nMN．
[典例4] 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数为3，2，2.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
所以P(X＝0)＝C33C73＝135，
P(X＝1)＝C41C32C73＝1235，
P(X＝2)＝C42C31C73＝1835，
P(X＝3)＝C43C73＝435，
所以随机变量X的分布列为
所以E(X )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.
【教师备用】
某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．
(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；
(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测时次品的个数为X，求X的分布列及期望．
[解] (1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则PA＝C93C103＝710.
(2)X可能取值为0，1，2.
则PX=0＝C83C103＝715，
PX=1＝C82C21C103＝715，
PX=2＝C81C22C103＝115.
故X的分布列是
故EX＝0×715＋1×715＋2×115＝35.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
超几何分布的特征是：
①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
跟进训练2 (2024·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求PY=5.
[解] (1)X可能的取值为0，1，2，PX=k＝C2kC33-kC53，其中k＝0，1，2.
分布列如下：
故X的数学期望EX＝65.
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
所以所求概率P＝1-25×25×35×25×25＝2523 125.
考点三 正态分布
1．正态曲线与正态分布
(1)我们称f (x)＝1σ2πe-x-μ22σ2(x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数)为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2．
[典例5] (1)(2023·上海嘉定三模)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：
甲：P(X>m＋1)>P(X乙：P(X≤m)＝0.5；
丙：P(X≥m)＝0.5；
丁：P(m－1如果有且只有一个是假命题，那么该命题是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
(2)(2024·河北统考模拟)某地种植的苹果按果径X(单位：mm)的大小分级，其中X∈[80，100]的苹果为特级，且该地种植的苹果果径X～N(85，25)．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为( )
(参考数据：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．3 000 B．13 654 C．16 800 D．19 946
(3)(多选)(2024·辽宁联考一模)随机变量X～N(μ，σ2)且P(X≤2)＝0.5，随机变量Y～B(3，p)，若E(Y)＝E(X )，则( )
A．μ＝2 B．D(X )＝2σ2
C．p＝23 D．D(3Y)＝6
(1)D (2)C (3)ACD [(1)因为P(X≤m)＝0.5，P(X≥m)＝0.5均等价于μ＝m，由题意可得：乙、丙均为真命题，且μ＝m，
对于甲：因为P(X>m＋1)＝P(XP(X对于丁：因为P(m－1P(m＋1(2)由X～N(85，25)，得μ＝85，σ＝5，P(80≤X≤85)＝12P(80≤X≤90)≈12×0.682 7＝0.341 35，
P(85≤X≤100)＝12P(70≤X≤100)≈12×0.997 3＝0.498 65，
所以P(80≤X≤100)＝P(80≤X≤85)＋P(85≤X≤100)＝0.84，
所以特级苹果的个数约为20 000×0.84＝16 800个，故选C.
(3)因为X～N(μ，σ2)且P(X≤2)＝0.5，所以μ＝2，故E(X )＝μ＝2，D(X )＝σ2，选项A正确，选项B错误；因为Y～B(3，p)，所以E(Y)＝3p＝E(X )，所以3p＝2，解得p＝23，选项C正确；
D(3Y)＝9D(Y)＝9×3×23×1-23＝6，选项D正确，故选ACD.]
【教师备用】
中国载人航天事业迈入了一个又一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N(90，100)，航天员在此项指标中的要求为ξ≥110.某学校共有1 000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为13，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数(结果取整数)．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解] (1)易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，
P(X＝1)＝23；P(X＝2)＝13×23＝29；P(X＝3)＝13×13×23＝227；P(X＝4)＝13×13×13＝127，
所以X的分布列为
所以E(X )＝1×23＋2×29＋3×227＋4×127＝4027.
(2)因为ξ服从正态分布N(90，100)，所以P(ξ≥110)≈1-0.954 52＝0.022 75.
设1 000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则Z～B(1 000，0.022 75)，
所以E(Z)＝1 000×0.022 75＝22.75≈23，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，
且每位同学通过选拔的概率P＝134＝181，则通过学校选拔的人数Y～B23，181，
故E(Y )＝23×181＝2381.
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ； (2)标准差σ； (3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟进训练3 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大
B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
(3)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)≈________．
参考数值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(1)D (2)0.14 (3)2 0.954 5 [(1)对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D.
(2)由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2(3)由X～N(2，9)可知，正态分布的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)≈0.954 5.]
课后习题(五十五) 二项分布、超几何分布与正态分布
1．(北师大版选择性必修第一册P229复习题六T3改编)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X )＋D(X )＝209，则P(X≥1)＝( )
A．1681 B．6581 C．89 D．49
B [因为E(X )＋D(X )＝209，
所以4p＋4p(1－p)＝209，
即(p－1)2＝49，
因为0故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－1-134＝6581.]
2．(多选)(苏教版选择性必修第二册P145复习题T14改编)若袋子中有2个白球、3个黑球(球除了颜色不同，没有其他任何区别)，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球．取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B4，35 B．P(X＝3)＝96625
C．E(X )＝85 D．D(X )＝2425
BCD [由题意知，每次取到白球的概率为25，取到黑球的概率为35，由于取到白球记1分，取到黑球记0分，所以X为4次取球取到白球的个数，易知X～B4，25，故A错误；P(X＝3)＝C43253×35＝96625，故B正确；E(X )＝4×25＝85，故C正确；D(X )＝4×25×35＝2425，故D正确，故选BCD.]
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
C [∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
310 [由题意得P(X＝2)＝C32C72C104＝310.]
5．(多选)(2024·辽宁沈阳高三模拟)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，E(X )，D(X )分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X ) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X )＝49
AB [由题意可知，P(X＝1)＝23，所以E(X )＝0×13＋1×23＝23，
D(X )＝0-232×13 +1-232×23＝29，E(3X＋2)＝3E(X )＋2＝4，D(3X＋2)＝9D(X )＝2，故选AB.]
6．(多选)(2023·辽宁大连联考三模)若随机变量X～B10，23，下列说法中正确的是( )
A．P(X＝3)＝C103133237
B．期望E(X )＝203
C．期望E(3X＋2)＝22
D．方差D(3X＋2)＝20
BCD [A选项：因为X～B10，23，所以P(X＝3)＝C1032331-237，故A错误；
B选项：E(X )＝10×23＝203，故B正确；C选项：E(3X＋2)＝3E(X )＋2＝3×203＋2＝22，故C正确；
D选项：D(X )＝10×23×1-23＝209，D(3X＋2)＝32D(X )＝9×209＝20，故D正确．故选BCD.]
7．(2024·浙江嘉兴模拟预测)若离散型随机变量X服从X～B(5，p)，且E(X )＝103，则P(X≤2)＝( )
A．19 B．427 C．1781 D．192243
C [因为X～B(5，p)，所以E(X )＝5p＝103，得p＝23，
所以P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝C52232133+C51231134+C50230135＝51243＝1781，故选C.]
8．(2024·宁夏银川模拟预测)泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk！e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np.一般地，当n≥20而p≤0.05时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量X～B(1 000，0.001)，P(X≥2)的近似值为( )
A．1－1e B．1－2e
C．1－e4 D．1－1e2
B [由题意知，n＝1 000≥20，p＝0.001≤0.05，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ＝1 000×0.001＝1，
所以P(X＝k)＝1k！e-1，
所以P(X＝0)＝10！e-1＝1e，
P(X＝1)＝11！e-1＝1e，
则P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－2e，故选B.]
9．(2024·山东潍坊高考模拟)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)＝________．
27 [当X＝2时，P(X＝2)＝C51C32C83＝1556；
当X＝3时，P(X＝3)＝C33C83＝156，
则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝1556+156＝27.]
10．(2024·浙江金华联考模拟)一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行4次试验，则恰出现一次成功试验的概率为________．
3281 [一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种， 两枚骰子点数之和为5的情况有4种，两枚骰子点数之和为6的情况有5种，在一次试验中，出现成功试验的概率P＝3+4+536＝13，
设出现成功试验的次数为X，则X～B4，13，所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为P(X＝1)＝C41×13×1-133＝3281.]
11．(2023·河南开封三模)已知随机变量ξ服从正态分布N(a，σ2)(a>0)，若P(a≤ξ≤a＋1)＝0.3，且f (x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，则P(ξ<2)＝________．
0.2 [因为f (x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，即a2＝9，又a>0，所以a＝3，
根据正态分布的对称性，正态分布N(3，σ2)的正态密度曲线关于x＝3对称，
即P(ξ>3)＝0.5，而P(3≤ξ≤4)＝0.3，
所以P(ξ>4)＝0.2，故P(ξ<2)＝P(ξ>4)＝0.2.]
12．(2024·广东联考模拟)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
[解] (1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为C52+C52C102＝49，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B2，49，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝C20×490×592＝2581，
P(X＝1)＝C21×491×591＝4081，
P(X＝2)＝C22×492×590＝1681，
所以X的分布列为
所以X的数学期望为E(X )＝2×49＝89.
(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则P(Y＝0)＝C51C51C102·C41C41C82＝2063，
P(Y＝1)＝C52+C52C102·C31C51C82+C51C51C102·C42+C42C82＝1021，
P(Y＝2)＝C52+C52C102·C32+C52C82＝1363，
所以Y的分布列为
所以Y的数学期望为E(Y)＝1×1021＋2×1363＝89.
(3)第(1)(2)两问的数学期望相等，
第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的小，即1681<1363，
第(1)问不中奖的概率比第(2)问小，即2581<2063.
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽奖．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖．X
0
1
P
1－p
p
ξ
0
1
2
3
P
125729
100243
80243
64729
X
0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
X
0
1
2
P
715
715
115
X
0
1
2
P
110
35
310
X
1
2
3
4
P
23
29
227
127
X
0
1
2
P
2581
4081
1681
Y
0
1
2
P
2063
1021
1363